数学选择性必修 第一册3.1 离散型随机变量的均值达标测试

这是一份数学选择性必修 第一册3.1 离散型随机变量的均值达标测试，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 已知ξ的分布列为
设η＝2ξ－5，则Eη＝( C )
A.B.C.D.
2. 一个口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取2个球，用X表示取出球的较大号码，则EX等于( A )
A.4B.5
C.3D.4. 5A.
3. 甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则Eξ为( B )
A.1B.
C.2D.
4. 设l为平面上过点(0，1)的直线，l的斜率k等可能地取－2，－，－，0，，2，用ξ表示坐标原点到l的距离d，则随机变量ξ的数学期望Eξ为( B )
A.B.
C.D.
5. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值EX等于( B )
A.B.
C.D.
B.
6. 某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数ξ的期望是( B )
A. B. C. D.
7. (多选题)下列说法错误的是( ABD )
A.随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化
B.随机变量的均值反映样本的平均水平
C.若随机变量X的数学期望EX＝2，则E(2X)＝4
D.随机变量X的均值EX＝
8. (多选题)下列命题正确的是( ABC )
A.若随机变量X的数学期望EX＝3，则E(4X－5)＝7
B.若X是一个随机变量，则E(X－EX)的值为0
C.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0. 8，则罚球一次得分ξ的均值是0. 8
D.若离散型随机变量ξ的分布列为
则ξ的数学期望的最小值是
二、填空题
9. 一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2. 将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是0. 135 9.
10. 设离散型随机变量X可能取的值为1，2，3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3). 又X的均值EX＝，则a＝0. 135 9.
11. 对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题. 记X为解出该题的人数，则EX＝0. 135 9.
三、解答题
12. 某电视台某节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确各得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分. 若一个挑战者回答前两题正确的概率都是0. 8，回答第三题正确的概率为0. 6，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和均值；
(2)求这位挑战者总得分不为负分(即ξ≥0)的概率.
13. 某商店举行三周年店庆活动，每位会员交会员费50元，可享受20元的消费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6的6只均匀小球的抽奖箱中，有放回地抽两次球，抽得的两球标号之和为12，则获一等奖价值a元的礼品，标号之和为11或10，获二等奖价值100元的礼品，标号之和小于10不得奖.
(1)求各会员获奖的概率；
(2)设商店抽奖环节收益为ξ元，求ξ的分布列；假如商店打算不赔钱，a最多可设为多少元?
14. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球且n＞m≥2(n，m∈N*)，从乙盒中随机抽取i(i＝1，2)个球放入甲盒中，放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1，2)，则下列结论错误的是( D )
A.Eξ1＜Eξ2
B.Eξ2－Eξ1∈
C.Eξ1∈
D.Eξ2＜
15. 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的. 记X为该毕业生得到面试的公司个数. 若P(X＝0)＝，则随机变量X的均值EX＝0. 135 9.
16. “键盘侠”是指部分在现实生活中不爱说话，却在网上习惯性地、集中性地发表各种言论的人群，人们对这种现象有着不同的看法. 某调查组织在某广场上邀请了10名男士和10名女士请他们分别谈一下对“键盘侠”这种社会现象的认识，其中有4名男士和5名女士认为它的出现是“社会进步的表现”，其他人认为它的出现是“社会冷漠的表现”.
(1)从这些男士和女士中各抽取1人，求至少有1人认为“键盘侠”这种社会现象是“社会进步的表现”的概率；
(2)从男士中抽取2人，女士中抽取1人，3人中认为“键盘侠”这种社会现象是“社会进步的表现”的人数记为X，求X的分布列和数学期望.
北师大高中数学选择性必修第一册
第六章课时作业44离散型随机变量的均值(解析版)
一、选择题
1. 已知ξ的分布列为
设η＝2ξ－5，则Eη＝( C )
A.B.C.D.
解析：由分布列的性质可得＋m＝1，解得m＝. 所以Eξ＝1×＋2×＋3×＋4×. 因为η＝2ξ－5，所以Eη＝2Eξ－5＝2×－5＝. 故选C.
2. 一个口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取2个球，用X表示取出球的较大号码，则EX等于( A )
A.4B.5
C.3D.4. 5
解析：由题知，X的所有可能取值为2，3，4，5，因为P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，所以EX＝2×＋3×＋4×＋5×＝4. 故选A.
3. 甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则Eξ为( B )
A.1B.
C.2D.
解析：随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，则P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，则Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×. 故选B.
4. 设l为平面上过点(0，1)的直线，l的斜率k等可能地取－2，－，－，0，，2，用ξ表示坐标原点到l的距离d，则随机变量ξ的数学期望Eξ为( B )
A.B.
C.D.
解析：当k＝±2时，直线l的方程为±2x－y＋1＝0，此时d＝；当k＝±时，d＝；当k＝±时，d＝；当k为0时，d＝1. 由等可能事件的概率公式可得ξ的分布列为
所以Eξ＝＋1×. 故选B.
5. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值EX等于( B )
A.B.
C.D.
解析：125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值EX＝×0＋×1＋×2＋×3＝. 故选B.
6. 某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数ξ的期望是( B )
A. B. C. D.
解析：由题意可得ξ＝1，2，3，每次实验成功的概率为，则失败的概率为，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，则实验次数ξ的分布列如下：
所以此人实验次数ξ的期望是Eξ＝1×＋2×＋3×. 故选B.
7. (多选题)下列说法错误的是( ABD )
A.随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化
B.随机变量的均值反映样本的平均水平
C.若随机变量X的数学期望EX＝2，则E(2X)＝4
D.随机变量X的均值EX＝
解析：选项A，随机变量X的数学期望EX是个常数，不随X的变化而变化，错误；选项B，随机变量的均值反映总体的平均水平，错误；选项C，由随机变量均值的性质可知正确；选项D，随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值，错误. 故选ABD.
8. (多选题)下列命题正确的是( ABC )
A.若随机变量X的数学期望EX＝3，则E(4X－5)＝7
B.若X是一个随机变量，则E(X－EX)的值为0
C.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0. 8，则罚球一次得分ξ的均值是0. 8
D.若离散型随机变量ξ的分布列为
则ξ的数学期望的最小值是
解析：选项A，因为随机变量X的数学期望EX＝3，则E(4X－5)＝4EX －5＝7，正确；选项B， 因为E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)，又EX为常数，所以E(X－EX)＝EX－EX＝0，正确；选项C，因为P(ξ＝1)＝0. 8，P(ξ＝0)＝0. 2，所以Eξ＝1×0. 8＋0×0. 2＝0. 8，正确；选项D，因为
所以所以＜Eξ＜2，即Eξ没有最小值. 错误. 故选ABC.
二、填空题
9. 一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2. 将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是.
解析：随机变量X的取值为0，1，2，4，
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝4)＝，
因此，向上的数字之积的数学期望是
EX＝0×＋1×＋2×＋4×.
10. 设离散型随机变量X可能取的值为1，2，3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3). 又X的均值EX＝，则a＝.
解析：离散随机变量X可能取的值为1，2，3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3)，故X的数学期望EX＝(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＝，而且(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，联立方程组解得a＝.
11. 对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题. 记X为解出该题的人数，则EX＝.
解析：由题知，X的所有取值为0，1，2，∵P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，∴EX＝.
三、解答题
12. 某电视台某节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确各得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分. 若一个挑战者回答前两题正确的概率都是0. 8，回答第三题正确的概率为0. 6，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和均值；
(2)求这位挑战者总得分不为负分(即ξ≥0)的概率.
解：(1)若三个问题均答错，则得0＋0＋(－10)＝－10(分).
若三个问题均答对，则得10＋10＋20＝40(分).
若三个问题的回答一对两错，包括两种情况：
①前两个问题的回答一对一错，第三个问题答错，得10＋0＋(－10)＝0(分)；
②前两个问题答错，第三个问题答对，得0＋0＋20＝20(分).
若三个问题的回答两对一错，也包括两种情况：
①前两个问题答对，第三问题答错，得10＋10＋(－10)＝10(分)；
②第三个问题答对，前两个问题的回答一对一错，得20＋10＋0＝30(分).
故ξ的所有可能取值为－10，0，10，20，30，40.
P(ξ＝－10)＝0. 2×0. 2×0. 4＝0. 016，
P(ξ＝0)＝×0. 8×0. 2×0. 4＝0. 128，
P(ξ＝10)＝0. 8×0. 8×0. 4＝0. 256，
P(ξ＝20)＝0. 2×0. 2×0. 6＝0. 024，
P(ξ＝30)＝×0. 8×0. 2×0. 6＝0. 192，
P(ξ＝40)＝0. 8×0. 8×0. 6＝0. 384，
所以ξ的分布列为
ξ的均值Eξ＝－10×0. 016＋0×0. 128＋10×0. 256＋20×0. 024＋30×0. 192＋40×0. 384＝24(分).
(2)这位挑战者总得分不为负分的概率为P(ξ≥0)＝1－P(ξ＜0)＝1－0. 016＝0. 984.
13. 某商店举行三周年店庆活动，每位会员交会员费50元，可享受20元的消费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6的6只均匀小球的抽奖箱中，有放回地抽两次球，抽得的两球标号之和为12，则获一等奖价值a元的礼品，标号之和为11或10，获二等奖价值100元的礼品，标号之和小于10不得奖.
(1)求各会员获奖的概率；
(2)设商店抽奖环节收益为ξ元，求ξ的分布列；假如商店打算不赔钱，a最多可设为多少元?
解：(1)抽两次得标号之和为12的概率为P(A)＝；抽两次得标号之和为11或10的概率为P(B)＝2×＋3×，所以各会员获奖的概率为P(C)＝P(A)＋P(B)＝.
(2)随机变量ξ的所有可能取值为30－a，－70，30，
由(1)得，P(ξ＝30－a)＝，P(ξ＝－70)＝，P(ξ＝30)＝1－，所以ξ的分布列为
由Eξ＝(30－a)×＋(－70)×＋30×≥0，得a≤580元，所以a最多可设为580元.
14. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球且n＞m≥2(n，m∈N*)，从乙盒中随机抽取i(i＝1，2)个球放入甲盒中，放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1，2)，则下列结论错误的是( D )
A.Eξ1＜Eξ2
B.Eξ2－Eξ1∈
C.Eξ1∈
D.Eξ2＜
解析：从乙盒中取1个球时，取出的红球个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0，1.
因为P(ξ＝0)＝＝P(ξ1＝1)，P(ξ＝1)＝＝P(ξ1＝2)，
所以Eξ1＝1×P(ξ1＝1)＋2×P(ξ1＝2)＝＋1；
从乙盒中取2个球时，取出的红球数记为η，则η的可能取值为0，1，2，
因为P(η＝0)＝＝P(ξ2＝1)，P(η＝1)＝＝P(ξ2＝2)，P(η＝2)＝＝P(ξ2＝3)，
所以Eξ2＝1×P(ξ2＝1)＋2×P(ξ2＝2)＋3×P(ξ2＝3)＝＋1，即Eξ1＜Eξ2，故A项正确；
Eξ1＝＋1＝＋1，
因为n＞m＞0(n，m∈N*)，所以＞1，所以1＋＞2，所以0＜，所以1＜＋1＜，即1＜Eξ1＜，故C项正确；而Eξ2＝2Eξ1－1，2＜2Eξ1＜3，得1＜2Eξ1－1＜2，即1＜Eξ2＜2，故D项错误；Eξ2－Eξ1＝，故B项正确. 故选D.
15. 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的. 记X为该毕业生得到面试的公司个数. 若P(X＝0)＝，则随机变量X的均值EX＝.
解析：由P(X＝0)＝(1－p)(1－p)＝，解得p＝，
从而P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×.
16. “键盘侠”是指部分在现实生活中不爱说话，却在网上习惯性地、集中性地发表各种言论的人群，人们对这种现象有着不同的看法. 某调查组织在某广场上邀请了10名男士和10名女士请他们分别谈一下对“键盘侠”这种社会现象的认识，其中有4名男士和5名女士认为它的出现是“社会进步的表现”，其他人认为它的出现是“社会冷漠的表现”.
(1)从这些男士和女士中各抽取1人，求至少有1人认为“键盘侠”这种社会现象是“社会进步的表现”的概率；
(2)从男士中抽取2人，女士中抽取1人，3人中认为“键盘侠”这种社会现象是“社会进步的表现”的人数记为X，求X的分布列和数学期望.
解：(1)由题意可知10名男士中有4人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”，10名女士中有5人也这样认为.
记事件A＝{从这些男士和女士中各抽取1人，至少有1人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”}，
则P(A)＝1－＝1－.
(2)X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，
所以X的分布列为
数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×.
ξ
1
2
3
4
P

m
ξ
0
1
2
P
1－
ξ
1
2
3
4
P

m
ξ
1
P
ξ
1
2
3
P
ξ
0
1
2
P
1－
ξ
－10
0
10
20
30
40
P
0. 016
0. 128
0. 256
0. 024
0. 192
0. 384
ξ
30－a
－70
30
P
X
0
1
2
3
P