2025届高考数学一轮复习试题阶段滚动检测（一）试卷（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习试题阶段滚动检测（一）试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024·西安模拟)已知集合A={x|y=lg2(x-2)},B={x|2x-2≥0},则(RA)∩B=( )
A.(0,1)B.[1,2)C.(1,2)D.[1,2]
【解析】选D.A={x|x>2},RA={x|x≤2},
B={x|2x-2≥0}⇒{x|x≥1},
所以(RA)∩B=[1,2].
2.函数y=23x3+1在x=3处的切线的倾斜角为( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
【解析】选B.由题意可得:y=23x3+1=23x32+1,则y'=x,可得y'|x=3=3,
所以函数y=23x3+1在x=3处的切线的斜率为3,倾斜角为π3.
3.函数y=(2x+2-x)·ln x2的图象大致为( )
【解析】选B.设f(x)=(2x+2-x)·ln x2,f(x)的定义域为{x|x≠0},f(-x)=(2-x+2x)·ln x2=f(x),所以f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,所以D选项错误;f(1)=0,所以C选项错误;当x>1时,f(x)>0,所以A选项错误.
4.(2024·新余模拟)已知函数y=lga(x-1)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,且A点在直线mx-y+n=0(m,n>0)上,则2m+(2)n的最小值是( )
A.42B.22C.2D.22
【解析】选B.当x=2时,lga(x-1)+2=2,
故函数y=lga(x-1)+2的图象恒过定点A(2,2),
由点A(2,2)在直线mx-y+n=0上,则2m+n=2,
故2m+(2)n=2m+2n2≥22m+n2=22,
当且仅当m=n2=12时等号成立,故2m+(2)n的最小值是22.
5.(2024·泉州模拟)若函数f(x)=lg12(x2+2a),x<11-31-x,x≥1存在最大值,则实数a的取值范围为( )
A. (-∞,14]B. (0,14]
C. (-12,12]D. (0,12]
【解析】选B.当x≥1时,f(x)=1-31-x在[1,+∞)上单调递增,此时f(x)∈[0,1),无最大值;
又因为y=x2+2a在(-∞,0]上单调递减,在[0,1)上单调递增,
故f(x)=lg12(x2+2a)在(-∞,0]上单调递增,在[0,1)上单调递减,
所以当x<1时,f(x)max=f(0)=lg12(2a),
结合题意可得lg12(2a)≥1,
解得0<2a≤12,所以0即实数a的取值范围为(0,14].
6.已知过点A(0,b)作曲线y=lnxx的切线有且仅有两条,则b的取值范围为( )
A. (0,1e)B. (0,2e)C.(0,e)D. (0,2e32)
【解析】选D.设切点为(x0,y0),由题意得y'=1-lnxx2,所以k=1-ln x0x02=y0-bx0=ln x0x0-bx0,整理得b=2ln x0-1x0,此方程有两个不等的实根.
令函数f(x)=2lnx-1x,则f'(x)=3-2lnxx2.
当00,所以f(x)在(0,e32)上单调递增;
当x>e32时,f'(x)<0,所以f(x)在[e32,+∞)上单调递减,且f(x)>0. f(x)max=f(e32)=2e32,方程有两个不等的实根,故b∈(0,2e32).
7.已知函数f(x)=ax-ln x,若f(x)>0在定义域上恒成立,则a的取值范围是( )
A. (1e,+∞)B.(1,+∞)
C.(e,+∞)D. (12,+∞)
【解题指南】由f(x)>0得a>lnxx在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=lnxx(x>0),求出g(x)的最大值即可求解.
【解析】选A.f(x)=ax-ln x的定义域为(0,+∞),
由f(x)>0在定义域上恒成立,得a>lnxx在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=lnxx(x>0),g'(x)=1-lnxx2,
令g'(x)=0得x=e,x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(e)=1e,所以a>1e.
【加练备选】
已知函数f(x)=ln x-(x-a)2(a∈R)在区间[1,+∞)上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是( )
A.[12,+∞)B. (12,+∞)
C.[1,+∞)D.(1,+∞)
【解题指南】分析可知,存在x∈[1,+∞),使得f'(x)>0,由参变量分离法可得a>x-12x,求出函数g(x)=x-12x在[1,+∞)上的最小值,即可得出实数a的取值范围.
【解析】选B.因为f(x)=ln x-(x-a)2(a∈R),则f'(x)=1x-2x+2a,因为函数f(x)在区间[1,+∞)上存在单调递增区间,则存在x∈[1,+∞),使得f'(x)>0,即1x-2x+2a>0,可得a>x-12x,设g(x)=x-12x,
因为函数y=x,y=-12x在[1,+∞)上均为增函数,则函数g(x)在[1,+∞)上为增函数,
当x≥1时,g(x)min=g(1)=1-12=12,故a>12.
8.(2024·长春模拟)已知a=sin 13,b=13cs 13,c=ln 32,则( )
A.cC.b【解析】选D.设f(x)=sin x-xcs x,x∈(0,π2),则f'(x)=xsin x,在x∈(0,π2)时,f'(x)>0,
所以f(x)在(0,π2)上单调递增,
所以f(x)>f(0)=0,
则f(13)=sin 13-13cs 13>0,
即sin 13>13cs 13,则a>b;
设g(x)=ln x+1x,则g'(x)=x-1x2,x>0,
则当x∈(0,1)时,g'(x)<0,所以g(x)单调递减,
则当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)单调递增,
所以g(32)=ln 32+23>g(1)=1,
则ln 32>13;
设h(x)=x-sin x,x∈(0,π2),则h'(x)=1-cs x>0,
所以h(x)在(0,π2)上单调递增,
则h(13)=13-sin 13>h(0)=0,
即13>sin 13,则ln 32>sin 13,所以c>a,所以c>a>b.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.关于函数y=lg(21-x-1)说法正确的是( )
A.定义域为(-1,1)
B.图象关于y轴对称
C.图象关于原点对称
D.在(0,1)上单调递增
【解析】选ACD.因为f(x)=lg(21-x-1)=lg(1+x1-x),所以1+x1-x>0⇒x+1x-1<0⇒-10在(0,1)上单调递减,所以y=21-x-1>0在(0,1)上单调递增,又y=
lg x在(0,+∞)上单调递增,所以y=lg(21-x-1)在(0,1)上单调递增,故D正确.
10.地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定,一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为M=lgAmaxA0(其中常数A0是距震中100千米处接收到的0级地震的地震波的最大振幅,Amax是指我们关注的这次地震在距震中100千米处接收到的地震波的最大振幅).地震的能量E(单位:焦耳)是指当地震发生时,以地震波的形式放出的能量.已知E=104.8×101.5M,其中M为地震震级.下列说法正确的
是( )
A.若地震震级M增加1级,则最大振幅Amax增加到原来的10倍
B.若地震震级M增加1级,则放出的能量E增加到原来的10倍
C.若最大振幅Amax增加到原来的10倍,则放出的能量E增加到原来的1010倍
D.若最大振幅Amax增加到原来的10倍,则放出的能量E增加到原来的1 000倍
【解析】选AC.因为M'=lg A'maxA0=M+1=1+lgAmaxA0=lg10AmaxA0,所以A'max=10Amax,故A正确;
因为E'=104.8×101.5M '=104.8×101.5(M+1)=104.8×101.5M+1.5=101.5E,所以B错误;
因为M'=lg10AmaxA0=M+1,所以E'=104.8×101.5M'=104.8×101.5(M+1)
=104.8×101.5M+1.5=101.5E=1010E,
所以C正确,D错误.
11.(2024·南京模拟)已知函数f(x)=x2ex-a,x∈R,则下列说法正确的有( )
A.2是函数f(x)的极小值点
B.当x=0时,函数f(x)取得最小值
C.当a=4e2时,函数f(x)存在2个零点
D.若函数f(x)有1个零点,则a>4e2或a=0
【解析】选BCD.对A,由题意f'(x)=2xex-exx2e2x=x(2-x)ex,x∈R,所以当x<0或x>2时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减;当00,此时f(x)单调递增;所以2是函数f(x)的极大值点,故A错误;
对B,由A知f(x)极小值=f(0)=-a,且当x→+∞时,f(x)→-a,且大于-a,则当x=0时,函数f(x)取得最小值,故B正确;
对于C,若a=4e2,则令f(x)=x2ex-4e2=0,即x2ex=4e2,设h(x)=x2ex,
则h'(x)=x(2-x)ex,所以当x<0或x>2时,h'(x)<0,此时h(x)单调递减,
当00,此时h(x)单调递增,
则h(x)极小值=h(0)=0,h(x)极大值=h(2)=4e2,且当x→+∞,h(x)→0,且大于0,作出函数图象如图所示,则直线y=4e2与函数h(x)有两个交点,则当a=4e2时,函数f(x)存在2个零点,故C正确;
对于D,若函数f(x)有1个零点,即方程a=x2ex有一个根,则转化为直线y=a与h(x)=x2ex的图象只有一个交点,由图可知,若函数f(x)有1个零点,则a>4e2或a=0,故D正确.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.(2024·宝鸡模拟)曲线f(x)=ln(5x+2)在点(-15,0)处的切线方程为__________.
答案:y=5x+1
【解析】f(x)=ln(5x+2)的导数为f'(x)=55x+2,
可得曲线f(x)=ln(5x+2)在点(-15,0)处的切线斜率为k=5,
则切线的方程为y=5(x+15),即y=5x+1.
【加练备选】
已知a,b为正实数,函数f(x)=ax-bx在P(1,f(1))处的切线斜率为2,则1a+3b的最小值为________.
答案:2+3
【解析】由题意得f'(x)=a+bx2,则f'(1)=a+b=2,因为a,b为正实数,则1a+3b=12(1a+3b)(a+b)=12(4+ba+3ab)≥12(4+23)=2+3,当且仅当ba=3ab时取到等号.
13.已知函数f(x)=b+2a-12x-a(a>0)是奇函数,则a+b=__________.
答案:32
【解析】由于函数的定义域满足2x-a≠0⇒x≠lg2a,故定义域为xx≠lg2a,
根据奇函数的定义域关于原点对称可知lg2a=0⇒a=1,所以f(x)=b+12x-1,
f(-x)=b+12-x-1=b+2x1-2x,
所以f(-x)+f(x)=b+12x-1+b+2x1-2x=0⇒2b-1=0⇒b=12,
故a+b=32.
14.(2024·恩施模拟)已知函数f(x)=|x2-2x-3|,x>-2,x+6,x≤-2,存在直线y=m与f(x)的图象有4个交点,则m=________;若存在实数x1=f(x4)=f(x5),则x1+x2+x3+x4+x5的取值范围是________.
【解题指南】画出分段函数的图象,利用数形结合的思想求m,再根据二次函数的性质及-6答案:4 (-2,2)
【解析】作出f(x)=|x2-2x-3|,x>-2,x+6,x≤-2的图象如图,
因为直线y=m与f(x)的图象有4个交点,所以m=4;
记f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=f(x5)=k,
则直线y=k与f(x)的图象有5个交点,x1由图可知,-6所以x1+x2+x3+x4+x5=x1+4∈(-2,2),
即x1+x2+x3+x4+x5的取值范围是(-2,2).
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数f(x)=x3-ax2+x的一个极值点为1.
(1)求a;
【解析】(1)因为f(x)=x3-ax2+x,
所以f'(x)=3x2-2ax+1.
因为f(x)的一个极值点为1,所以f'(1)=3-2a+1=0,所以a=2.
因为f'(x)=3x2-4x+1=(x-1)(3x-1),
当131时,f'(x)>0,
所以f(x)在(13,1)上单调递减,在(-∞,13),(1,+∞)上单调递增,
所以f(x)的极小值点为1,符合题意.故a=2.
(2)若过原点作直线与曲线y=f(x)相切,求切线方程.
【解析】(2)设切点为(x0,f(x0)),
则f(x0)=x03-2x02+x0,f'(x0)=3x02-4x0+1,
所以切线方程为y-(x03-2x02+x0)=(3x02-4x0+1)(x-x0).
将点(0,0)代入得-(x03-2x02+x0)=(3x02-4x0+1)(-x0),
整理得x02(x0-1)=0,所以x0=0或x0=1.
当x0=0时,切线方程为y=x;
当x0=1时,切线方程为y=0.
【解题指南】(1)求出函数的导数f'(x),由f'(1)=0求出a值,再验证作答;
(2)设出切点坐标,利用导数的几何意义求出切线方程,结合已知求出切点坐标作答.
16.(15分)(2024·合肥模拟)已知函数f(x)=2a4x+1-1是奇函数.
(1)求实数a的值并判断函数单调性(无需证明);
【解析】(1)因为f(x)=2a4x+1-1是奇函数,所以f(0)=0,解得a=1;
当a=1时,f(x)=24x+1-1=1-4x4x+1,定义域为R,
又f(-x)=1-4-x4-x+1=4x-14x+1=-f(x),符合题意,所以a=1.因为y=4x+1为增函数,所以f(x)为减函数.
(2)若不等式f(4x+1)+f(t-2·2x+5)<0在R上恒成立,求实数t的取值范围.
【解析】(2)f(4x+1)+f(t-2·2x+5)<0等价于f(4x+1)<-f(t-2·2x+5),
即f(4x+1)因为f(x)为减函数,所以4x+1>-t+2·2x-5,
即4x-2·2x+6>-t;
令m=2x>0,则上式化为m2-2m+6>-t,
即(m-1)2+5>-t,所以t>-5.故实数t的取值范围为(-5,+∞).
17.(15分)设函数f(x)=xekx(k≠0).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
【解析】(1)f'(x)=ekx-kxekxe2kx=1-kxekx,f'(0)=1,又f(0)=0,
所以所求切线方程为y=x;
(2)求函数f(x)的单调区间;
【解析】(2)f'(x)=1-kxekx,
当k>0,x<1k时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
x>1k时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当k<0,x<1k时,f'(x)<0,f(x)单调递减,x>1k时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以当k>0时,单调递增区间是(-∞,1k),单调递减区间是(1k,+∞);
当k<0时,单调递减区间是(-∞,1k),单调递增区间是(1k,+∞);
(3)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围.
【解析】(3)由(2)知,当k>0时,1k≥1,即0当k<0时,1k≤-1,即-1≤k<0;
所以k的取值范围是[-1,0)∪(0,1].
【解题指南】(1)求出导函数f'(x),求得f'(0)得切线斜率,再求出函数值f(0)后可得切线方程;
(2)分类讨论确定f'(x)>0和f'(x)<0的解,得单调区间;
(3)由(2)中单调递增区间得关于k的不等式,从而求得其范围.
18.(17分)已知函数f(x)=12x2-3ax+2a2ln x,a≠0.
(1)讨论f(x)的单调区间;
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=(x-a)(x-2a)x.
若a>0,当x∈(0,a)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(a,2a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(2a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
若a<0,则f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增.
综上,当a>0时,f(x)的单调递增区间为(0,a),(2a,+∞),单调递减区间为(a,2a);
当a<0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.
(2)若f(x)有3个零点,求a的取值范围.
【解析】(2)因为f(x)有3个零点,所以a>0,
又f(x)的单调递增区间为(0,a),(2a,+∞),单调递减区间为(a,2a),
所以f(a)=-52a2+2a2ln a>0,f(2a)=-4a2+2a2ln(2a)<0,
解得e54此时f(1)=12-3a<0,f(6a)=2a2ln 6a>0,
故函数f(x)在区间(1,a),(a,2a),(2a,6a)上各有一个零点,
即函数f(x)在区间(0,a),(a,2a),(2a,+∞)上各有一个零点,满足要求,
所以a的取值范围为(e54,e22).
【解题指南】(1)先求出函数的定义域,从而根据函数的解析式,求出函数的导函数,分析导函数符号在不同区间上的取值,
根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系即可求出所求区间.
(2)由条件,根据函数的单调性结合零点存在性定理可求a的取值范围.
【方法技巧】
导函数中两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题,注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
19.(17分)(2024·许昌模拟)已知函数f(x)=2x+aln x(a∈R),g(x)=ex-x(其中e为自然对数的底数).
(1)若函数f(x)的图象与x轴相切,求a的值;
【解析】(1)若a=0,则函数f(x)=2x,不符合题意,所以a≠0;因为f(x)=2x+aln x(a∈R),则f'(x)=2+ax,设切点坐标为(x0,0),
则f'(x0)=2+ax0=0,解得x0=-a2,
且f(-a2)=-a+aln(-a2)=0,
整理可得ln(-a2)=1,
可得-a2=e,解得a=-2e.
(2)设a>0,∀x1,x2∈[2,4](x1≠x2),都有|f(x1)-f(x2)|<|g(x1)-g(x2)|,求实数a的取值范围.
【解析】(2)因为a>0,则f'(x)=2+ax>0对任意的x∈[2,4]恒成立,所以函数f(x)在[2,4]上单调递增,
因为g(x)=ex-x,则g'(x)=ex-1>0对任意的x∈[2,4]恒成立,
则函数g(x)在[2,4]上单调递增,不妨设2≤x1由|f(x1)-f(x2)|<|g(x1)-g(x2)|可得f(x2)-f(x1)即f(x2)-g(x2)记h(x)=f(x)-g(x)=3x+aln x-ex,则h(x1)>h(x2),
则函数h(x)在[2,4]上单调递减,h'(x)=3+ax-ex≤0在[2,4]上恒成立,则对任意的x∈[2,4],
a≤xex-3x,
令p(x)=xex-3x,其中x∈[2,4],则p'(x)=(x+1)ex-3,
令q(x)=(x+1)ex-3,其中x∈[2,4],
则q'(x)=(x+2)ex>0对任意的x∈[2,4]恒成立,
所以函数p'(x)在区间[2,4]上单调递增,
则p'(x)≥p'(2)=3e2-3>0,
所以函数p(x)在[2,4]上单调递增,
则a≤p(x)min=p(2)=2e2-6,
又因为a>0,则实数a的取值范围是(0,2e2-6].
【方法技巧】
利用函数的单调性求参数,可按照以下原则进行:
(1)函数f(x)在区间D上单调递增⇔f'(x)≥0在区间D上恒成立;
(2)函数f(x)在区间D上单调递减⇔f'(x)≤0在区间D上恒成立;
(3)函数f(x)在区间D上不单调⇔f'(x)在区间D上存在异号零点;
(4)函数f(x)在区间D上存在单调递增区间⇔∃x∈D,使得f'(x)>0成立;
(5)函数f(x)在区间D上存在单调递减区间⇔∃x∈D,使得f'(x)<0成立.