北师大版九年级数学上册 专题1.3 正方形的性质与判定【十大题型】（举一反三）（学生版+解析版）

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\l "_Tc17048" 【题型1 正方形的性质（求角的度数）】 PAGEREF _Tc17048 \h 1
\l "_Tc8354" 【题型2 正方形的性质（求线段的长度）】 PAGEREF _Tc8354 \h 3
\l "_Tc7124" 【题型3 正方形的性质（求面积、周长）】 PAGEREF _Tc7124 \h 4
\l "_Tc13503" 【题型4 正方形的性质（探究数量关系）】 PAGEREF _Tc13503 \h 6
\l "_Tc11053" 【题型5 判定正方形成立的条件】 PAGEREF _Tc11053 \h 10
\l "_Tc8773" 【题型6 正方形判定的证明】 PAGEREF _Tc8773 \h 12
\l "_Tc5123" 【题型7 正方形的判定与性质综合】 PAGEREF _Tc5123 \h 16
\l "_Tc18218" 【题型8 探究正方形中的最值问题】 PAGEREF _Tc18218 \h 19
\l "_Tc11327" 【题型9 正方形在坐标系中的运用】 PAGEREF _Tc11327 \h 20
\l "_Tc31315" 【题型10 正方形中的多结论问题】 PAGEREF _Tc31315 \h 23
【知识点1 正方形的定义】
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
【知识点2 正方形的性质】
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
【题型1 正方形的性质（求角的度数）】
【例1】（2023春•建阳区期中）如图，在正方形ABCD中有一个点E，使三角形BCE是正三角形，
求：（1）∠BAE的大小
（2）∠AED的大小．
【变式1-1】如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．
【变式1-2】（2023•武威模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，点F在BC的延长线上，且BE＝EF，EF交CD于点G．
（1）求证：DE＝EF；
（2）求∠DEF的度数．
【变式1-3】（2023春•新市区校级期末）如图，在给定的正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠DFE+∠EPC的度数的变化情况是（ ）
A．一直减小B．一直减小后增大
C．一直不变D．先增大后减小
【题型2 正方形的性质（求线段的长度）】
【例2】（2023春•牡丹江期末）如图，正方形ABCD的边长为10，点E，F在正方形内部，AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，则线段EF的长为（ ）
A．2B．4C．4D．4
【变式2-1】（2023春•巴南区期末）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD上，且DE＝1，作EF∥BC分别交AC、AB于点G、F，P、H分别是AG，BE的中点，则PH的长是（ ）
A．2B．2.5C．3D．4
【变式2-2】（2023•越秀区一模）将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上，已知BG，BC＝3，连接DF，M是DF的中点，连接AM，则AM的长是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2023春•吴中区校级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE，点N、M分别为AF、DE的中点，连接MN，则MN的长度为 ．
【题型3 正方形的性质（求面积、周长）】
【例3】（2023春•鄞州区期末）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面积为（ ）
A．28B．29C．30D．31
【变式3-1】（2023春•工业园区校级期中）如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，OE＝2，若CE•DE＝3，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．5B．6C．8D．10
【变式3-2】（2023•台州）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为 ．
【变式3-3】（2023•江北区一模）如图，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，∠BAC＝90°，连结DG，点H为DG的中点，连结HB，HN，若要求出△HBN的面积，只需知道（ ）
A．△ABC的面积B．正方形ADEB的面积
C．正方形ACFG的面积D．正方形BNMC的面积
【题型4 正方形的性质（探究数量关系）】
【例4】（2023秋•中原区校级月考）如图，线段AB＝4，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．
（1）求证：△AEP≌△CEP；
（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）请直接写出△AEF的周长．
【变式4-1】（2023春•雁塔区校级期末）在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，该角可以绕点A转动，∠MAN的两边分别交射线CB，DC于点M，N．
（1）当点M，N分别在正方形的边CB和DC上时（如图1），线段BM，DN，MN之间有怎样的数量关系？你的猜想是： ，并加以证明．
（2）当点M，N分别在正方形的边CB和DC的延长线上时（如图2），线段BM，DN，MN之间的数量关系会发生变化吗？证明你的结论．
【变式4-2】（2023春•莆田期末）如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点．
（1）求证：AO＝BO；
（2）求证：∠HEB＝∠HNB；
（3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则的值．
【变式4-3】（2023春•鼓楼区校级期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点G．点H是线段CE上一点，且CO＝CH．
（1）若OF＝5，求FH的长；
（2）求证：BF＝OH+CF．
【知识点3 正方形的判定】
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
【题型5 判定正方形成立的条件】
【例5】（2023春•海淀区校级期中）已知四边形ABCD为凸四边形，点M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），下列说法正确的是 （填序号）．
①对于任意凸四边形ABCD，一定存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②如果四边形ABCD为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③如果四边形ABCD为任意矩形，那么一定存在一个四边形为正方形；
④如果四边形ABCD为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形．
【变式5-1】（2023春•岳麓区校级月考）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是 ．
【变式5-2】（2023春•汉寿县期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在AC上，且OE＝OF，连接DE并延长至点M，使DE＝ME，连接MF，DF，BE．
（1）当DF＝MF时，证明：四边形EMBF是矩形；
（2）当△DMF满足什么条件时，四边形EMBF是正方形？请说明理由．
【变式5-3】（2023春•沛县期中）已知在△ABC中，D为边BC延长线上一点，点O是边AC上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠ACD的平分线相交于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）试确定点O在边AC上的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
（3）在（2）的条件下，且△ABC满足 条件时，矩形AECF是正方形？．
【题型6 正方形判定的证明】
【例6】（2023春•虹口区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E是对角线BD上的一点，且AE＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果AB＝BE，且∠ABE＝2∠DCE，求证：四边形ABCD是正方形．
【变式6-1】（2023春•宜城市期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，过点D作DE∥AC与BC的延长线交于点E，连接AE交DC于F．
（1）求证：BC＝CE；
（2）连接BF，若∠DAF＝∠FBE，且AD＝2CF，求证：四边形ABCD是正方形．
【变式6-2】（2023秋•市南区期末）已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．
（1）求证：AF＝CG；
（2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？
【变式6-3】（2023•上海）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
【题型7 正方形的判定与性质综合】
【例7】（2023•威海）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O．
（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，则图3中阴影部分的面积为 cm2．
【变式7-1】（2023•萧山区模拟）如图，P为正方形ABCD内的一点，画▱PAHD，▱PBEA，▱PCFB，▱PDGC，请证明：以E，F，G，H为顶点的四边形是正方形．
【变式7-2】（2023•萧山区模拟）已知：如图，边长为4的菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）E是OB上一点，BE＝1，且DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求线段OF的长．
【变式7-3】（2023春•潜山市期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【题型8 探究正方形中的最值问题】
【例8】（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在正方形ABCD中，M，N是边AB上的动点，且AM＝BN，连接MD交对角线AC于点E，连接BE交CN于点F，若AB＝3，则AF长度的最小值为 ．
【变式8-1】（2023•泰山区一模）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（ ）
A．2B．1C．1D．2
【变式8-2】（2023•青山区模拟）已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝4AB＝8，E为线段AD上一动点，以CE为边向上构造正方形CEFG，连接BF，则BF的最小值是 ．
【变式8-3】（2023•郧阳区模拟）如图，PA，PB，以AB为边作正方形ABCD，使得P、D两点落在直线AB的两侧，当∠APB变化时，则PD的最大值为 ．
【题型9 正方形在坐标系中的运用】
【例9】（2023春•市中区期末）在平面直角坐标系中，对于两个点P、Q和图形W，如果在图形W上存在点M、N（M、N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．已知正方形的边长为2，一边平行于x轴，对角线的交点为点O，点D的坐标为（2，0）．若点E（x，2）与点D是正方形的一对平衡点，则x的取值范围为（ ）
A．﹣3≤x≤3B．﹣4≤x≤4C．﹣2≤x≤2D．﹣5≤x≤5
【变式9-1】（2023秋•永新县期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣2，0）、B（0，﹣2）、C（2，0）、D（0，2），求证：四边形ABCD是正方形．
【变式9-2】（2023春•顺城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线OC：yOC＝3x与直线AC：yAC＝﹣x+8相交于点C（2，6）．
（1）点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿x轴向左运动，两点同时出发．分别过点M，N作x轴的垂线，分别交直线OC，AC于点P，Q，请你在图1中画出图形，猜想四边形PMNQ的形状（点M，N重合时除外），并证明你的猜想；
（2）在（1）的条件下，当点M运动 秒时，四边形PMNQ是正方形（直接写出结论）．
【变式9-3】（2023•河南模拟）如图，正方形OABC中，点A（4，0），点D为AB上一点，且BD＝1，连接OD，过点C作CE⊥OD交OA于点E，过点D作MN∥CE，交x轴于点M，交BC于点N，则点M的坐标为（ ）
A．（5，0）B．（6，0）C．（，0）D．（，0）
【题型10 正方形中的多结论问题】
【例10】（2023春•慈溪市期末）如图，正方形ABCD中，点P为BD延长线上任一点，连结PA，过点P作PE⊥PA，交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F．下列结论：（1）PA＝PE； （2）BD＝2PF；（3）； （4）若BP＝BE，则．
其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式10-1】（2023春•渝中区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AFBE，CF与AD相交于点G．连接EC、EF、EG．下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1）a；③BE2+DG2＝EG2；④当G是线段AD的中点时，BEa．正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式10-2】（2023秋•三水区月考）如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G，下列结论：①HF＝2HG；②∠GDH＝∠GHD；③图中有8个等腰三角形；④S△CDG＝S△DHF．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式10-3】（2023春•玉林期末）如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠FAE，AG分别交BC、EF于点G、H，连接EG、DH．则下列结论中：①BF＝DE；②∠EGC＝2∠BAG；③AD+DEDH；④DE+BG＝EH；⑤若DE＝CE，则CE：CG：EG＝3：4：5，其中正确的结论有 ．