2025年高考数学一轮复习-第六章-第四节-平面向量的应用-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第六章-第四节-平面向量的应用-专项训练【含解析】，共13页。

A. 12B. 4C. 6D. 3
2. 已知向量a=3,4，b=1,0，c=a+tbt∈R，若a⋅ca=b⋅cb，则t=（ ）.
A. −6B. −5C. 5D. 6
3. （改编）若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且a=2,b=3,c=4，则a+b+c=（）.
A. 22B. 3C. 2或22D. 3或9
4. 已知向量a=1,0，b=(−12,32)，记向量a与b的夹角为θ ，则cs 2θ=（ ）.
A. 32B. −32C. 12D. −12
5. （改编）如图，这是一个正六边形ABCDEF，则下列说法错误的是（ ）.
A. AC−BD=FBB. AE+AC=32AD
C. AF⋅AB=CB⋅CDD. AC在AB上的投影向量为AB
6. 已知非零向量a，b满足a+2b⊥a−2b，且向量b在向量a方向上的投影向量是14a，则向量a与b的夹角是（ ）.
A. π6B. π3C. π2D. 2π3
7. （改编）已知在△ABC中，ABAB+ACAC⋅BC=0，BABA⋅CBBC=−12，则△ABC是（ ）.
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
8. 已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中bcs C+ccs B=2acs A且c=2，b=5，设BC，AC边上的两条中线分别为AM，BN，则AM⋅BN=（ ）.
A. −34B. 5C. 3D. 34
综合提升练
9. （多选题）已知a，b为平面向量，其中b为单位向量，若非零向量a与b满足a⋅a−4b=−3，则下列结论正确的是（ ）.
A. a−b⊥a−3bB. a与b的夹角的取值范围是[0,π6]
C. a的最大值为2D. a−b的最大值为3
10. （多选题）已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，S为△ABC的面积，且a=23，AB⋅AC=233⋅S，则下列选项正确的是（ ）.
A. A=π3
B. 若△ABC有两个解，则b的取值范围是23,4
C. 若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是[2,4]
D. 若D为BC边上的中点，则AD的最大值为3
11. 已知非零向量a，b满足a=3b且a+3b⊥a−b，则a与b的夹角为__________.
12. 已知平行四边形ABCD的面积为93，∠BAD=2π3，E为线段BC的中点.若F为线段DE上的一点，且AF=λAB+56AD，则λ=_________
应用情境练
13. 笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称.如图，在平面斜角坐标系xOy中，两坐标轴的正半轴的夹角为60∘ ，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量a=xe1+ye2，则称有序实数对x,y为a在该斜角坐标系下的坐标.若向量m，n在该斜角坐标系下的坐标分别为3,2，1,k，则当k=_________时，m⋅n=11.
14. 现有五个圆环的大小和间距如图所示.若圆的半径均为12，相邻圆圆心的水平距离为26，两排圆圆心的垂直距离为11.设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，则O4O1⋅O4O5+O4O2的值为_________
创新拓展练
15. （双空题）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N，若Q是BC的中点，则QM⋅QN的取值范围是_________；若P是平面上一点，且满足2OP=λOB+1−λOC，则PM⋅PN的最小值是_________
16. 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，O是△ABC所在平面内的一点.
（1）若点O是△ABC的重心，且OA⋅OB=0，求cs C的最小值；
（2）若点O是△ABC的外心，BO=λBA+μBCλ,μ∈R，BO⋅BA=18,BO⋅BC=8,fB=mλ+μ−12sin2Bm∈R有最小值，求m的取值范围.
第六章-第四节-平面向量的应用-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. 已知向量a，b，c在由7×4小正方形（边长为1）组成的网格中的位置如图所示，则2a+b⋅c=（ C ）.
A. 12B. 4C. 6D. 3
[解析]以网格的小正方形相邻两边所在的单位向量i,j为基底，如图，
则a=2i−j,b=2i+2j,c=i+2j，所以2a+b=6i，则2a+b⋅c=6i⋅i+2j=6.故选C.
2. 已知向量a=3,4，b=1,0，c=a+tbt∈R，若a⋅ca=b⋅cb，则t=（ C ）.
A. −6B. −5C. 5D. 6
[解析]因为a=3,4，b=1,0，所以c=a+tb=3,4+t1,0=3+t,4，a=32+42=5，b=1，
因为a⋅ca=b⋅cb，所以33+t+4×45=1×3+t+0×41，解得t=5.故选C.
3. （改编）若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且a=2,b=3,c=4，则a+b+c=（ D ）.
A. 22B. 3C. 2或22D. 3或9
[解析]若平面向量a，b，c两两的夹角相等，则夹角为0或2π3.
当向量a，b，c两两的夹角为0时，因为a=2,b=3,c=4，所以a+b+c=a+b+c=9;
当向量a，b，c两两的夹角为2π3 时，a⋅b=2×3×−12=−3,a⋅c=2×4×−12=−4,b⋅c=3×4×−12=−6，
则a+b+c=a2+b2+c2+2a⋅b+2a⋅c+2b⋅c=4+9+16−6−8−12=3.故选D.
4. 已知向量a=1,0，b=(−12,32)，记向量a与b的夹角为θ ，则cs 2θ=（ D ）.
A. 32B. −32C. 12D. −12
[解析]因为a=1,0，b=(−12,32)，所以a=1，b=−122+322=1，a⋅b=−12，所以cs θ=a⋅ba⋅b=−12，则cs 2θ=2cs2θ−1=2×−122−1=−12.故选D.
5. （改编）如图，这是一个正六边形ABCDEF，则下列说法错误的是（ D ）.
A. AC−BD=FBB. AE+AC=32AD
C. AF⋅AB=CB⋅CDD. AC在AB上的投影向量为AB
[解析]连接AC,AD,AE,BD,BF,CE，CE与AD 交于点H，如图所示.
对于A，AC−BD=AC−AE=EC=FB，故A 正确；
对于B，由图易得AE=AC，直线AD 平分∠EAC，且△ACE 为正三角形，根据向量加法的平行四边形法则,AC+AE=2AH，AH与AD 共线且同方向，
易知△EDH，△AEH均为含π6 角的直角三角形，故AH=3EH，EH=3DH，即AH=3DH，所以AD=AH+DH=3DH+DH=4DH，又因为2AH=6DH，所以2AHAD=32，所以AE+AC=32AD，故B 正确；
对于C，设正六边形ABCDEF 的边长为a，则AF⋅AB=AF⋅ABcs2π3=−12a2，CB⋅CD=CB⋅CDcs2π3=−12a2，所以AF⋅AB=CB⋅CD，故C 正确；
对于D，易知∠CAB=π6，则AC 在AB 上的投影向量为ACcsπ6⋅ABAB=32AB，故D 错误.故选D.
6. 已知非零向量a，b满足a+2b⊥a−2b，且向量b在向量a方向上的投影向量是14a，则向量a与b的夹角是（ B ）.
A. π6B. π3C. π2D. 2π3
[解析]因为a+2b⊥a−2b，所以a+2b⋅a−2b=a2−4b2=0，即a=2b，
又因为向量b 在向量a 方向上的投影向量是14a，所以bcs⟨a,b⟩⋅aa=bacs⟨a,b⟩⋅a=12cs⟨a,b⟩⋅a=14a，所以12cs⟨a,b⟩=14，即cs⟨a,b⟩=12，又⟨a,b⟩∈[0,π]，所以⟨a,b⟩=π3，即向量a 与b 的夹角是π3.故选B.
7. （改编）已知在△ABC中，ABAB+ACAC⋅BC=0，BABA⋅CBBC=−12，则△ABC是（ A ）.
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
[解析]因为ABAB 为AB 方向上的单位向量，ACAC为AC 方向上的单位向量，所以ABAB+ACAC 在∠BAC 的平分线上，又ABAB+ACAC⋅BC=0，
所以∠BAC 的平分线垂直于BC，根据等腰三角形三线合一定理得到△ABC 为等腰三角形，且AB=AC，又BABA⋅CBBC=−12，所以BABA⋅BCBC=12，所以cs B=BABA⋅BCBC=12，
又0