高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 二项分布同步测试题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 二项分布同步测试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的. 则在3次这样的试验中成功次数X的期望为( C )
A. B. C.1 D.2
2. 已知随机变量ξ~B，则该变量ξ的数学期望Eξ和方差Dξ分别为( D )
A.B.
C.D.
3. 设随机变量X~B(n，p)，且EX＝1，DX＝，则P(X＝1)的值为( B )
A.B.C.D.
4. 已知ξ~B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9. 2，D(3ξ＋2)＝12. 96，则二项分布的参数n，p的值为( B )
A.n＝4，p＝0. 6B.n＝6，p＝0. 4
C.n＝8，p＝0. 3D.n＝24，p＝0. 1
5. 若随机变量ξ~B，则P(ξ＝k)最大时，k的值为( A )
A.1或2B.2或3
C.3或4D.5
6. 已知离散型随机变量X服从二项分布X~B(n，p)，且EX＝2，DX＝q，则的最小值为( B )
A.B.C.3D.4
7. (多选题)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择到每个餐厅概率相同)，则下列结论正确的是( ACD )
A.四人去了四个不同餐厅就餐的概率为
B.四人去了同一餐厅就餐的概率为
C.四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为
D.四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为
8. (多选题)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为. 则其中正确命题的序号是( ABD )
A.①B.②C.③D.④
二、填空题
9. 若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量ξ表示取出都是白球的次数，则Eξ＝6 .
10. 已知随机变量X~B，则D(2X＋1)＝6 .
11. 元旦游戏中有20道选择题，每道选择题给了4个选项(其中有且只有1个正确). 游戏规定：每题只选1项，答对得2个积分，否则得0个积分. 某人答完20道题，并且会做其中10道题，其他试题随机答题，则他所得积分X的期望值EX＝25 .
三、解答题
12. 高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验.
(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；
(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次. 求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的分布列.
13. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)甲和乙，系统甲和系统乙在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻至多有一个系统发生故障的概率为. 设系统乙在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，方差Dξ＝( A )
A. B.C.D.
14. 设随机变量ξ服从二项分布B，则函数f(x)＝x2＋4x＋ξ存在零点的概率是6 .
15. 某购物网站在顾客购买任何商品后都会出现“抽奖大转盘”，现有一商家有A，B两种抽奖方案可以选择，方案A：中奖率为，每次中奖可以获得20元购物代金券；方案B：中奖率为，每次中奖可以获得30元购物代金券，其他奖项为“谢谢参与”. 每次中奖与否相互独立.
(1)现有两位顾客甲、乙各购物1次. 若顾客甲选择方案A，顾客乙选择方案B各抽奖一次，记他们累计获得的购物代金券面额之和为X，求P(X≤30)；
(2)若从发放代金券金额之和较少考虑，作为商家会选择哪种方案?B.
北师大高中数学选择性必修
第一册第六章课时作业46二项分布(解析版)
一、选择题
1. 做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的. 则在3次这样的试验中成功次数X的期望为( C )
A. B. C.1 D.2
解析：每一次成功的概率为p＝，X服从二项分布，故EX＝×3＝1. 故选C.
2. 已知随机变量ξ~B，则该变量ξ的数学期望Eξ和方差Dξ分别为( D )
A.B.
C.D.
解析：因为ξ~B，所以Eξ＝2×，Dξ＝2×. 故选D.
3. 设随机变量X~B(n，p)，且EX＝1，DX＝，则P(X＝1)的值为( B )
A.B.C.D.
解析：随机变量X服从二项分布X~B(n，p)，∴
解得n＝3，p＝，所以P(X＝1)＝. 故选B.
4. 已知ξ~B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9. 2，D(3ξ＋2)＝12. 96，则二项分布的参数n，p的值为( B )
A.n＝4，p＝0. 6B.n＝6，p＝0. 4
C.n＝8，p＝0. 3D.n＝24，p＝0. 1
解析：由E(3ξ＋2)＝3Eξ＋2，D(3ξ＋2)＝9Dξ，及ξ~B(n，p)时，
Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)可知所以故选B.
5. 若随机变量ξ~B，则P(ξ＝k)最大时，k的值为( A )
A.1或2B.2或3
C.3或4D.5
解析：依题意P(ξ＝k)＝，k＝0，1，2，3，4，5. 可以求得P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝. 故当k＝2或1时P(ξ＝k)最大.
6. 已知离散型随机变量X服从二项分布X~B(n，p)，且EX＝2，DX＝q，则的最小值为( B )
A.B.C.3D.4
解析：离散型随机变量X服从二项分布X~B(n，p)，且EX＝2，DX＝q. 由二项分布的均值与方差公式可得
化简可得2p＋q＝2，即p＋＝1. 由基本不等式化简可得＋2＝，即的最小值为，故选B.
7. (多选题)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择到每个餐厅概率相同)，则下列结论正确的是( ACD )
A.四人去了四个不同餐厅就餐的概率为
B.四人去了同一餐厅就餐的概率为
C.四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为
D.四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为
解析：四位同学随机选择一家餐厅就餐有64种选择方法.
选项A，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为，A正确；选项B，四人去了同一餐厅就餐的概率为，B不正确；选项C，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为，C正确；选项D，每个同学选择去第一餐厅的概率为，所以去第一餐厅就餐的人数X服从二项分布X~B，∴EX＝4×，D正确. 故选ACD.
8. (多选题)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为. 则其中正确命题的序号是( ABD )
A.①B.②C.③D.④
解析：一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，①从中任取3球，恰有一个白球的概率是p＝，故正确；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为p＝，则恰好有两次白球的概率为p＝，故正确；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，
则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，故错误；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为p＝，则至少有一次取到红球的概率为p＝1－，故正确. 故选ABD.
二、填空题
9. 若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量ξ表示取出都是白球的次数，则Eξ＝.
解析：从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为p＝，由题意可知，ξ~B，由二项分布的期望公式得Eξ＝3×.
10. 已知随机变量X~B，则D(2X＋1)＝6.
解析：因为随机变量X~B，所以DX＝6×，所以D(2X＋1)＝22DX＝6.
11. 元旦游戏中有20道选择题，每道选择题给了4个选项(其中有且只有1个正确). 游戏规定：每题只选1项，答对得2个积分，否则得0个积分. 某人答完20道题，并且会做其中10道题，其他试题随机答题，则他所得积分X的期望值EX＝25.
解析：设剩余10题答对题目为Y个，有10道题目会做，则总得分为X＝20＋2Y，且Y~B. 由二项分布的期望可知EY＝10×＝2. 5，所以EX＝2EY＋20＝2×2. 5＋20＝25.
三、解答题
12. 高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验.
(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；
(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次. 求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的分布列.
解：(1)至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功.
设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X，
则P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝，
P(X＝5)＝. 所以至少有3次发芽成功的概率
P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝.
(2)随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，5. P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，
P(ξ＝3)＝，
P(ξ＝4)＝，
P(ξ＝5)＝×1＝.
所以ξ的分布列为
13. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)甲和乙，系统甲和系统乙在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻至多有一个系统发生故障的概率为. 设系统乙在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，方差Dξ＝( A )
A. B.C.D.
解析：记“系统甲发生故障”“系统乙发生故障”分别为事件A，B，“任意时刻至多有一个系统发生故障”为事件C，则P(C)＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－，所以p＝. 依题意得ξ~B，则Dξ＝3×. 故选A.
14. 设随机变量ξ服从二项分布B，则函数f(x)＝x2＋4x＋ξ存在零点的概率是.
解析：由函数f(x)＝x2＋4x＋ξ存在零点，得方程x2＋4x＋ξ＝0的判别式Δ＝16－4ξ≥0，即ξ≤4. 又变量ξ服从二项分布B，所以函数f(x)＝x2＋4x＋ξ存在零点的概率为P＝1－P(ξ＝5)＝1－＝1－.
15. 某购物网站在顾客购买任何商品后都会出现“抽奖大转盘”，现有一商家有A，B两种抽奖方案可以选择，方案A：中奖率为，每次中奖可以获得20元购物代金券；方案B：中奖率为，每次中奖可以获得30元购物代金券，其他奖项为“谢谢参与”. 每次中奖与否相互独立.
(1)现有两位顾客甲、乙各购物1次. 若顾客甲选择方案A，顾客乙选择方案B各抽奖一次，记他们累计获得的购物代金券面额之和为X，求P(X≤30)；
(2)若从发放代金券金额之和较少考虑，作为商家会选择哪种方案?
解：(1)由题意知，X的所有可能取值是0，20，30，50，则P(X≤30)＝P(X＝0)＋P(X＝20)＋P(X＝30)＝.
(2)设共有n名顾客参与抽奖活动，则这n名顾客都选择方案A时，累计中奖次数为XA，累计获得的购物代金券金额之和为YA；这n名顾客都选择方案B时，累计中奖次数为XB，累计获得的购物代金券金额之和为YB，则YA＝20XA，YB＝30XB.由已知可得XA~B，所以EXA＝n×n，所以EYA＝E(20XA)＝20EXA＝n. 同理可得EYB＝E(30XB)＝30EXB＝12n. 因为n＞12n，所以商家会选择方案B.
ξ
1
2
3
4
5
P