2023-2024学年四川省雅安市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年四川省雅安市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.9的平方根是( )
A. ±9B. 9C. ±3D. 3
2.下列图形中，中心对称图形是( )
A. B. C. D.
3.如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=15m，则A、B间的距离是( )
A. 18m
B. 24m
C. 28m
D. 30m
4.已知正多边形的一个外角等于60∘，则该正多边形的边数为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
5.下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( )
A. x2+5x−1=x(x+5)−1B. 16x2y=2x2⋅8y
C. (x+2)(x−2)=x2−4D. am+an=a(m+n)
6.某校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为( )
A. 13B. 23C. 12D. 34
7.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. ∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD
B. AB=DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DO
D. AB//DC，AD=BC
8.一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象如图所示，下列说法：
①对于函数y1=ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y=ax+d的图象不经过第一象限；
③不等式ax+b>cx+d的解集是x>3；
④d−b=3(a−c).
其中正确的有( )
A. ①③B. ②③④C. ①②④D. ②③
9.直角三角形的两边长m，n满足m2+ 2n−8−6m=−9，则第三边长是( )
A. 5B. 5或 7C. 4或 7D. 4
10.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120∘，AB=2BC，DE平分∠ADC，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，下列结论中正确的有( )
①∠BDC=30∘；
②DE=BC；
③OD=AD；
④S平行四边形ABCD=AD⋅BD.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
11.若关于x的方程a−xx−3+3=83−x有正整数解，且关于x的不等式组2(x+2)≤9+3x8x+17A. −4B. −9C. −16D. −21
12.如图，AD为△ABC中∠BAC的外角平分线，BD⊥AD于D，E为BC中点，DE=5，AC=3，则AB长为( )
A. 8.5
B. 8
C. 7.5
D. 7
二、填空题：本题共6小题，共20分。
13.因式分解：a2b−b=______.
14.如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为______.
15.如图，函数y=kα+b(k≠0)的图象经过点B(2,0)，与函数y=2x的图象交于点A，则不等式016.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，按以下步骤作图：①点C为圆心，以适当长为半径画弧交AC于点E，交BC于点F；②分别以E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线CP交AB于点D，若AC=9，BC=12，则△ACD的面积为______.
17.若关于x的分式方程2x−2+mxx2−4=3x+2无解，则m=______.
18.等边△ABC边长为4，点D是线段CA上的动点，将线段DB绕点D逆时针旋转60∘得到线段DE，连接AE，点D在运动过程中，△ADE的周长的最小值为______.
三、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
(1)计算：|1− 2|− 8+(2024−π)0+(−12)−2；
(2)解不等式组：x2−1<0x−1≤3(x+1)，并把解集在数轴上表示出来.
20.(本小题6分)
先化简，再求值：(x2−yx−x−1)÷x2−y2x2−2xy+y2，其中x= 2，y= 6.
21.(本小题8分)
4月23日是世界读书日.为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图(不完整).
请根据图中信息解答下列问题：
(1)求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值.
(2)请将条形统计图补充完整.(温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)
(3)若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数.
22.(本小题9分)
雅安市某旅游纪念品专卖店用2500元购进一批熊猫毛绒玩具，很受游客欢迎，熊猫毛绒玩具很快售完，接着又用4500元购进第二批这种熊猫毛绒玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每个进价多了5元.
(1)求第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是多少元；
(2)如果这两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每个熊猫毛绒玩具的售价至少是多少元？
23.(本小题9分)
阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数.如：83=6+23=2+23=223.我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如x−1x+1，x2+2x−2x+1这样的分式就是假分式；3x+1，2xx2+1这样的分式就是真分式.类似地，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式).
如：x−1x+1=x+1−2x+1=1−2x+1，x2+3x+1=x2−1+4x+1=(x+1)(x−1)+4x+1=x−1+4x+1；
解决下列问题：
(1)分式12x是______分式(填“真”或“假”)；
(2)将假分式x2−1x+2化为带分式；
(3)如果x为整数，分式2x2−3x−1x+2的值为整数，求所有符合条件的x的值.
24.(本小题10分)
如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90∘，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；
(2)若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
25.(本小题12分)
在一次数学综合与实践活动中，老师给出如下探究任务：先画一个平行四边形，再画两条直线，将该平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等.小安同学画了如下三种情形：
(1)利用小安的分割方法：你认为两直线的交点O的位置在______.
(2)如图①，在平行四边形ABCD中，EF，MN就是使含有一组对顶角的两个图形全等的两直线，EF分别与BA，DC的延长线交于点P，Q.请利用(1)的结论证明：PA=CQ.
(3)如图②，将一张平行四边形的纸片ABCD沿过对角线AC的中点O的直线EF折叠，折痕交边AD，BC于点E，F，点A落在点A1处，点B落在点B1处.FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，AD于点H，I.求证：EI=FG.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵(±3)2=9，
∴9的平方根是±3.
故选：C.
根据平方根的定义解答即可．
本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A.
把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可．
本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
3.【答案】D
【解析】解：∵D、E分别是OA、OB的中点，
∴DE是△OAB的中位线，
∴DE=12AB，
∴AB=2DE=2×15=30cm，
故选：D.
根据D、E分别是OA、OB的中点，可得出DE是△OAB的中位线，得出DE=12AB，即可求解．
本题主要考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解此题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：360∘÷60∘=6.
故该正多边形的边数为6.
故选：D.
【分析】此题主要考查了多边形内角与外角，关键是掌握多边形外角和为360∘.
利用外角和360∘÷外角的度数即可得到边数．
5.【答案】D
【解析】解：∵x2+5x−1=x(x+5)−1不是因式分解，
∴选项A不符合题意；
∵16x2y=2x2⋅8y不是因式分解，
∴选项B不符合题意；
∵(x+2)(x−2)=x2−4不是因式分解，
∴选项C不符合题意；
∵am+an=a(m+n)是因式分解，
∴选项D符合题意，
故选：D.
运用因式分解的定义进行逐一辨别、求解．
此题考查了因式分解的辨别能力，关键是能准确理解并运用其定义．
6.【答案】A
【解析】解：设航模、机器人、计算机编程分别用A，B，C表示，
树状图如下：
由上可得，一共有6种等可能性，其中恰好选中航模和机器人的可能性有2种，
∴恰好选中航模和机器人的概率为26=13，
故选：A.
根据题意，画出相应的树状图，然后即可求出恰好选中航模和机器人的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
7.【答案】D
【解析】解：A、∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AB//DC，AD=BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D.
利用平行四边形的判定方法逐一分析判断即可得到答案．
本题考查的是平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由图象可得：对于函数y1=ax+b来说，y随x的增大而减小，故①说法正确；
由于a<0，d<0，所以函数y2=ax+d的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②说法正确，
由图象可得当x<3时，一次函数y1=ax+b图象在y2=cx+d的图象上方，
∴ax+b>cx+d的解集是x<3，故③说法不正确；
∵一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象的交点的横坐标为3，
∴3a+b=3c+d
∴3a−3c=d−b，
∴d−b=3(a−c).故④说法正确，
故选：C.
仔细观察图象：①根据函数图象直接得到结论；
②观察函数图象可以直接得到答案；
③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；
④根据两直线交点可以得到答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵m2+ 2n−8−6m=−9，
∴(m−3)2+ 2n−8=0.
∴m−3=0且2n−8=0.
∴m=3，n=4.
①n=4为斜角边时，则第三边长为： 42−32= 7；
②n=4为直角边时，则第三边长为： 42+32=5；
综上所述，第三边长为5或 7.
故选：B.
利用非负数的性质求出m，n，再分两种情况根据勾股定理即可解决问题．
本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10.【答案】C
【解析】解：在平行四边形ABCD中，
∴∠DAB=∠BCD=180∘−120∘=60∘，
AB=CD，∠ADC=∠ABC=120∘，BO=OD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC=60∘，
∴∠AED=180∘−∠DAB−∠ADE=60∘=∠D=∠ADE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE，
∵AB=2BC，
∴AB=2AD=2AE，
∴E是AB的中点，
∴AE=BE，
∵DE=AE，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD=12∠AED=30∘，
∴∠ADB=∠ADE+∠EDB=90∘，
∴∠BDC=30∘；S平行四边形ABCD=AD⋅BD，
故①、④正确；
∵AD=AE=DE，AD=BC，
∴DE=BC，
故②正确；
∵OD=12BD，AD=12AB，BD≠AB，
∴OD≠AD，
故③错误，
正确的有3个，
故选：C.
根据平行四边形的性质得出∠DAB=∠BCD=180∘−120∘=60∘，AB=CD，∠ADC=∠ABC=120∘，BO=OD，推出△ADE是等边三角形，再证明DE=BE，得出∠EDB=∠EBD=12∠AED=30∘，得出∠ADB=90∘即可判断①④；根据AD=AE=DE，AD=BC，可判断②正确，根据OD=12BD，AD=12AB，BD≠AB，OD≠AD，可判断③错误．
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，角平分线的定义，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：a−xx−3+3=83−x，
a−x+3(x−3)=−8，
a−x+3x−9=−8，
2x=1−a，
x=1−a2，
∵关于x的方程a−xx−3+3=83−x有正整数解，
∴1−a=2或4或6或8或10或12或14或16或18，
∴a=−1或−3或−5或−7或−9或−11或−13或−15或−17，
∵x−3≠0，
∴1−a8≠3，
1−a≠24，
a≠−23，
{2(x+2)⩽9+3x①8x+17由①得：2x+4≤9+3x，
−x≤5，
x≥−5，
由②得：8xx∴不等式组的解集为：−5≤x∵关于x的不等式组2(x+2)≤9+3x8x+17∴−3≤a−178<−2，
−24≤a−17<−16，
−7≤a<1，
∴符合条件的所有整数a为−1或−3或−5或−7，
∴符合条件的所有整数a的和为：−1−3−5−7=−16，
故选：C.
先按照解分式方程的一般步骤解方程，求出x，再根据关于x的方程a−xx−3+3=83−x有正整数解，列出关于a的方程，解方程求出a，然后解一元一次不等式组，再根据关于x的不等式组2(x+2)≤9+3x8x+17本题主要考查了解分式方程和一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤．
12.【答案】D
【解析】解：延长BD、CA交于点H，
在△ADH和△ADB中，
∠HAD=∠BADAD=AD∠ADH=∠ADB=90∘，
∴△ADH≌△ADB(ASA)
∴BD=DH，AB=AH，
∵BD=DH，BE=EC，
∴CH=2DE=10，
∴AH=CH−AC=7，
∴AB=AH=7，
故选：D.
延长BD、CA交于点H，证明△ADH≌△ADB，根据全等三角形的性质得到BD=DH，AB=AH，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
13.【答案】b(a+1)(a−1)
【解析】解：a2b−b=b(a2−1)=b(a+1)(a−1).
故答案为：b(a+1)(a−1).
先提取公因式b，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．
14.【答案】90∘
【解析】解：如图：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，
∴OB=OD，
∴旋转的角度是∠BOD的大小，
∵∠BOD=90∘，
∴旋转的角度为90∘.
故答案为：90∘.
由△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案．
此题考查了旋转的性质．解此题的关键是理解△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．
15.【答案】1【解析】解：设A点坐标为(x,2)，
把A(x,2)代入y=2x，
得2x=2，解得x=1，
则A点坐标为(1,2)，
所以当x>1时，2x>kx+b，
∵函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点B(2,0)，
∴x<2时，kx+b>0，
∴不等式0故答案为：1先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当x>1时，直线y=2x都在直线y=kx+b的上方，当x<2时，直线y=kx+b在x轴上方，于是可得到不等式0本题考查一次函数与一元一次不等式等知识，解题的关键是学会利用图象法解不等式问题，属于中考常考题型．
16.【答案】1627
【解析】解：过点D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分别为G、H，
∵由题意可知CP是∠ACB的平分线，
∴DG=DH.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=9，BC=12，
∴S△ABC=S△ACD+S△BCD，即12×9×12=12×9DG+12×12DG，解得DG=367，
∴△ACD的面积=12×9×367=1627.
故答案为：1627.
过点D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分别为G、H，由题意可知CP是∠ACB的平分线，根据角平分线的性质可知DG=DH，再由三角形的面积公式求出h的值，进而可得出结论．
本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键．
17.【答案】−4或6或1
【解析】【分析】
本题考查了分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
该分式方程2x−2+mxx2−4=3x+2无解的情况有两种：(1)原方程存在增根；(2)原方程约去分母后，整式方程无解．
【解答】
解：分三种情况：
(1)x=−2为原方程的增根，
此时有2(x+2)+mx=3(x−2)，即2×(−2+2)−2m=3×(−2−2)，
解得m=6；
(2)x=2为原方程的增根，
此时有2(x+2)+mx=3(x−2)，即2×(2+2)+2m=3×(2−2)，
解得m=−4；
(3)方程两边都乘(x+2)(x−2)，
得2(x+2)+mx=3(x−2)，
化简得：(m−1)x=−10.
当m=1时，整式方程无解．
综上所述，当m=−4或m=6或m=1时，原方程无解．
故答案为−4或6或1.
18.【答案】4+2 3
【解析】解：连接BE，作BF⊥AC于点F，则∠AFB=90∘，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴AB=CB=AC=4，∠ABC=60∘，
由旋转得DE=DB，∠BDE=60∘，
∴△BDE是等边三角形，
∴EB=DB，∠DBE=90∘，
∴∠ABE=∠CBD=60∘−∠ABD，
在△ABE和△CBD中，
EB=DB∠ABE=∠CBDAB=CB，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE=CD，
∴AE+AD+DE=CD+AD+DB=AC+DB=4+DB，
∵AF=CF=12AC=2，
∴FB= AB2−AF2= 42−22=2 3，
∵DB≥FB，
∴4+DB≥4+2 3，
∴AE+AD+DE≥4+2 3，
∴△ADE的周长的最小值为4+2 3，
故答案为：4+2 3.
连接BE，作BF⊥AC于点F，由等边三角形的性质得AB=CB=AC=4，∠ABC=60∘，由旋转得DE=DB，∠BDE=60∘，则△BDE是等边三角形，可证明△ABE≌△CBD，得AE=CD，推导出AE+AD+DE=4+DB，求得FB= AB2−AF2=2 3，则AE+AD+DE≥4+2 3，求得△ADE的周长的最小值为4+2 3，于是得到问题的答案．
此题重点考查等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)|1− 2|− 8+(2024−π)0+(−12)−2
= 2−1−2 2+1+4
=4− 2；
(2){x2−1<0①x−1⩽3(x+1)②，
由①得，x<2，
由②得，x≥−2，
故不等式组的解集为−2≤x<2，
在数轴上表示为：
.
【解析】(1)先根据绝对值的性质，零指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；
(2)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，实数的运算，熟知以上知识是解题的关键．
20.【答案】解：(x2−yx−x−1)÷x2−y2x2−2xy+y2
=x2−y−x2−xx⋅(x−y)2x2−y2
=−x+yx⋅(x−y)2x−yx+y
=y−xx
=yx−1
∵x= 2，y= 6
∴yx−1= 6 2−1= 3−1
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：(1)被抽查的学生人数是 40÷20%=200(人)，
∵80200×100%=40%，
∴扇形统计图中m的值是40，
答：被抽查的学生人数为200人，扇形统计图中m的值为40；
(2)200−60−80−40=20(人)，
补全的条形统计图如图所示．
(3)∵1200×60200=360(人)，
∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有360人．
【解析】(1)将其他类人数除以其所占的比即可求出被抽查的人数；将科技类人数除以被抽查的人数化成百分数，即可求出m的值；
(2)先求出艺术类人数，再补全条形统计图即可；
(3)将1200乘以样本中最喜欢“文学类”书籍所占的比例即可估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是x元，则第二批熊猫毛绒玩具每个的进价是(x+5)元，
根据题意得：4500x+5=2500x×1.5，
解得：x=25，
经检验，x=25是原分式方程的解．
答：第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是25元；
(2)设每个熊猫毛绒玩具的售价为y元，
根据题意得：2500÷25×(1+1.5)y−2500−4500≥(2500+4500)×25%，
解得：y≥35.
答：每个熊猫毛绒玩具的售价至少是35元．
【解析】(1)设第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是x元，则第二批熊猫毛绒玩具每个的进价是(x+5)元，根据第二批所购数量是第一批数量的1.5倍，列出分式方程，解方程即可；
(2)设每个熊猫毛绒玩具的售价为y元，根据两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】真
【解析】解：(1)分式12x是真分式；
故答案为：真；
(2)x2−1x+2=x2−4+3x+2=(x+2)(x−2)+3x+2=x−2+3x+2；
(3)原式=2x−7+13x+2，
∵分式的值为整数，
∴x+2=±1或±13，
∴x=−1或−3或11或−15.
(1)认真读懂题意，利用题中给出的定义判断；
(2)依据题意化简即可；
(3)依据题意化简后分情况讨论出结果即可．
本题考查分式的运算，熟练掌握分式的化简运算方法，弄清定义，利用整体的数学思想是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵∠A=∠ABC=90∘，
∴BC//AD，
∴∠CBE=∠DFE，
在△BEC与△FED中，
∠CBE=∠DFE∠BEC=∠FEDCE=DE，
∴△BEC≌△FED(AAS)，
∴BE=FE，
又∵CE=DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
(2)①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB= BD2−AD2= 32−12=2 2，
所以，四边形BDFC的面积=3×2 2=6 2；
②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
所以，AG=BC=3，
所以，DG=AG−AD=3−1=2，
由勾股定理得，CG= CD2−DG2= 32−22= 5，
所以，四边形BDFC的面积=3× 5=3 5；
③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，与条件矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是6 2或3 5.
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，(1)确定出全等三角形是解题的关键，(2)难点在于分情况讨论．
(1)根据同旁内角互补两直线平行求出BC//AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FED全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
(2)分三种情况，①BC=BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，与条件矛盾．
25.【答案】平行四边形的对称中心(或对角线的交点)
【解析】(1)解：这两条直线过平行四边形的对称中心(或对角线的交点).
故答案为：平行四边形的对称中心(或对角线的交点)；
(2)证明：连接AC，则AC经过点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB//CD，
∴∠P=∠Q，
∵∠AOP=∠QOC，
∴△AOP≌△COQ(AAS)，
∴AP=CQ；
(3)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，AD//BC，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
∠OAE=∠OCFOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF，
由折叠的性质得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，
∴A1E=CF，∠A1=∠C，∠B1=∠B=∠D，
∵∠DHI=∠B1HG，
∴∠DIH=∠B1GH，
∵∠A1IE=∠DIH，∠B1GH=∠CGF，
∴∠A1IE=∠CGF，
在△A1IE与△CGF中，
∠A1IE=∠CGF∠A1=∠CA1E=CF，
∴△A1IE≌△CGF(AAS)，
∴EI=FG.
(1)由平行四边形是中心对称图形可得出结论；
(2)连接AC，则AC经过点O，证明△AOP≌△COQ(AAS)，得出AP=CQ；
(3)由平行四边形的性质得∠A=∠C，∠B=∠D，AD//BC，OA=OC，再由ASA证得△AOE≌△COF，得出AE=CF，然后由折叠性质得AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，最后证得△A1IE≌△CGF(AAS)，即可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形是中心对称图形，平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形是解题的关键．