2025年高考数学一轮复习-第十一章-第一节-排列与组合-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第十一章-第一节-排列与组合-专项训练【含答案】，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．若Cn2A22＝42，则n！3！n−4！的值为( )
A．60 B．70
C．120 D．140
2．电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255．在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为( )
A．2563 B．27
C．2553 D．6
3．甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
4．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )
A．120 B．60
C．40 D．30
5．将5件相同的小礼物全部送给3个不同的球迷，让每个球迷都要得到礼物，则不同的分法种数是( )
A．2 B．10
C．5 D．6
6．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有( )
A．20种 B．16种
C．12种 D．8种
7．学校运动会上，有A，B，C三位运动员分别参加3 000 m，1 500 m和跳高比赛，为了安全起见，班委为这三位运动员分别成立了后勤服务小组，甲和另外4名同学参加后勤服务工作(每名同学只能参加一个后勤服务小组)．若甲在A的后勤服务小组，则这五名同学的分配方案种数为( )
A．44 B．50
C．42 D．38
8．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B．6种
C．10种 D．16种
9．如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为( )
A．18 B．24
C．30 D．42
10．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为( )
A．240 B．420
C．729 D．920
二、多项选择题
11．某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中劳动模范只有1班有2人，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是( )
A．若1班不再分配名额，则共有C204种分配方法
B．若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有C195种分配方法
C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
12．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是( )
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为A54C41
C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C32A33＋C31C42A33
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为C53C21+C52C32A33
三、填空题
13．用0，2，3，4，5五个数组成无重复数字的四位数，则不同的四位数共有________个，其中偶数共有________个．
14．把7个字符1，1，1，A，A，α，β排成一排，要求三个“1”两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有________种．
15．用0～9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位、十位、百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有________个．
16．中国古代哲学用五行“金、木、水、火、土”来解释世间万物的形成和联系，如图，现用3种不同的颜色给五“行”涂色，要求相邻的两“行”不能同色，则不同的涂色方法有________种．
参考答案
1．D [∵Cn2A22＝nn−12×2＝42，
解得n＝7或n＝－6(舍去)，
∴n！3！n−4！＝7！3！×3！＝7×6×5×4×3×2×13×2×1×3×2×1＝140．]
2．A [分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成256×256×256＝2563(种)颜色．故选A.]
3．C [甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C61＝6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有C51C41＝20(种)情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20＝120(种)选法．故选C.]
4．B [先从5人中选1人连续两天参加服务，共有C51＝5(种)选法，然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选1人参加星期天服务，共有C41·C31＝12(种)选法，根据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60(种)选法．故选B.]
5．D [法一：由“挡板法”可知，共有C42＝6(种)．
法二：若按3，1，1 分成3组给3个不同的球迷，有3种不同的方法；若按2，2，1分成3组给3个不同的球迷，也有3种不同的方法．
故所有不同的分法种数为3＋3＝6(种)．故选D.]
6．B [因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位．
①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有A22种方法，排甲有A21种方法，剩余两个位置两人全排列有A22种排法，
所以有A22×A21×A22＝8(种)方法；
②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有A22种方法，排甲有A21种方法，剩余两个位置两人全排列有A22种排法，
所以有A22×A21×A22＝8(种)方法；
由分类加法计数原理可知，一共有8＋8＝16(种)排法．
故选B.]
7．B [若A小组只有一人，则5人的分配方案有C42C22＋C43A22＝14(种)；
若A小组只有两人，则5人的分配方案有C41C32A22＝24(种)；
若A小组恰有三人，则5人的分配方案有C42A22＝12(种).
所以共有50种.故选B.]
8．B [分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，同理，甲先踢给丙时，满足条件的也有3种传递方式．由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．]
9．A [若3种不同的颜色灯带都使用，故有两块区域涂色相同，要么A，C，要么B，D相同，有2种方案，则不同的信号数为2A33＝12；
若只用2种不同的颜色灯带，则A，C颜色相同，B，D颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为C32A22＝6；
则不同的信号总数为12＋6＝18.
故选A.]
10．A [法一：若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．
所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．
法二：分两类：①如果这个三位数含0，则0必在末位，共有这样的凸数C92个；②如果这个三位数不含0，则这样的凸数共有(C93A22＋C92)个.综上所述，所有凸数共有2C92＋C93A22＝240(个).]
11．BD [对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据挡板法，有C194种分配方法，故A错误；对于B，若1班有除劳动模范之外的学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据挡板法，有C195种分配方法，故B正确；对于CD，若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳动模范，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个挡板即可，故有C95＝126(种)，故C错误，D正确．故选BD.]
12．ABD [对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A错误；对于B，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有C52A44种安排方法，故B错误；对于C，根据题意，分2种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出2人开车，②从丙、丁、戊中选出1人开车，则有C32A33＋C31C42A33种安排方法，C正确；对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有C53C21A22＋C52C32A22种分组方法，将分好的3组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有A33种情况，则有C53C21A22＋C52C32A22A33种安排方法，D错误.故选ABD.]
13．96 60 [由题可知，满足条件的四位数共有4×4×3×2＝96(个)，
其中偶数分为个位数是0和个位数不是0，
若这个偶数的个位数是0，则有A43＝4×3×2＝24(个)；
若这个偶数的个位数不是0，则有C21C31A32＝36(个)．
故满足条件的四位数中偶数的总个数为24＋36＝60．]
14．96 [先排列A，A，α，β，若A，A不相邻，不同的排法有A22C32＝6(种)；若A，A相邻，有A33＝6(种)，共有不同的排法6＋6＝12(种)．从所形成的5个空中选3个插入1，1，1，排法共有12C53＝120(种)．当A，A相邻时，从所形成的4个空中选3个插入1，1，1，共有6C43＝24(种)．故若三个“1”两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有120－24＝96(种)．]
15．45 [(1)若三位数字中有2个0，只有一种情况900．(2)若三位数字有一个0，则有108，180，207，270，306，360，405，450，504，540，603，630，702，720，801，810共16个．
(3)若三位数中没有0，则等价于9个1排成一列，插入两隔板，分成三部分，共有C82＝28个．
故共有1＋16＋28＝45个．]
16．30 [设3种不同的颜色为a，b，c，
对于“火、土”两个位置有3×2＝6(种)不同的涂色方法，不妨设“火、土”两个位置分别为a，b.
(1)若“金”位涂色为a，则有：
①若“水”位涂色为b，则“木”位涂色为c，共1种不同的涂色方法；
②若“水”位涂色为c，则“木”位涂色为b，共1种不同的涂色方法；
共2种涂色可能．
(2)若“金”位涂色为c，则有：
①若“水”位涂色为a，则“木”位涂色为b或c，共2种不同的涂色方法；
②若“水”位涂色为b，则“木”位涂色为c，共1种不同的涂色方法；共3种涂色可能．
综上所述，共6×(2＋3)＝30种不同的涂色方法．