2025届高考数学一轮复习试题阶段滚动检测（五）试卷（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习试题阶段滚动检测（五）试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024·武汉模拟)过点(1,0)且与直线x+2y-2=0垂直的直线方程为( )
A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0
C.2x-y-2=0D.2x+y-1=0
【解析】选C.由直线x+2y-2=0可得其斜率为-12,则与其垂直的直线斜率为2,
故过点(1,0)且与直线x+2y-2=0垂直的直线方程为y=2(x-1),即:2x-y-2=0.
2.(2024·湛江模拟)汉代初年成书的《淮南万毕术》记载:“取大镜高悬,置水盆于下,则见四邻矣.”这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例,体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系xOy中,一条光线从点(-2,0)射出,经y轴反射后的光线所在的直线与圆x2+y2-2x-2y=0相切,则反射光线所在直线的斜率
为( )
A.-1B.-1或1
C.1D.2
【解析】选C.易知(-2,0)关于y轴的对称点为(2,0),
由平面镜反射原理,反射光线所在的直线过(2,0)且与该圆相切,
将圆x2+y2-2x-2y=0化简后可得(x-1)2+(y-1)2=2,所以圆心为(1,1),
易知(2,0)在该圆上,所以(2,0)即为切点,
因此圆心与切点连线与反射光线垂直,设反射光线所在直线的斜率为k,即0-12-1×k=-1,解得k=1.
3.(2024·盐城模拟)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0相交于A,B两点,则弦AB的长为( )
A.22B.25C.4D.2
【解析】选A.由题意知圆O1:x2+y2-2x-3=0,
即圆O1:(x-1)2+y2=4,圆心为O1(1,0),半径r1=2,
圆O2:x2+y2-2y-1=0,即圆O2:x2+(y-1)2=2,
圆心为O2(0,1),半径r2=2,
则r1-r2<|O1O2|=12+12=2将圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的方程相减,
可得直线AB的方程为x-y+1=0,
则O1(1,0)到直线x-y+1=0的距离为|2|2=2,
故弦AB的长为2r12-(2)2=22.
4.过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点A作一条渐近线的平行线,交另一条渐近线于点P,△OAP的面积为34(O为坐标原点),离心率为2,则点A到渐近线的距离
为( )
A.32B.3C.12D.1
【解析】选A.双曲线的右顶点为A(a,0),双曲线的渐近线方程为y=±bax,由对称性,不妨令过A的直线与y=bax平行,则该直线方程为y=ba(x-a),
由y=ba(x-a)y=-bax,
解得x=a2y=-b2,
即P(a2,-b2),
则S△OAP=12|OA|·|yP|=14ab=34,
又e=ca=2,a2+b2=c2,解得a=1,b=3,
所以点A(1,0)到渐近线y=±3x的距离为d=312+(3)2=32.
5.(2023·全国甲卷)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,其中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=( )
A.15B.55C.255D.455
【解析】选D.由e=5,得c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=5,解得ba=2,
所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x,
则圆心(2,3)到渐近线的距离d=|2×2-3|22+1=55,所以弦长|AB|=21-15=455.
6.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-2,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和l2距离之和的最小值是( )
A.355+1B.2C.165D.3
【解析】选D.由题可知x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F,则F(1,0),
所以动点P到l2的距离等于P到x=-1的距离加1,即动点P到l2的距离等于|PF|+1.
所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离加1,
即其最小值是|4-0+6|5+1=3.
7.(2024·重庆模拟)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,点P为椭圆上不在坐标轴上的一点,点M,N满足=,2=+,若四边形MONP的周长等于4b,则椭圆C的离心率e=( )
A.12B.22C.32D.63
【解析】选C.因为=,所以点M为线段PF1的中点,
因为2=+,所以-=-,
即=,所以点N为线段PF2的中点,
又因为点O为线段F1F2的中点,
所以OM∥PF2且|OM|=12|PF2|,ON∥PF1且|ON|=12|PF1|,
所以四边形MONP的周长为|PF1|+|PF2|,
又因为点P为椭圆上不在坐标轴上的一点,所以|PF1|+|PF2|=2a,
所以2a=4b,即ba=12,
故椭圆C的离心率e=ca=1-b2a2=32.
8.(2024·贵阳模拟)我们通常称离心率为5-12的椭圆为“黄金椭圆”,称离心率为5+12的双曲线为“黄金双曲线”,则下列说法正确的是( )
A.正△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,则以B,C为焦点,且过D,E的椭圆是“黄金椭圆”
B.已知ABCDEF为正六边形,则以A,D为焦点,且过B,C,E,F的双曲线是“黄金双曲线”
C.“黄金椭圆”上存在一点,该点与两焦点的连线互相垂直
D.“黄金双曲线”的实半轴长,一个焦点到一条渐近线的距离,半焦距能构成等比数列
【解析】选D.对于A,以BC的中点为原点,建立直角坐标系如图所示,设△ABC的边长为2,以B,C为焦点,且过D,E的椭圆方程设为x2a2+y2b2=1(a>b>0),所以|CD|=3,椭圆的离心率为2c2a=|BC||DC|+|DB|=23+1=3-1,故A错误;
对于B,以AD的中点为原点,建立直角坐标系如图所示,设正六边形ABCDEF的边长为2,|AD|=4,|FD|=23,以A,D为焦点,且过B,C,E,F的双曲线方程设为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),离心率为2c2a=|AD||FD|-|FA|=423-2=3+1,故B错误;
对于C,设“黄金椭圆”的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),椭圆上的点P(x0,y0),焦点F1(-c,0),
F2(c,0),由x02a2+y02b2=1,可得y02=b2(1-x02a2),=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),
又因为“黄金椭圆”的离心率ca=5-12,
所以(ca)2=(5-12)2=3-52,c2=3-52a2,·=(-c-x0)(c-x0)+y02=x02+y02-c2=b2(1-x02a2)+x02-c2=c2x02a2+a2-2c2=3-52x02+(5-2)a2>0,
所以“黄金椭圆”上不存在一点,与两焦点的连线互相垂直.故C错误.
对于D,设“黄金双曲线”的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),实半轴长为a,一个焦点到一条渐近线的距离为b,半焦距为c,因为离心率ca=5+12,b2-ac=c2-a2-ac=(5+12)2a2-a2-5+12a2=0,
所以b2=ac,a,b,c成等比数列.故D正确.
【加练备选】
(2024·武汉模拟)已知a,b∈R,ab<0,函数f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)依次成等比数列,则平面Oxy上的点(s,t)的轨迹是( )
A.直线和焦点在x轴的椭圆
B.直线和焦点在y轴的椭圆
C.直线和焦点在x轴的双曲线
D.直线和焦点在y轴的双曲线
【解析】选D.由题意可知,f(s-t)f(s+t)=[f(s)]2,
即[a(s-t)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+b)2,
对其整理变形:(as2+at2+b-2ast)(as2+at2+b+2ast)=(as2+b)2,
(as2+at2+b)2-(2ast)2-(as2+b)2=0,
(2as2+at2+2b)at2-4a2s2t2=0,
at2(-2as2+at2+2b)=0,
因为ab<0,所以t=0或-2as2+at2+2b=0,
即t=0或t2-2ba-s2-ba=1.
所以点(s,t)的轨迹为直线和焦点在y轴的双曲线.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知直线l1:4x+3y-2=0,l2:(m+2)x+(m-1)y-5m-1=0(m∈R),则( )
A.直线l2过定点(2,3)
B.当m=10时,l1∥l2
C.当m=-1时,l1⊥l2
D.当l1∥l2时,两直线l1,l2之间的距离为3
【解析】选ABD.l2:(m+2)x+(m-1)y-5m-1=0(m∈R)变形为m(x+y-5)+2x-y-1=0,
由x+y-5=0,2x-y-1=0,则x=2,y=3,因此直线l2过定点(2,3),故A正确;
当m=10时,l1:4x+3y-2=0,l2:12x+9y-51=0,
所以412=39≠-2-51,故两直线平行,故B正确;
当m=-1时,l1:4x+3y-2=0,l2:x-2y+4=0,
因为4×1+3×(-2)≠0,故两直线不垂直,故C错误;
当l1∥l2时,则满足m+24=m-13≠-5m-1-2,解得m=10,此时l1:4x+3y-2=0,l2:12x+9y-51=0,即4x+3y-17=0,则两直线间的距离为|-2-(-17)|42+32=3,故D正确.
10.(2024·西安模拟)已知圆O:x2+y2=4,直线l:mx+ny+3=0,则下列说法正确的
是( )
A.当n=3m≠0时,直线l的倾斜角为5π6
B.当m=n=1时,直线l与圆O相交
C.圆O与圆E:(x-2)2+(y-3)2=1相离
D.当m=0,n=-1时,过直线l上任意一点P作圆O的切线,则切线长的最小值为3
【解析】选AC.对于A:当n=3m≠0时,直线l为mx+3my+3=0,
所以直线的斜率为-m3m=-33,
设倾斜角为α,则tan α=-33,
因为α∈(0,π],所以α=5π6,故A正确;
对于B:当m=n=1时,直线l为x+y+3=0,
由x2+y2=4,可得:圆心O(0,0),半径r=2,
所以圆心到直线l的距离d=|3|12+12=32=322>2,
所以圆与直线相离,故B错误;
对于C:因为圆E:(x-2)2+(y-3)2=1,
所以圆心E(2,3),半径R=1,
因为|OE|=22+32=13>r+R=3,
所以两圆相离,故C正确;
对于D:当m=0,n=-1时,直线l为y=3,过直线l上任意一点P作圆O的切线,设切点为Q,
则切线长|PQ|=|PO|2-r2=|PO|2-4,
所以当|PO|取得最小值时,|PQ|最小,
因为点P在直线l:y=3上,
所以当OP⊥l时,|OP|最小,此时|OP|min=3,
所以|PQ|min=32-4=5,故D错误.
11.(2024·海南模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为B(0,2),离心率为22,M,N为C上关于原点对称的两点(与C的顶点不重合),
则( )
A.C的方程为x24+y22=1
B.1|MF1|+4|NF1|≥52
C.△MNF2的面积随周长变大而变大
D.直线BM和BN的斜率乘积为定值-12
【解析】选AD.由题易知b=2,ca=22,2+c2=a2,解得c=2,a=2,故椭圆方程为x24+y22=1,故A正确;
连接MF1,MF2,NF1,NF2,由椭圆对称性知MF1NF2为平行四边形,|MF1|+|NF1|=|MF1|+|MF2|=2a=4,
1|MF1|+4|NF1|=1|MF1|+4|MF2|=14(1|MF1|+4|MF2|)(|MF1|+|MF2|)=14(1+4+|MF2||MF1|+4|MF1||MF2|)
≥54+14×2|MF2||MF1|·4|MF1||MF2|=94,
当且仅当|MF1|=43,|MF2|=83时等号成立,故B错误;
对选项C:由选项B可知:|MF2|+|NF2|=|MF1|+|NF1|=4,
设M(x1,y1),则|OM|=x12+y12=4(1-y122)+y12=4-y12,△MNF2的面积为2S△OMF2=2×12×2|y1|=2|y1|,
由对称性,不妨设M在第一象限,故|OM|随y1的增大而减小,△MNF2的面积随y1的增大而增大,
即△MNF2的面积随周长变大而变小,C错误;
对选项D:设M(x1,y1),则N(-x1,-y1),
又B(0,2),所以kBM·kBN=y1-2x1·-y1-2-x1=y12-2x12,
因为点M(x1,y1)在椭圆上,结合选项C,x12=4-2y12,所以kBM·kBN=y12-2x12=-12,故D正确.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.(2024·长沙模拟)已知圆A:x2+(y-3)2=1,过动点P作圆A的切线PB(B为切点),使得|PB|=3,则动点P的轨迹方程为______________.
答案:x2+(y-3)2=4
【解析】设P(x,y),由|PB|=3得|PB|2=3,则x2+(y-3)2-1=3,即x2+(y-3)2=4.
13.(2024·茂名模拟)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,直线l1,l2均过点F分别交抛物线C于A,B,D,E四点,若直线l1,l2斜率乘积的绝对值为8,则当直线l2的斜率为________时,|AB|+|DE|的值最小,最小值为________.
答案:±22 18
【解析】由题意,抛物线C:y2=8x的焦点坐标为F(2,0),
设直线l1的方程为y=k1(x-2),
联立方程y=k1(x-2),y2=8x,
整理得k12x2-(4k12+8)x+4k12=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),
所以|AB|=x1+x2+p=4k12+8k12+4=8k12+8,
设直线l2的斜率为k2,同理可得|DE|=x3+x4+p=4k22+8k22+4=8k22+8,
可得|AB|+|DE|=8k12+8+8k22+8=8k12+8k22+16,
又由|k1·k2|=8,得|AB|+|DE|=16+8k12+8k22≥16+8×2×1|k1·k2|=16+8×2×18=18,
当且仅当|k1|=|k2|=22时,等号成立,
所以|AB|+|DE|的最小值为18,此时|k2|=22,k2=±22.
14.(2024·福州模拟)光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出,如图1,一个光学装置由有公共焦点F1、F2的椭圆Γ与双曲线Ω构成,Γ与Ω的离心率之比为3∶4,现一光线从左焦点F1发出,依次经Ω与Γ反射,又回到了点F1,历时t1秒;若将装置中的Ω去掉,如图2,此光线从点F1发出,经Γ两次反射后又回到了点F1,历时t2秒,则t2t1=________.
答案:8
【解析】由椭圆定义得|BF1|+|BF2|=2a1①,|AF2|-|AF1|=2a2②,①-②得,|BF1|+|AF1|+|BF2|-|AF2|=|BF1|+|AF1|+|BA|=2a1-2a2,
即△ABF1的周长为2a1-2a2,
由椭圆定义知△CDF1的周长为4a1,
因为光线的速度相同,且双曲线与椭圆共焦点,
所以t2t1=4a12a1-2a2=21-a2a1=21-e1e2=21-34=8.
【方法规律】本题解答的关键是注意到光线的速度相同,且双曲线与椭圆共焦点,利用椭圆和双曲线的定义求解两个三角形的周长由此即可顺利得解.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)(2024·资阳模拟)已知☉O的圆心为坐标原点,☉O上的点到直线l:x+y-22=0的距离的最小值为1.
(1)求☉O的方程;
【解析】(1)由题意,☉O的圆心O(0,0)到直线l:x+y-22=0的距离d=|22|12+12=2,
设☉O的半径为r,
则☉O上的点到直线l距离的最小值为d-r=2-r,
由2-r=1,解得r=1,
所以☉O的方程为x2+y2=1.
(2)过点P(4,2)作☉O的两条切线,切点分别为A,B.求四边形OAPB的面积.
【解析】(2)由题可知,PA⊥OA,PB⊥OB,连接OP,
则四边形OAPB的面积S=2S△POA=2×12×1×|PA|=|PA|,
又|OP|2=42+22=20,
则|PA|=|OP|2-|OA|2=20-1=19,
所以四边形OAPB的面积S=19.
16.(15分)(2024·武汉模拟)已知点M(-2,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,过点M作直线l与抛物线C交于A,B两点,斜率为2的直线与抛物线交于A,D两点.
(1)求抛物线C的标准方程;
【解析】(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2,
依题意,-p2=-2,解得p=4,
所以抛物线C的标准方程为y2=8x.
(2)①求证:直线BD过定点N;
②若△ABN的面积为S,且满足S≤205,求直线l斜率的取值范围.
【解析】(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),显然AB不垂直于y轴,设直线AB方程为x+2=m(y-2),
由x+2=m(y-2),y2=8x,
消去x得:y2-8my+16(m+1)=0,
由Δ=64m2-64(m+1)>0,
得m<1-52或m>1+52,y1+y2=8m,y1y2=16(m+1),
即y1+y2=12y1y2-8,直线AD的斜率kAD=y3-y1x3-x1=y3-y118y32-18y12=8y3+y1=2,即y1+y3=4,
同理直线BD的斜率kBD=8y2+y3,直线BD的方程为y-y2=8y2+y3(x-x2),
整理得(y2+y3)y=8(x-x2)+y2(y2+y3),
即(y2+y3)y=8x-8x2+y22+y2y3,
又y22=8x2,于是(y2+y3)y=8x+y2y3,
由y1+y3=4及2y1+2y2=y1y2-16,
得y2y3=2(y2+y3)-24,
则(y2+y3)y=8x+2(y2+y3)-24,
因此直线BD:(y2+y3)(y-2)=8(x-3)过定点N(3,2),
所以直线BD过定点N(3,2).
②显然MN∥x轴,S△ABN=S△BNM-S△ANM=12|MN||y1-y2|=52|y1-y2|=5264m2-64(m+1)
=20m2-m-1≤205,则0解得-2≤m<1-52或1+52则-5+12所以直线l斜率的取值范围是(-5+12,-12]∪ [13,5-12).
17.(15分)(2024·新余模拟)如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2,已知椭圆C的离心率为223,直线2x-2y-6=0与圆O相切.
(1)求椭圆C的标准方程;
【解析】(1)直线2x-2y-6=0与圆O相切,
则b=|2×0-2×0-6|(2)2+(-2)2=1,
由椭圆的离心率e=ca=1-b2a2=223,
解得a2=9,椭圆的标准方程为x29+y2=1;
(2)椭圆C的上顶点为B,EF是圆O的一条直径,EF不与坐标轴重合,直线BE、BF与椭圆C的另一个交点分别为P,Q,求△BPQ的面积的最大值.
【解析】(2)由题意知直线BP,BQ的斜率存在且不为0,BP⊥BQ,
不妨设直线BP的斜率为k(k>0),则直线BP的方程为y=kx+1.
由y=kx+1x29+y2=1,得x=-18k9k2+1y=1-9k29k2+1或x=0y=1,
所以P(-18k9k2+1,1-9k29k2+1).
用-1k代替k,得Q(18kk2+9,k2-9k2+9),
则|PB|=(0+18k9k2+1) 2+(1+9k2-19k2+1) 2=18k9k2+1·1+k2,
|BQ|=(0-18kk2+9) 2+(1+9-k2k2+9) 2=189+k2·1+k2,S△BPQ=12|PB|·|BQ|=12·18k9k2+1·1+k2·189+k2·1+k2=162k(1+k2)(9+k2)(1+9k2)=162(k+k3)9k4+82k2+9=162(1k+k)9k2+82+9k2,
设k+1k=μ,
则S△BPQ=162μ82+9(μ2-2)=1629μ+64μ≤16229μ·64μ=278.
当且仅当9μ=64μ,即k+1k=μ=83,即k=4±73时取等号,
所以(S△BPQ)max=278.
【加练备选】
(2024·合肥模拟)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),离心率为32,点(3,12)在椭圆上.
(1)求E的方程;
【解析】(1)由题意ca=32,3a2+14b2=1,解得a=2,b=1,
则E的方程为x24+y2=1.
(2)过K(-1,0)作互相垂直的两条直线l1与l2,设l1交E于A,B两点,l2交E于C,D两点,AB,CD的中点分别为M,N.探究:△OMN与△KMN的面积之比是否为定值?若是,请求出定值;若不是,请说明理由.
【解析】(2)△OMN与△KMN的面积之比为定值,定值为4,理由如下:
设直线AB的方程:x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),
讨论:①当m≠0,且m≠±1时,
联立x=my-1x24+y2=1,
可得(m2+4)y2-2my-3=0,Δ=16m2+48>0,则y1+y2=2mm2+4,
所以yM=y1+y22=mm2+4,xM=myM-1=m·mm2+4-1=-4m2+4,所以M(-4m2+4,mm2+4),
设直线CD的方程:x=-1my-1,
同理可得N(-4m24m2+1,-m4m2+1).
所以kMN=-m4m2+1-mm2+4-4m24m2+1+4m2+4=54×mm2-1(m≠0,且m≠±1),
所以直线MN:y-mm2+4=54×mm2-1(x+4m2+4),即y=mm2-1(54x+1),
所以直线MN恒过定点T(-45,0);
②当m=±1时,不妨设直线l1:y=x+1;l2:y=-x-1,可发现MN⊥x轴,且MN过T(-45,0),
③当m=0时,直线MN依然过T(-45,0),但无法形成三角形.
综上,直线MN恒过点T(-45,0),
设点O,K到直线MN的距离分别是d1,d2,S△OMNS△KMN=12|MN|×d112|MN|×d2=d1d2=|OT||KT|=45∶15=4.
18.(17分)(2023·新高考Ⅱ卷)在双曲线C中,O为坐标原点,左焦点为(-25,0),离心率为5.
(1)求C的方程;
【解析】(1)由题意c=25,e=5=ca,则a=2,b2=16,双曲线C的方程为x24-y216=1.
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点B(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于P,证明:P在定直线上.
【解析】(2)方法一:设过点B的直线为x=ty-4,M(x1,y1),N(x2,y2),联立双曲线得(4t2-1)y2-32ty+48=0,则y1+y2=32t4t2-1,y1y2=484t2-1,
设直线MA1:y-y1y1=x-x1x1+2,设直线NA2:y-y2y2=x-x2x2-2,联立消去y得(x-x1x1+2+1)y1=(x-x2x2-2+1)y2,代入根与系数的关系得x=-1,即P在直线x=-1上.
方法二:①当l⊥y轴时,不符合题意.
②设直线l:x=ty-4,M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),联立方程组x=ty-4,x24-y216=1,则(4t2-1)y2-32ty+48=0,
因为直线与双曲线的左支有两个交点,即4t2-1≠0,Δ>0,y1y2<0,
则y1+y2=32t4t2-1,y1y2=484t2-1,
又因为MA1与NA2相交于点P,
则y0x0+2=y1x1+2,y0x0-2=y2x2-2,⇒x0-2x0+2=y1(x2-2)y2(x1+2)=y1(ty2-6)y2(ty1-2)=ty1y2-6y1ty1y2-2y2=ty1y2-6(y1+y2)+6y2ty1y2-2y2=-3.即x0=-1,
所以点P在定直线x=-1上.
方法三:设过点B的直线为y=k(x+4),M(x1,y1),N(x2,y2),联立双曲线得(4-k2)x2-8k2x-16-16k2=0,则x1+x2=8k24-k2,x1·x2=-16(1+k2)4-k2,所以x1·x2+52(x1+x2)=-4,
即(x1+52)(x2+52)=94 (*),
设直线MA1:yy1=x+2x1+2,设直线NA2:yy2=x-2x2-2,联立消去y得: (x+2x1+2)(x1+4)= (x-2x2-2)(x2+4),
即x+2x-2=(x1+2)(x2+4)(x1+4)(x2-2),
代入(*)式,化简得x+2x-2=(x1+2)(x2+4)(x1+4)(x2-2)
=(94x2+10-12)(x2+4)(94x2+10+32)(x2-2)
=(-2x2+4)(x2+4)(6x2+24)(x2-2)=-13,
解x+2x-2=-13,得x=-1,即P在定直线x=-1上.
19.(17分)(2024·吉安模拟)已知点A(4,7),集合S={(x,y)|x216+y212≤1},点P∈S,且对于S中任何异于P的点Q,都有·>0.
(1)试判断点P关于椭圆x216+y212=1的位置关系,并说明理由;
【解析】(1)P在椭圆x216+y212=1上,理由如下:
记C:x216+y212=1,若P不在C上,则在C内.
因为4216+7212>1,所以A在C外,
设线段PA与C有一交点Q1,此时和共线反向,·<0,不合题意,因此P在C上.
(2)求P的坐标;
【解析】(2)·>0等价于·>·=.
记在上的投影向量为,
则条件等价于||||>,
即||>||,
这表明P是C上与A距离最小的点.
设P(x0,y0),则3x02+4y02=48,=(4-x0)2+(7-y0)2.
因为(ad-bc)2+(ac+bd)2=(a2+b2)(c2+d2),
故(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),当且仅当ad=bc时取等号.
所以(4-x0)2+(7-y0)2=15[(4-x0)2+14(14-2y0)2](1+4)≥15(18-x0-2y0)2,
又(x0+2y0)2≤(3x02+4y02) (13+1)=64,故-8≤x0+2y0≤8,
故≥15×(18-8)2=20,
当且仅当x0+2y0=8且2(4-x0)=1×(7-y0)且3x0=2y0时取等号,
解得x0=2,y0=3,故此时P(2,3).
(3)设椭圆x216+y212=1的焦点为F1,F2,证明:∠APF1=∠APF2.
[参考公式:(ad-bc)2+(ac+bd)2=(a2+b2)(c2+d2)]
【解析】(3)因为A(4,7),P(2,3),
设直线AP与x轴交于B(b,0),
则7-34-2=3-02-b,解得b=12.
故B(12,0),则要证∠APF1=∠APF2
即证∠BPF1=∠BPF2.
又F1(-2,0),F2(2,0),
故PF2⊥x轴,故|PF1||PF2|=|BF1||BF2|=53.
在△PF1B和△PF2B中,由正弦定理,sin∠PBF1sin∠BPF1=sin∠PBF2sin∠BPF2,
又∠PBF1和∠PBF2互补,
所以sin∠BPF1=sin∠BPF2,从而有∠BPF1=∠BPF2.
所以∠APF1=∠APF2.