2025年高考数学一轮复习-教考衔接7-空间直角坐标系的构建策略-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-教考衔接7-空间直角坐标系的构建策略-专项训练【含解析】，共7页。

类型1 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系
【例1】如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.
（1）证明：B2C2∥A2D2；
（2）点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P.
类型2 利用线面垂直关系构建空间直角坐标系
【例2】如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM.
（1）求BC；
（2）求二面角A-PM-B的正弦值.

类型3 利用面面垂直关系构建空间直角坐标系
【例3】如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点.
（1）证明：OA⊥CD；
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.

类型4 利用正棱锥的底面中心与高所在的直线构建空间直角坐标系
【例4】 已知正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h，若BE⊥VC，则∠DEB的余弦值为 .

类型5 利用底面正三角形构建空间直角坐标系
【例5】 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.
类型6 不规则图形的建系
【例6】 如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点.
（1）证明：BC⊥DA；
（2）点F满足EF＝DA，求二面角D-AB-F的正弦值.
1.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点.
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值.
2.如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F-DC-B的平面角为60°.设M，N分别为AE，BC的中点.
（1）证明：FN⊥AD；
（2）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.
教考衔接7⇒空间直角坐标系的构建策略【解析版】
类型1 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系
【例1】如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.
（1）证明：B2C2∥A2D2；
（2）点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P.

以C为坐标原点，CD，CB，CC1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
类型2 利用线面垂直关系构建空间直角坐标系
【例2】如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM.
（1）求BC；
（2）求二面角A-PM-B的正弦值.
因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.在矩形ABCD中，AD⊥DC，故可以点D为坐标原点建立空间直角坐标系.

类型3 利用面面垂直关系构建空间直角坐标系
【例3】如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点.
（1）证明：OA⊥CD；
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.
由题意知AO⊥平面BCD，显然AO⊥OB.以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x，z轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系.

类型4 利用正棱锥的底面中心与高所在的直线构建空间直角坐标系
【例4】 已知正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h，若BE⊥VC，则∠DEB的余弦值为 .
如图所示，以V在底面ABCD内的投影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB.

类型5 利用底面正三角形构建空间直角坐标系
【例5】 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{OB，OC，OO1}为基底，建立空间直角坐标系.
类型6 不规则图形的建系
【例6】 如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点.
（1）证明：BC⊥DA；
（2）点F满足EF＝DA，求二面角D-AB-F的正弦值.
由于题目中没有明确给出建系所需的垂直条件，而是给出了其他可证明三线共点且两两垂直的条件，在此情况下就必须先证明再建系.本题在第（1）问证明BC⊥DA时，已证得BC⊥平面ADE，又因DA＝DB＝DC，设DA＝DB＝DC＝2，由∠ADB＝∠ADC＝60°，知△ABD与△ACD为等边三角形，所以AB＝AC＝2.又BD⊥CD，所以BC＝22.因为AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，所以AE＝2.因为BD⊥CD，所以DE＝12BC＝2.因为AE2＋DE2＝AD2，所以AE⊥DE.又AE⊥BC，BC⊂平面BCD，DE⊂平面BCD，BC∩DE＝E，所以AE⊥平面BCD，所以可分别以ED，EB，EA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标.
1.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点.
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值.
解：（1）证明：如图，取PA的中点F，连接EF，BF.
因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝12AD.
由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，又BC＝12AD，所以EF?BC，
所以四边形BCEF是平行四边形，所以CE∥BF.
又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB.
（2）由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，分别以AB，AD的方向为x轴、y轴的正方向，｜AB｜为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，1， 3），
所以PC＝（1，0，－3），AB＝（1，0，0）.
设M（x，y，z）（0＜x＜1），则BM＝（x－1，y，z），PM＝（x，y－1，z－3）.
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n＝（0，0，1）是底面ABCD的一个法向量，
所以｜cs＜BM，n＞｜＝｜BM·n｜｜BM｜·｜n｜＝sin 45°，即｜z｜（x－1）2＋y2＋z2＝22，
整理得（x－1）2＋y2－z2＝0， ①
又M在棱PC上，设PM＝λPC，即（x，y－1，z－3）＝λ（1，0，－3），
则x＝λ，y＝1，z＝3－3λ. ②
由①②解得x=1+22，y=1，z＝－62（舍去）或x=1－22，y=1，z＝62，
所以M1－22，1，62，从而AM＝1－22，1，62.
设m＝（x0，y0，z0）是平面ABM的法向量，则
m·AM=0，m·AB=0，即（2－2）x0+2y0＋6z0=0，x0=0.
所以可取m＝（0，－6，2）.
于是cs＜m，n＞＝m·n｜m||n｜＝105.
因此二面角M-AB-D的余弦值为105.
2.如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F-DC-B的平面角为60°.设M，N分别为AE，BC的中点.
（1）证明：FN⊥AD；
（2）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.
解：（1）证明：因为ABCD是直角梯形，∠BAD＝60°，
所以∠ABC＝90°，即AB⊥BC.
因为CDEF是直角梯形，∠CDE＝60°，
所以∠DCF＝90°，即DC⊥FC.
如图，在AB边上取AH＝2，连接DH，易得DH⊥AB，在Rt△DAH中，因为∠DAH＝60°，所以AD＝2AH＝4，DH＝23＝BC.
在DC边上取DG＝2，连接EG，易得GE⊥DC，在Rt△EGD中，因为∠EDG＝60°，所以DE＝2DG＝4，EG＝23＝FC.
易知二面角F-DC-B的平面角为∠FCB＝60°，又FC＝BC＝23，故△FBC为等边三角形.
又N为BC的中点，所以FN⊥BC.
因为DC⊥FC，DC⊥BC，FC∩BC＝C，所以DC⊥平面BCF.
又FN⊂平面BCF，所以DC⊥FN.
因为BC⊥FN，BC∩DC＝C，故FN⊥平面ABCD，
又AD⊂平面ABCD，故FN⊥AD.
（2）如图，取AD的中点K，连接NK，以N为坐标原点，
以NK，NB，NF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B（0，3，0），A（5，3，0），D（3，－3，0），E（1，0，3），M3，32，32.
设平面ADE的法向量为n＝（x，y，z），
则n·AD=0，n·DE=0，
即n·(−2,−23，0）＝－2x－23y=0，n·(−2，3，3）＝－2x＋3y+3z=0，
取x＝3，则y＝－1，z＝3，即n＝（3，－1，3）是平面ADE的一个法向量.
设直线BM与平面ADE所成角为θ，
因为BM＝3,−32，32，
所以sin θ＝｜cs＜BM，n＞｜＝BM·n｜BM||n｜＝5714.
所以直线BM与平面ADE所成角的正弦值为5714