2025高考数学一轮复习-10.2-排列与组合-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-10.2-排列与组合-专项训练【含解析】，共9页。
A. 6B. 7C. 8D. 9
2.(2024·九省适应性测试)若甲、乙、丙等5人排成一列,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同的排法共有( ).
A.20种B.16种
C.12种D.8种
3. 某款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习版块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题版块.某人在学习过程中,将六大版块各完成一次,则“挑战答题”版块与其他三个答题版块在完成顺序上均不相邻的学习方法种数为（ ）.
A. 144B. 72C. 96D. 36
4. 如图,某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路）,CD段马路由于正在维修,暂时不通,则从A到B的最短路径有（ ）.
A. 23条B. 24条C. 25条D. 26条
5. （改编）某市教育局计划安排市区学校的5名骨干教师去3所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（ ）.
A. 88B. 100C. 120D. 150
6. （改编）某校A，B，C，D，E，F六名学生在连续的6个周末分别去敬老院开展献爱心活动，每周安排一名同学.若A须安排在B前面去，且A和B都不能安排在第3个周末去，B也不安排在第6个周末，则不同的安排方法有（ ）.
A. 72种B. 144种C. 48种D. 288种
7. 由数字0,1,2,3,4组成的没有重复数字的五位偶数共有（ ）.
A. 54个B. 60个C. 72个D. 96个
8. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，每人安排一项工作，则以下说法正确的是（ ）.
A. 若每项工作不必都有人参加，则不同的方法数为54
B. 若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为A54C41
C. 若每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A33
D. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，那么这5名同学全部被安排的不同方法数为C53C21+C52C32A33
综合提升练
9. （多选题）生命在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳，则下列说法正确的是（ ）.
A. 若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法
B. 若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法
C. 若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有36种不同的安排方法
D. 若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法
10. （多选题）在某地实施的新高考改革方案中，选择性考试科目有物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为高考统一招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）.
A. 若任意选科，则选法总数为C42
B. 若化学必选，则选法总数为C21C31
C. 若政治和地理至少选一门，则选法总数为C21C21C31
D. 若物理必选，化学、生物至少选一门，则选法总数为C21C21+1
11. 某省农业农村厅将6名农业技术专家（4男2女）分成两组,到该省两个县参加工作,若要求女专家不单独成组,且每组至多4人,则不同的选派方案共有_______种.
12. （双空题）某同学买了一串什锦糖葫芦,从上往下排共有6个果,每个果都可以在山楂,草莓,橘子中选择,则不同的糖葫芦组合结果有______种;如果该同学选了两个山楂,两个草莓,两瓣橘子,要求相邻的两个果不能相同,那么不同的组合结果有______种.
应用情境练
13. 小小的火柴棒可以拼成几何图形,也可以拼成数字.如图所示,我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字,比如：“1”需要2根火柴棒,“7”需要3根火柴棒.若将8根火柴棒以适当的方式全部放入表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”）,则最多可以表示无重复数字的三位数的个数为______
14. 某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行支教，每所学校至少去1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为______
创新拓展练
15. 若从5双不同颜色的手套中任取3只，不同颜色的手套不能配成一双,则这3只手套中任意2只均不能配成一双的取法有种.
16. 男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，则在下列情况下各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）至少有1名队长；
（4）既要有队长，又要有女运动员.
10.2-排列与组合-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. （原创）若Am2=2Cm4m∈N∗,m≥4,则m=（ A ）.
A. 6B. 7C. 8D. 9
[解析]由已知得mm−1=2×mm−1m−2m−34×3×2×1,即m−2m−3=12,解得m=6 或m=−1（舍去）.故选A.
2.(2024·九省适应性测试)若甲、乙、丙等5人排成一列,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同的排法共有( B ).
A.20种B.16种
C.12种D.8种
[解析] 因为乙和丙之间恰有2人,所以乙、丙及中间2人占据首四位或尾四位.
①当乙、丙及中间2人占据首四位,此时还剩末位,故甲在乙、丙中间,
此时排乙、丙有A22种方法,排甲有A21种方法,剩余两人有A22种排法,所以有A22A21A22=8种方法;
②当乙、丙及中间2人占据尾四位,此时还剩首位,故甲在乙、丙中间,
此时排乙、丙有A22种方法,排甲有A21种方法,剩余两人有A22种排法,所以有A22A21A22=8种方法.
由分类加法计数原理可知,一共有8+8=16种排法.
故选B.
3. 某款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习版块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题版块.某人在学习过程中,将六大版块各完成一次,则“挑战答题”版块与其他三个答题版块在完成顺序上均不相邻的学习方法种数为（ A ）.
A. 144B. 72C. 96D. 36
[解析]当“挑战答题”版块在首或尾时,与“挑战答题”版块相邻的只能是“阅读文章”或“视听学习”版块,其他任意排,共有A21A21A44=96 种不同的排法;当“挑战答题”版块不在首或尾时,与“挑战答题”版块相邻的只能是“阅读文章”和“视听学习”版块,其他任意排,共有A22A44=48 种不同的排法.故“挑战答题”版块与其他三个答题版块在完成顺序上均不相邻的学习方法种数为96+48=144.故选A.
4. 如图,某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路）,CD段马路由于正在维修,暂时不通,则从A到B的最短路径有（ D ）.
A. 23条B. 24条C. 25条D. 26条
[解析]先假设CD 是实线,则从A 到B,向上3次,向右4次,最短路径有A77A33A44=35（条）,其中经过CD 的路径,即先从A 到C,然后C 到D,最后D 到B 的最短路径有3×3=9（条）,所以当CD 不通时,最短路径有35−9=26（条）.故选D.
5. （改编）某市教育局计划安排市区学校的5名骨干教师去3所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（ D ）.
A. 88B. 100C. 120D. 150
[解析]5人分组有2种情况分别是3+1+1 和2+2+1，所以不同安排方案的总数为C53C21C112!+C52C322!C11A33=150.故选D.
6. （改编）某校A，B，C，D，E，F六名学生在连续的6个周末分别去敬老院开展献爱心活动，每周安排一名同学.若A须安排在B前面去，且A和B都不能安排在第3个周末去，B也不安排在第6个周末，则不同的安排方法有（ B ）.
A. 72种B. 144种C. 48种D. 288种
[解析]因为A 在B 的前面去，且A，B都不安排在第3个周末，B也不安排在第6个周末,所以情况如下：①A在第1个周末去，B在第2,4,5个周末去，有3A44=72 种安排方法；②A在第2个周末去，B在第4,5个周末去，有2A44=48 种安排方法；③A在第4个周末去，B在第5个周末，有A44=24 种安排方法.故不同的安排方法共有72+48+24=144（种）.故选B.
7. 由数字0,1,2,3,4组成的没有重复数字的五位偶数共有（ B ）.
A. 54个B. 60个C. 72个D. 96个
[解析]根据题意,分2种情况讨论：①当个位数字为0时,将剩下的4个数字全排列,此时符合题意的五位数有A44=24（个）;②当个位数字为2或4时,0不能在首位,则首位数字有C31 种情况,将剩下的3个数字全排列,此时符合题意的五位数有2×C31A33=36（个）.故符合题意的五位数共有24+36=60（个）.故选B.
8. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，每人安排一项工作，则以下说法正确的是（ C ）.
A. 若每项工作不必都有人参加，则不同的方法数为54
B. 若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为A54C41
C. 若每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A33
D. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，那么这5名同学全部被安排的不同方法数为C53C21+C52C32A33
[解析]对于A，安排5人参加4项工作，每人有4种安排方法，则有45 种安排方法，故A 错误；
对于B，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有C52A44 种安排方法，故B 错误；
对于C，分2种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出1人开车，②从丙、丁、戊中选出2人开车，则有C31C42A33+C32A33 种安排方法，故C 正确；
对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有C53C21A22+C52C32A22 种分组方法，将分好的3组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有A33 种情况，则有C53C21A22+C52C32A22A33 种安排方法，故D 错误.故选C.
综合提升练
9. （多选题）生命在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳，则下列说法正确的是（ BCD ）.
A. 若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法
B. 若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法
C. 若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有36种不同的安排方法
D. 若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法
[解析]对于A，若瑜伽被安排在周一和周六，则共有A44=24 种不同的安排方法，故A 错误；
对于B，若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则由间接法可得，不同的安排方法种数为A64−A42A42=216，故B 正确；
对于C，若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有C31A42=36 种不同的安排方法，故C 正确；
对于D，若瑜伽不被安排在相邻的两天，则先排其他四项运动，共有A44 种不同的安排方法，再从5个空位里插入2个安排练习瑜伽，故共有A44C52=240 种不同的安排方法，故D 正确.故选BCD.
10. （多选题）在某地实施的新高考改革方案中，选择性考试科目有物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为高考统一招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ BD ）.
A. 若任意选科，则选法总数为C42
B. 若化学必选，则选法总数为C21C31
C. 若政治和地理至少选一门，则选法总数为C21C21C31
D. 若物理必选，化学、生物至少选一门，则选法总数为C21C21+1
[解析]若任意选科，选法总数为C21C42，A错误；若化学必选，选法总数为C21C31，B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为C21C21C21+1，C错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C21C21+1，D正确.故选BD.
11. 某省农业农村厅将6名农业技术专家（4男2女）分成两组,到该省两个县参加工作,若要求女专家不单独成组,且每组至多4人,则不同的选派方案共有48种.
[解析]分两类：第一类,分为2人、4人的两组派往两个县参加工作,不考虑女专家不单独成组的情况共有C62C44A22 种选派方案,而女专家单独成组有A22 种选派方案,故有C62C44A22−A22=28 种满足题意的选派方案;第二类,分为3人、3人的两组派往两个县参加工作,有C63C332!A22=20 种满足题意的选派方案.故不同的选派方案共有28+20=48（种）.
12. （双空题）某同学买了一串什锦糖葫芦,从上往下排共有6个果,每个果都可以在山楂,草莓,橘子中选择,则不同的糖葫芦组合结果有729种;如果该同学选了两个山楂,两个草莓,两瓣橘子,要求相邻的两个果不能相同,那么不同的组合结果有30种.
[解析]第一个问题,每个果子都有3个选择,所以不同的糖葫芦组合结果有36=729（种）.第二个问题,从上到下,先考虑前3个,再考虑后3个,前3个,各选一种果,有A33 种情况,那第4个有2种情况,第5，6个果,有A22 种情况,此时共有A33⋅2⋅A22=24 种情况；前3个,第1个和第3个相同,有A32 种情况,那后3个只有1种情况,此时有A32=6 种情况.故第二个问题,共有24+6=30 种情况.
应用情境练
13. 小小的火柴棒可以拼成几何图形,也可以拼成数字.如图所示,我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字,比如：“1”需要2根火柴棒,“7”需要3根火柴棒.若将8根火柴棒以适当的方式全部放入表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”）,则最多可以表示无重复数字的三位数的个数为20.
[解析]由题意,用2根火柴棒可以拼成数字1,用3根火柴棒可以拼成数字7,用4根火柴棒可以拼成数字4,用5根火柴棒可以拼成数字2,3,5,用6根火柴棒可以拼成数字6,9,用7根火柴棒可以拼成数字8.三位数中的数字不重复,因此8根火柴棒只能分成两组：2和6,3和5,组成两个数字,还有一个数字只能为0,这样组成的无重复数字的三位数的个数为C21C21A22+C31C21A22=20.
14. 某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行支教，每所学校至少去1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为360.
[解析]根据6名高级教师到甲、乙、丙三所中学进行支教，每所学校至少去1人，可分四种情况：
①甲校安排1名教师，分配方案种数为C51C51C44A22+C52C33A22=150；
②甲校安排2名教师，分配方案种数为C52C41C33A22+C42C22=140；
③甲校安排3名教师，分配方案种数为C53C31C22A22=60；
④甲校安排4名教师，分配方案种数为C54C21C11=10.
由分类加法计数原理，可得共有150+140+60+10=360 种分配方案.
创新拓展练
15. 若从5双不同颜色的手套中任取3只，不同颜色的手套不能配成一双,则这3只手套中任意2只均不能配成一双的取法有80种.
[解析]根据题意,先从5双手套中任取3双,有C53 种取法,再从每双手套中各取1只,有2×2×2 种取法,故共有C53×2×2×2=80 种满足题意的取法.
16. 男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，则在下列情况下各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）至少有1名队长；
（4）既要有队长，又要有女运动员.
[解析]（1）分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有C63 种选法；
第二步，选2名女运动员，有C42 种选法.
由分步乘法计数原理可得，共有C63C42=120 种选法.
“至少有1名女运动员”的对立事件为“全是男运动员”，可用间接法求解.从10人中任选5人有C105 种选法，其中“全是男运动员”的选法有C65 种.所以“至少有1名女运动员”的选法有C105−C65=246（种）.
（3）可分类求解：
“只有男队长”的选法种数为C84，“只有女队长”的选法种数为C84，
“男、女队长都入选”的选法种数为C83，所以共有2C84+C83=196 种选法.
当有女队长时，其他人任意选，共有C94 种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C84 种选法，其中“不含女运动员”的选法有C54 种，所以不选女队长时的选法共有C84−C54 种.故“既要有队长，又要有女运动员”的选法共有C94+C84−C54=191（种）