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2024-2025学年九年级数学上册专题1.3 正方形的性质与判定【十二大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版）
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这是一份2024-2025学年九年级数学上册专题1.3 正方形的性质与判定【十二大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版），共18页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22041" 【题型1 正方形与矩形、菱形的性质的区别与练习】 PAGEREF _Tc22041 \h 1
\l "_Tc29467" 【题型2 由正方形的性质求角度】 PAGEREF _Tc29467 \h 2
\l "_Tc20016" 【题型3 由正方形的性质求线段长】 PAGEREF _Tc20016 \h 4
\l "_Tc11793" 【题型4 由正方形的性质求面积】 PAGEREF _Tc11793 \h 5
\l "_Tc25794" 【题型5 正方形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc25794 \h 6
\l "_Tc164" 【题型6 正方形中的证明】 PAGEREF _Tc164 \h 8
\l "_Tc25680" 【题型7 正方形与矩形、菱形的判定定理的区别与练习】 PAGEREF _Tc25680 \h 9
\l "_Tc28097" 【题型8 证明四边形是正方形】 PAGEREF _Tc28097 \h 11
\l "_Tc25793" 【题型9 由正方形性质与判定求线段长度】 PAGEREF _Tc25793 \h 12
\l "_Tc29624" 【题型10 由正方形性质与判定求角度】 PAGEREF _Tc29624 \h 14
\l "_Tc8475" 【题型11 由正方形性质与判定求面积】 PAGEREF _Tc8475 \h 15
\l "_Tc10122" 【题型12 由正方形性质与判定证明】 PAGEREF _Tc10122 \h 17
知识点1：正方形的性质
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
性质：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
【题型1 正方形与矩形、菱形的性质的区别与练习】
【例1】（23-24九年级·广西南宁·期中）学习了四边形之后，小颖同学用如下图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（ ）
A．平行四边形，正方形B．正方形，菱形C．正方形，矩形D．矩形，菱形
【变式1-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（ ）
A．对角线长度相等B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分D．一组对角线平分一组对角
【变式1-2】（23-24九年级·河南安阳·期末）用两块完全重合的等腰直角三角形纸片拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等边三角形；（5）等腰直角三角形，一定能拼成的图形是（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（5）C．（2）（3）（5）D．（1）（3）（4）（5）
【变式1-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点（不与点A、C重合），且AE=CF，分别连接BE、BF、DE、DF，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形BFDE是平行四边形
B．若四边形ABCD是菱形，那么四边形BFDE也是菱形
C．若四边形ABCD是正方形，那么四边形BFDE是菱形
D．若四边形ABCD是矩形，那么四边形BFDE也是矩形
【题型2 由正方形的性质求角度】
【例2】（23-24九年级·重庆江津·期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边AD、AB上的点，连接CE、CF，CG平分∠ECB，若CE=CF．当∠DEC=α时，则∠GCF的度数为（ ）
A．α2B．90°−α
C．3α2−90°D．180°−32α
【变式2-1】（23-24九年级·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，正方形ABCD中，点M,N,P分别在AB,CD,BD上，∠MPN=90°，MN经过对角线BD的中点O，若∠PMN=α，则∠AMP一定等于（ ）
A．2αB．45°+αC．90°−12αD．135°−α
【变式2-2】（23-24九年级·辽宁大连·期末）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，且∠ABE=72°；延长BE交CD于点F，连接DE，则∠DEF的度数为 ．
【变式2-3】（23-24九年级·重庆九龙坡·期末）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E为边AB上一点，连接DE，过点C作CF⊥DE于点F，连接OF，若∠ACF=α，则∠DOF的度数为（ ）
A．2aB．30°+aC．45°−aD．60°−2a
【题型3 由正方形的性质求线段长】
【例3】（23-24·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF．交CD于点M．若BE=DF=1，则DM的长度为（ ）
A．2B．5C．6D．125
【变式3-1】（23-24九年级·河北邯郸·期末）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为1,3，则点B的坐标为 （ ）
A．−3,1B．−1,3
C．1+3,1−3D．1−3,1+3
【变式3-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=2，CE=6，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（ ）
A．22B．5C．355D．655
【变式3-3】（23-24·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB，则OM+12FG的最小值是（ ）
A．4B．5C．8D．10
【题型4 由正方形的性质求面积】
【例4】（23-24九年级·辽宁朝阳·期末）如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积是 ．
【变式4-1】（23-24九年级·四川德阳·期末）《九章算术》中有一问题：“今有勾三步，股四步，问勾中容方几何？”意思是：如图1，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求内接正方形DECF的边长．我国数学家刘徽用“出人相补”原理将直角三角形补成知形ACBG（如图1），在该图形中发现一个与正方形DECF面积相等的图形，从而求得这个正方形的边长．若点A在线段AG上平移至点A′，连接A′C，A′B与直线ED分别相交于点M，点N（如图2），则平行四边形MCFN的面积为（ ）
A．12B．14449C．25D．14425
【变式4-2】（23-24九年级·山西吕梁·期末）如图，一个正方形ABCD中有两个小正方形，如果它们的面积分别为S1，S2，则S1 S2（填“>”或“=”或“<”）．
【变式4-3】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，以直角△ABC的每一条边为边长，在AB的同侧作三个正方形，各个涂色部分分别用①、②、③、④、⑤表示，已知②、④两部分的面积和为18cm2，则③、⑤两部分的面积和为（ ）cm2．
A．8B．9C．10D．11
【题型5 正方形中的折叠问题】
【例5】（23-24九年级·湖北襄阳·期末）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，点F在AD上，沿BF折叠，使点A落在AE上的G点，若DE=5，则GE的长为 ．
【变式5-1】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿EF对折再展平，沿折痕剪开，得到矩形ABEF和矩形CEFD，再将矩形ABEF绕点E顺时针方向旋转．使点A与点D重合，点F的对应点为F′，则图②中阴影部分的周长为（ ）
A．9B．10C．16D．20
【变式5-2】（23-24九年级·湖南怀化·期末）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB,CD上，∠EFD=60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）
A．1B．2C．5D．2
【变式5-3】（23-24九年级·湖南永州·期末）如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【课本再现】
第一步：如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平；
第二步：在AD上选一点P，沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM，BM，根据以上操作，当点M在EF上时，∠PBM=___________°；
(2)【类比应用】
如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ，当点M在EF上时，求∠MBQ的度数；
(3)【拓展延伸】
在（2）的探究中，正方形纸片的边长为4，改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM，BM，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．当QF=1cm时，请求出AP的长．
【题型6 正方形中的证明】
【例6】（23-24九年级·安徽安庆·期末）如图，在正方形纸片ABCD中，P为正方形边AD上的一点（不与点A，D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．
(1)求证：PB平分∠APG；
(2)求证：BP=EF；
(3)探究CH，AP与PH的数量关系，并说明理由．
【变式6-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）已知；正方形ABCD的边长是4，F是DC边的中点，E是BC上的点，且CE=14BC，如图，求证：∠AFE=90°．
【变式6-2】（23-24九年级·四川宜宾·期末）正方形ABCD的边长为6，正方形DEFG的顶点E、F分别在正方形ABCD的对角线AC和BC边上，BF=2CF，连接CG．
(1)求证：AE=CG；
(2)求AE2+CE2的值．
【变式6-3】（23-24九年级·江苏泰州·期末）【阅读材料】
在学习正方形时，我们遇到过这样的问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在BC、CD、AD、AB上，且GE⊥HF，垂足为M，那么GE与HF相等吗？
分别过点G、H作GP⊥BC、HQ⊥CD，垂足分别为P、Q，通过证明△GPE≌△HQF，得到GE=HF．
根据阅读材料，完成下面探究1、探究2中的问题．
【探究1】
如图2，在正方形ABCD中，点E在BC上，使用无刻度的直尺和圆规作BF⊥AE，交CD于点F（要求直尺、圆规各使用一次），保留作图痕迹，并标出点F，不要求写作法；
【探究2】
如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，将正方形ABCD沿着EF翻折，点B、C分别落在B′、C′处，且B′C′经过点D，将纸片展开，延长C′F交BC于点G，连接DG交EF于点M．
（1）求证：DF=GF；
（2）求证：AE+CG=DF．
知识点2：正方形的判定
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．
【题型7 正方形与矩形、菱形的判定定理的区别与练习】
【例7】（23-24九年级·浙江台州·期末）甲，乙两位同学采用折叠的方法，判断两张四边形纸片是否为正方形．
甲：如图①进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形；
乙：如图②进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形．
下列判断正确的是（ ）
A．仅甲正确B．仅乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
【变式7-1】（23-24九年级·重庆荣昌·期末）下列命题：
①对角线相等的菱形是正方形；
②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
④对角线互相垂直的矩形是正方形；
其中是真命题的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式7-2】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，连结AC、BD，回答问题
（1）对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是矩形．
（2）对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是菱形．
（3）对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是正方形．
【变式7-3】（12-13九年级·江苏扬州·期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形
【题型8 证明四边形是正方形】
【例8】（23-24九年级·四川乐山·期末）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
(1)求证：BE=DE；
(2)如图2，过点E作EF⊥BE，交边CD于点F，以BE，EF为邻边作矩形BEFG，连接CG．
①求证：矩形BEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为6，CG=22，求正方形BEFG的边长．
【变式8-1】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，在矩形ABCD中，E是边CD上一点，F是CB的延长线上一点，连接AE，AF，已知BF=DE，AF⊥AE．
(1)求证：四边形ABCD是正方形．
(2)若∠DAE=30°，DE=1，求四边形AECB的面积．
【变式8-2】（23-24九年级·湖北荆门·期末）问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AD=6．
(1)如图1，A小组将矩形纸片ABCD折叠，点D落在AB边上的点E处，折痕为AF，连接EF，然后将纸片展平，得到四边形AEFD．求证：四边形AEFD是正方形；
(2)如图2，B小组将矩形纸片ABCD对折使AB与DC重合，展平后得到折痕PQ，再次过点A折叠使点D落在折痕PQ上的点N处，得到折痕AM，连结MN，展平后得到四边形ANMD，求四边形ANMD的面积；
【变式8-3】（23-24九年级·山西临汾·期末）综合与实践
问题解决：
（1）如图1，在△ABC中，BD是AC边上的中线，E是BD的中点，过点B作BF∥AC，交CE的延长线于点F，连接AF．求证：四边形ADBF是平行四边形．
类比迁移：
（2）如图2，在（1）的条件下，当AB=BC时，试判断四边形ADBF的形状，并说明理由．
拓展应用：
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADBF是正方形？请直接写出结论，不必证明．
【题型9 由正方形性质与判定求线段长度】
【例9】（23-24九年级·浙江湖州·期末）正方形工整、匀称、美观，设计方便，在人们的生活和生产实际中有着广泛的应用．如图1为某园林石窗，其外框为边长为6的正方形ABCD（如图2），点E，F，G，H分别为边上的中点，以四边形EFGH各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形（如△IJK），四个等边三角形的顶点恰好是正方形MNPQ各边的中点，则点H，M之间的距离是 ．
【变式9-1】（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC，CD=6，AD=8，则对角线BD的长为 ．
【变式9-2】（23-24九年级·山西太原·期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在▱ABCD中，∠ADC=90°，点O是边AD的中点，连接AC．保持▱ABCD不动，将△ADC从图1的位置开始，绕点O顺时针旋转得到△EFG，点A，D，C的对应点分别为点E，F，G．当线段AB与线段FG相交于点M（点M不与点A，B，F，G重合）时，连接OM．老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究．
(1)初步思考：如图2，连接FD，“勤学”小组在旋转的过程中发现FD∥OM，请你证明这一结论；
(2)操作探究：如图3，连接BG，“善思”小组在旋转的过程中发现OM垂直平分BG，请你证明这一结论；
(3)拓展延伸：已知AD=22，CD=2，在旋转的过程中，当以点F，C，D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时线段AM的长度．
【变式9-3】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，AB=42，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG，AE2+CE2的最小值为 ．
【题型10 由正方形性质与判定求角度】
【例10】（23-24九年级·河南郑州·阶段练习）四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．
(1)如图，求证：矩形 DEFG 是正方形；
(2)若 AB＝22，CE＝2，求 CG 的长；
(3)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数．
【变式10-1】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，BE＝BC，过点E作EF∥AC，交BD于点F，连接CF，DE．
(1)如图1，求证：四边形CDEF是菱形；
(2)如图2，当∠DEF=90°，AC=BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为∠ABD的度数2倍的角．
【变式10-2】（23-24九年级·贵州黔南·期末）如图，用四个完全相同的矩形拼成了一个大正方形，AB是其中一个小矩形的对角线，请在大正方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹．
(1)在图中画出一个以AB为边的正方形；
(2)在图中画出一个以点A或点B为顶点，AB为一边的45°角，并说明理由．
【变式10-3】（23-24九年级·天津和平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△ABC将绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F，连接BE．
(1)求证：DC平分∠ADE；
(2)试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；
(3)若BE=BD，求∠ABC的大小．（直接写出结果即可）
【题型11 由正方形性质与判定求面积】
【例11】（23-24九年级·江苏扬州·期中）【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点， 交AB于点E， 交BC于点F，则AE与BF的数量关系为______；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且 ，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；
【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形EGFH是正方形．
【变式11-1】（23-24九年级·江西上饶·期中）如图，阴影部分是一个正方形广场，规划将正方形的四边各延长一倍，即DM=AD、CN=CD、AQ=AB、BP=BC，将M、N、P、Q四点连接，建成新的广场MNPQ，试问建成的新广场是什么形状，并且它的面积是原广场ABCD的多少倍？
【变式11-2】（23-24九年级·山东烟台·期中）已知，如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ADC=90°，AD=CD，DE⊥BC，垂足为点E．
(1)求证：BE=DE；
(2)若AB=32，CE=1，求四边形ABCD的面积．
【变式11-3】（23-24九年级·北京大兴·期中）我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形．
(1)下列图形：①有一个内角为45°的平行四边形；②矩形；③菱形；
④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）；
(2)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，在菱形ABCD的外部以CD为斜边作等腰直角△CDN，连接MN．
①求证：四边形DMCN是对角直角四边形；
②若点N到BD的距离是2，求四边形DMCN的面积．
【题型12 由正方形性质与判定证明】
【例12】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图①，在正方形ABCD中，点E,F分别在AB,BC上且AE=BF．
(1)试探索线段AF,DE的大小关系，写出你的结论并说明理由；
(2)连接EF,DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H,I,J,K，顺次连接，得到四边形HIJK：
①请在图②中补全图形；
②四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请说明理由．
【变式12-1】（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，若点P是正方形ABCD外一点，且PA=26，PB=52，PC=24，则∠BPC= °．
【变式12-2】（23-24九年级·山东临沂·期末）如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN．试判断四边形EFMN是什么图形，并证明你的结论．
【变式12-3】（23-24九年级·广东云浮·期中）问题情境：通过对《平行四边形》一章内容的学习，我们认识到矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，还有各自的特殊性质．根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的判定定理．数学课上，老师给出了一道题：如图①，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP．
初步探究：
（1）判断四边形CODP的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）如图②，若四边形ABCD是菱形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓展延伸：
（3）如图③，若四边形ABCD是正方形，四边形CODP又是什么特殊的四边形？请说明理由．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22041" 【题型1 正方形与矩形、菱形的性质的区别与练习】 PAGEREF _Tc22041 \h 1
\l "_Tc29467" 【题型2 由正方形的性质求角度】 PAGEREF _Tc29467 \h 2
\l "_Tc20016" 【题型3 由正方形的性质求线段长】 PAGEREF _Tc20016 \h 4
\l "_Tc11793" 【题型4 由正方形的性质求面积】 PAGEREF _Tc11793 \h 5
\l "_Tc25794" 【题型5 正方形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc25794 \h 6
\l "_Tc164" 【题型6 正方形中的证明】 PAGEREF _Tc164 \h 8
\l "_Tc25680" 【题型7 正方形与矩形、菱形的判定定理的区别与练习】 PAGEREF _Tc25680 \h 9
\l "_Tc28097" 【题型8 证明四边形是正方形】 PAGEREF _Tc28097 \h 11
\l "_Tc25793" 【题型9 由正方形性质与判定求线段长度】 PAGEREF _Tc25793 \h 12
\l "_Tc29624" 【题型10 由正方形性质与判定求角度】 PAGEREF _Tc29624 \h 14
\l "_Tc8475" 【题型11 由正方形性质与判定求面积】 PAGEREF _Tc8475 \h 15
\l "_Tc10122" 【题型12 由正方形性质与判定证明】 PAGEREF _Tc10122 \h 17
知识点1：正方形的性质
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
性质：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
【题型1 正方形与矩形、菱形的性质的区别与练习】
【例1】（23-24九年级·广西南宁·期中）学习了四边形之后，小颖同学用如下图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（ ）
A．平行四边形，正方形B．正方形，菱形C．正方形，矩形D．矩形，菱形
【变式1-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（ ）
A．对角线长度相等B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分D．一组对角线平分一组对角
【变式1-2】（23-24九年级·河南安阳·期末）用两块完全重合的等腰直角三角形纸片拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等边三角形；（5）等腰直角三角形，一定能拼成的图形是（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（5）C．（2）（3）（5）D．（1）（3）（4）（5）
【变式1-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点（不与点A、C重合），且AE=CF，分别连接BE、BF、DE、DF，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形BFDE是平行四边形
B．若四边形ABCD是菱形，那么四边形BFDE也是菱形
C．若四边形ABCD是正方形，那么四边形BFDE是菱形
D．若四边形ABCD是矩形，那么四边形BFDE也是矩形
【题型2 由正方形的性质求角度】
【例2】（23-24九年级·重庆江津·期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边AD、AB上的点，连接CE、CF，CG平分∠ECB，若CE=CF．当∠DEC=α时，则∠GCF的度数为（ ）
A．α2B．90°−α
C．3α2−90°D．180°−32α
【变式2-1】（23-24九年级·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，正方形ABCD中，点M,N,P分别在AB,CD,BD上，∠MPN=90°，MN经过对角线BD的中点O，若∠PMN=α，则∠AMP一定等于（ ）
A．2αB．45°+αC．90°−12αD．135°−α
【变式2-2】（23-24九年级·辽宁大连·期末）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，且∠ABE=72°；延长BE交CD于点F，连接DE，则∠DEF的度数为 ．
【变式2-3】（23-24九年级·重庆九龙坡·期末）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E为边AB上一点，连接DE，过点C作CF⊥DE于点F，连接OF，若∠ACF=α，则∠DOF的度数为（ ）
A．2aB．30°+aC．45°−aD．60°−2a
【题型3 由正方形的性质求线段长】
【例3】（23-24·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF．交CD于点M．若BE=DF=1，则DM的长度为（ ）
A．2B．5C．6D．125
【变式3-1】（23-24九年级·河北邯郸·期末）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为1,3，则点B的坐标为 （ ）
A．−3,1B．−1,3
C．1+3,1−3D．1−3,1+3
【变式3-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=2，CE=6，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（ ）
A．22B．5C．355D．655
【变式3-3】（23-24·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB，则OM+12FG的最小值是（ ）
A．4B．5C．8D．10
【题型4 由正方形的性质求面积】
【例4】（23-24九年级·辽宁朝阳·期末）如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积是 ．
【变式4-1】（23-24九年级·四川德阳·期末）《九章算术》中有一问题：“今有勾三步，股四步，问勾中容方几何？”意思是：如图1，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求内接正方形DECF的边长．我国数学家刘徽用“出人相补”原理将直角三角形补成知形ACBG（如图1），在该图形中发现一个与正方形DECF面积相等的图形，从而求得这个正方形的边长．若点A在线段AG上平移至点A′，连接A′C，A′B与直线ED分别相交于点M，点N（如图2），则平行四边形MCFN的面积为（ ）
A．12B．14449C．25D．14425
【变式4-2】（23-24九年级·山西吕梁·期末）如图，一个正方形ABCD中有两个小正方形，如果它们的面积分别为S1，S2，则S1 S2（填“>”或“=”或“<”）．
【变式4-3】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，以直角△ABC的每一条边为边长，在AB的同侧作三个正方形，各个涂色部分分别用①、②、③、④、⑤表示，已知②、④两部分的面积和为18cm2，则③、⑤两部分的面积和为（ ）cm2．
A．8B．9C．10D．11
【题型5 正方形中的折叠问题】
【例5】（23-24九年级·湖北襄阳·期末）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，点F在AD上，沿BF折叠，使点A落在AE上的G点，若DE=5，则GE的长为 ．
【变式5-1】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿EF对折再展平，沿折痕剪开，得到矩形ABEF和矩形CEFD，再将矩形ABEF绕点E顺时针方向旋转．使点A与点D重合，点F的对应点为F′，则图②中阴影部分的周长为（ ）
A．9B．10C．16D．20
【变式5-2】（23-24九年级·湖南怀化·期末）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB,CD上，∠EFD=60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）
A．1B．2C．5D．2
【变式5-3】（23-24九年级·湖南永州·期末）如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【课本再现】
第一步：如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平；
第二步：在AD上选一点P，沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM，BM，根据以上操作，当点M在EF上时，∠PBM=___________°；
(2)【类比应用】
如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ，当点M在EF上时，求∠MBQ的度数；
(3)【拓展延伸】
在（2）的探究中，正方形纸片的边长为4，改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM，BM，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．当QF=1cm时，请求出AP的长．
【题型6 正方形中的证明】
【例6】（23-24九年级·安徽安庆·期末）如图，在正方形纸片ABCD中，P为正方形边AD上的一点（不与点A，D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．
(1)求证：PB平分∠APG；
(2)求证：BP=EF；
(3)探究CH，AP与PH的数量关系，并说明理由．
【变式6-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）已知；正方形ABCD的边长是4，F是DC边的中点，E是BC上的点，且CE=14BC，如图，求证：∠AFE=90°．
【变式6-2】（23-24九年级·四川宜宾·期末）正方形ABCD的边长为6，正方形DEFG的顶点E、F分别在正方形ABCD的对角线AC和BC边上，BF=2CF，连接CG．
(1)求证：AE=CG；
(2)求AE2+CE2的值．
【变式6-3】（23-24九年级·江苏泰州·期末）【阅读材料】
在学习正方形时，我们遇到过这样的问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在BC、CD、AD、AB上，且GE⊥HF，垂足为M，那么GE与HF相等吗？
分别过点G、H作GP⊥BC、HQ⊥CD，垂足分别为P、Q，通过证明△GPE≌△HQF，得到GE=HF．
根据阅读材料，完成下面探究1、探究2中的问题．
【探究1】
如图2，在正方形ABCD中，点E在BC上，使用无刻度的直尺和圆规作BF⊥AE，交CD于点F（要求直尺、圆规各使用一次），保留作图痕迹，并标出点F，不要求写作法；
【探究2】
如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，将正方形ABCD沿着EF翻折，点B、C分别落在B′、C′处，且B′C′经过点D，将纸片展开，延长C′F交BC于点G，连接DG交EF于点M．
（1）求证：DF=GF；
（2）求证：AE+CG=DF．
知识点2：正方形的判定
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．
【题型7 正方形与矩形、菱形的判定定理的区别与练习】
【例7】（23-24九年级·浙江台州·期末）甲，乙两位同学采用折叠的方法，判断两张四边形纸片是否为正方形．
甲：如图①进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形；
乙：如图②进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形．
下列判断正确的是（ ）
A．仅甲正确B．仅乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
【变式7-1】（23-24九年级·重庆荣昌·期末）下列命题：
①对角线相等的菱形是正方形；
②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
④对角线互相垂直的矩形是正方形；
其中是真命题的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式7-2】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，连结AC、BD，回答问题
（1）对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是矩形．
（2）对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是菱形．
（3）对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是正方形．
【变式7-3】（12-13九年级·江苏扬州·期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形
【题型8 证明四边形是正方形】
【例8】（23-24九年级·四川乐山·期末）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
(1)求证：BE=DE；
(2)如图2，过点E作EF⊥BE，交边CD于点F，以BE，EF为邻边作矩形BEFG，连接CG．
①求证：矩形BEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为6，CG=22，求正方形BEFG的边长．
【变式8-1】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，在矩形ABCD中，E是边CD上一点，F是CB的延长线上一点，连接AE，AF，已知BF=DE，AF⊥AE．
(1)求证：四边形ABCD是正方形．
(2)若∠DAE=30°，DE=1，求四边形AECB的面积．
【变式8-2】（23-24九年级·湖北荆门·期末）问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AD=6．
(1)如图1，A小组将矩形纸片ABCD折叠，点D落在AB边上的点E处，折痕为AF，连接EF，然后将纸片展平，得到四边形AEFD．求证：四边形AEFD是正方形；
(2)如图2，B小组将矩形纸片ABCD对折使AB与DC重合，展平后得到折痕PQ，再次过点A折叠使点D落在折痕PQ上的点N处，得到折痕AM，连结MN，展平后得到四边形ANMD，求四边形ANMD的面积；
【变式8-3】（23-24九年级·山西临汾·期末）综合与实践
问题解决：
（1）如图1，在△ABC中，BD是AC边上的中线，E是BD的中点，过点B作BF∥AC，交CE的延长线于点F，连接AF．求证：四边形ADBF是平行四边形．
类比迁移：
（2）如图2，在（1）的条件下，当AB=BC时，试判断四边形ADBF的形状，并说明理由．
拓展应用：
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADBF是正方形？请直接写出结论，不必证明．
【题型9 由正方形性质与判定求线段长度】
【例9】（23-24九年级·浙江湖州·期末）正方形工整、匀称、美观，设计方便，在人们的生活和生产实际中有着广泛的应用．如图1为某园林石窗，其外框为边长为6的正方形ABCD（如图2），点E，F，G，H分别为边上的中点，以四边形EFGH各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形（如△IJK），四个等边三角形的顶点恰好是正方形MNPQ各边的中点，则点H，M之间的距离是 ．
【变式9-1】（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC，CD=6，AD=8，则对角线BD的长为 ．
【变式9-2】（23-24九年级·山西太原·期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在▱ABCD中，∠ADC=90°，点O是边AD的中点，连接AC．保持▱ABCD不动，将△ADC从图1的位置开始，绕点O顺时针旋转得到△EFG，点A，D，C的对应点分别为点E，F，G．当线段AB与线段FG相交于点M（点M不与点A，B，F，G重合）时，连接OM．老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究．
(1)初步思考：如图2，连接FD，“勤学”小组在旋转的过程中发现FD∥OM，请你证明这一结论；
(2)操作探究：如图3，连接BG，“善思”小组在旋转的过程中发现OM垂直平分BG，请你证明这一结论；
(3)拓展延伸：已知AD=22，CD=2，在旋转的过程中，当以点F，C，D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时线段AM的长度．
【变式9-3】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，AB=42，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG，AE2+CE2的最小值为 ．
【题型10 由正方形性质与判定求角度】
【例10】（23-24九年级·河南郑州·阶段练习）四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．
(1)如图，求证：矩形 DEFG 是正方形；
(2)若 AB＝22，CE＝2，求 CG 的长；
(3)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数．
【变式10-1】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，BE＝BC，过点E作EF∥AC，交BD于点F，连接CF，DE．
(1)如图1，求证：四边形CDEF是菱形；
(2)如图2，当∠DEF=90°，AC=BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为∠ABD的度数2倍的角．
【变式10-2】（23-24九年级·贵州黔南·期末）如图，用四个完全相同的矩形拼成了一个大正方形，AB是其中一个小矩形的对角线，请在大正方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹．
(1)在图中画出一个以AB为边的正方形；
(2)在图中画出一个以点A或点B为顶点，AB为一边的45°角，并说明理由．
【变式10-3】（23-24九年级·天津和平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△ABC将绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F，连接BE．
(1)求证：DC平分∠ADE；
(2)试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；
(3)若BE=BD，求∠ABC的大小．（直接写出结果即可）
【题型11 由正方形性质与判定求面积】
【例11】（23-24九年级·江苏扬州·期中）【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点， 交AB于点E， 交BC于点F，则AE与BF的数量关系为______；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且 ，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；
【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形EGFH是正方形．
【变式11-1】（23-24九年级·江西上饶·期中）如图，阴影部分是一个正方形广场，规划将正方形的四边各延长一倍，即DM=AD、CN=CD、AQ=AB、BP=BC，将M、N、P、Q四点连接，建成新的广场MNPQ，试问建成的新广场是什么形状，并且它的面积是原广场ABCD的多少倍？
【变式11-2】（23-24九年级·山东烟台·期中）已知，如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ADC=90°，AD=CD，DE⊥BC，垂足为点E．
(1)求证：BE=DE；
(2)若AB=32，CE=1，求四边形ABCD的面积．
【变式11-3】（23-24九年级·北京大兴·期中）我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形．
(1)下列图形：①有一个内角为45°的平行四边形；②矩形；③菱形；
④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）；
(2)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，在菱形ABCD的外部以CD为斜边作等腰直角△CDN，连接MN．
①求证：四边形DMCN是对角直角四边形；
②若点N到BD的距离是2，求四边形DMCN的面积．
【题型12 由正方形性质与判定证明】
【例12】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图①，在正方形ABCD中，点E,F分别在AB,BC上且AE=BF．
(1)试探索线段AF,DE的大小关系，写出你的结论并说明理由；
(2)连接EF,DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H,I,J,K，顺次连接，得到四边形HIJK：
①请在图②中补全图形；
②四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请说明理由．
【变式12-1】（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，若点P是正方形ABCD外一点，且PA=26，PB=52，PC=24，则∠BPC= °．
【变式12-2】（23-24九年级·山东临沂·期末）如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN．试判断四边形EFMN是什么图形，并证明你的结论．
【变式12-3】（23-24九年级·广东云浮·期中）问题情境：通过对《平行四边形》一章内容的学习，我们认识到矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，还有各自的特殊性质．根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的判定定理．数学课上，老师给出了一道题：如图①，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP．
初步探究：
（1）判断四边形CODP的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）如图②，若四边形ABCD是菱形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓展延伸：
（3）如图③，若四边形ABCD是正方形，四边形CODP又是什么特殊的四边形？请说明理由．
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