2025年高考数学一轮复习-7.3-统计与成对数据的统计分析-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-7.3-统计与成对数据的统计分析-专项训练【含答案】，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝6.147．依据α＝0.01的独立性检验x0.01=6.635，结论为( )
A．变量x与y不独立
B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
C．变量x与y独立
D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
2．研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法中错误的是( )
A．若变量x和y之间的相关系数为r＝－0.992，则变量x和y之间的负相关很强
B．用决定系数R2来比较两个模型拟合效果，R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
C．在经验回归方程y＝－2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少2个单位
D．经验回归直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个
3．已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
4．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型y＝c1ec2x(其中e为自然对数的底数)拟合，设z＝ln y，得到数据统计表如下：
由上表可得经验回归方程z＝0.52x＋a，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为( )
A．e5.08 B．e5.6
C．e6.12 D．e6.5
5．某新能源汽车生产公司，为了研究某生产环节中两个变量x，y之间的相关关系，统计样本数据得到如下表格：
由表格中的数据可以得到y与x的经验回归方程为y＝14x＋a，据此计算，下列选项中残差的绝对值最小的样本数据是( )
A．(30，4.6) B．(27，3)
C．(25，3) D．(23，2.4)
6．足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的56，女性喜爱足球的人数占女性人数的13，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有( )
A．10人 B．11人
C．12人 D．13人
二、多项选择题
7．自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．如图是根据一组观测数据得到海拔6～15 km的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为y1＝－4.0x＋68.5，决定系数为R12＝0.99；根据非线性回归模型得到经验回归方程为y2＝132.9e-0.163x，决定系数为 R22＝0.99，则下列说法正确的是( )
A．由经验回归散点图可知，大气压强与海拔高度负相关
B．由经验回归方程y1＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1 km，大气压强必定降低4.0 kPa
C．由经验回归方程y1＝－4.0x＋68.5可知，样本点(11，22.6)的残差为－1.9
D．对比两个回归模型，结合实际情况，经验回归方程y2＝132.9e-0.163x的预报效果更好
8．“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌．为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则( )
参考公式及数据：
①χ2＝nad−bc2a+bc+da+cb+d，n＝a＋b＋c＋d.
②当α＝0.05时，xα＝3.841.
A．从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为25
B．用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为964
C．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联
D．对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85
三、填空题
9．某工厂为研究某种产品产量x(单位：t)与所需某种原材料y(单位：t)的相关性，在生产过程中收集4组对应数据(x，y)如下表所示：
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为y＝0.7x＋a.据此计算出在样本点(4，3)处的残差为－0.15，则a的值为________，表中m的值为________．
10．如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率．已知该年级男生500人、女生400人(假设所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢徒步的学生中按分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为________．
四、解答题
11．甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否以此推断甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：χ2＝nad−bc2a+bc+da+cb+d，
12．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．如图所示是2018－2022年移动物联网连接数w与年份代码t的散点图，其中年份2018－2022对应的t分别为1～5.
(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数(精确到0.01)，并推断它们的相关程度；
(2)①假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型Y=bx+e，Ee=0，De=σ2，(随机误差ei＝yi－bxi)．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计；
②令变量x＝t－t，y＝w－w，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型Y=bx+e，Ee=0，De=σ2，利用①中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
附：样本相关系数r＝
参考数据：i=15wi−w2＝76.9，i=15ti−t(wi－w)＝27.2，i=15wi＝60.8，769≈27.7.
13．随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策推动下，中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”，一跃成为新能源汽车产量连续7年居世界第一的全球新能源汽车强国．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，改进并生产纯电动车、插电混合式电动车、氢燃料电池车三种车型，生产效益在短期内逐月攀升，该企业在1月份至6月份的生产利润y(单位：百万元)关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图．
(1)根据散点图判断，y＝ax＋b与y＝cedx(a，b，c，d均为常数)哪一个更适宜作为利润y关于月份x的经验回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程．
(3)该车企为提高新能源汽车的安全性，近期配合中国汽车技术研究中心进行了包括跌落、追尾、多车碰撞等一系列安全试验项目，其中在实验场进行了一项甲、乙、丙三车同时去碰撞实验车的多车碰撞实验，测得实验车报废的概率为0.188，并且当只有一车碰撞实验车发生，实验车报废的概率为0.1，当有两车碰撞实验车发生，实验车报废的概率为0.2，由于各种因素，实验中甲、乙、丙三车碰撞实验车发生概率分别为0.7，0.5，0.4，且互不影响，求当三车同时碰撞实验车发生时实验车报废的概率．
参考数据：
其中，设u＝ln y，ui＝ln yi(i＝1，2，3，4，5，6).
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)，其经验回归方程y＝βx＋α的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β＝，α＝y－βx.
参考答案
1．C [按照独立性检验的知识及比对的参数值，当χ2＝6.147，我们可以下结论变量x与y独立．故排除选项A，B；依据α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，6.147<6.635，所以我们不能得到“变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01”这个结论．故C正确，D错误．故选C.]
2．D [若变量x和y之间的相关系数为r＝－0.992，则变量x和y之间的负相关很强，A正确；
用决定系数R2来比较两个模型拟合效果，R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，B正确；在经验回归方程y＝－2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少2个单位，C正确；经验回归直线y＝bx＋a必过(x，y)，但不一定过样本点，D错误．故选D.]
3．C [因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝by＋a，b＞0，则z＝by＋a＝－0.1bx＋b＋a，故x与z负相关．故选C.]
4．B [因为x＝3，z＝3，
所以a＝z－0.52x＝3－3×0.52＝1.44，
即经验回归方程z＝0.52x＋1.44，
当x＝8时，z＝0.52×8＋1.44＝5.6，
所以y＝ez＝e5.6，即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为e5.6.
故选B.]
5．C [由表格数据知：x＝20+23+25+27+305＝25，y＝2+2.4+3+3+4.65＝3，
∴a＝y−14x＝3－254＝－134，
∴经验回归方程为y＝14x－134.
对于A，残差的绝对值为4.6−14 ×30−134＝0.35；
对于B，残差的绝对值为3−14×27−134＝0.5；
对于C，残差的绝对值为3−14×25−134＝0；
对于D，残差的绝对值为2.4−14×23−134＝0.1；
∴残差绝对值最小的样本数据是(25，3)．故选C.]
6．C [设被调查的男性为x人，则女性为2x人，依据题意可得列联表如下表：
χ2＝3x5x6·4x3−2x3·x623x2·3x2·x·2x＝2x3，因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，所以有χ2≥7.879，即2x3≥7.879，
解得x≥11.818 5，又因为上述列联表中的所有数字均为整数，故x的最小值为12.故选C.]
7．ACD [由图象知，海拔高度越高，大气压强越低，所以大气压强与海拔高度负相关，A正确；
由经验回归直线得到的数据为估计值，而非精确值，B错误；
当x＝11时，y1＝－4.0×11＋68.5＝24.5，又由散点图知观测值为22.6，所以样本点(11，22.6)的残差为22.6－24.5＝－1.9，C正确；
随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此经验回归方程y2＝132.9e-0.163x的预报效果更好，D正确．故选ACD.]
8．BC [从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率P＝8080+20＝45，A错误；
样本中喜欢天宫课堂的频率为80+70200＝34，从全校学生中任选3人，
恰有2人不喜欢天宫课堂的概率P1＝C321−342×34＝964，B正确；
因为χ2＝200×80×30−70×202100×100×150×50≈2.667<3.841，所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联，C正确；
抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为80，70，
又男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，所以参加测试的学生成绩的均值为80×80+70×9080+70＝2543，D错误．故选BC.]
9．0.35 4.5 [由在样本点(4，3)处的残差为－0.15，可得当x＝4时，y＝3.15，即3.15＝0.7×4＋a，解得a＝0.35．又x＝14(3＋4＋5＋6)＝4.5，y＝14(2.5＋3＋4＋m)＝14(9.5＋m)，经验回归直线过点x，y，所以14(9.5＋m)＝0.7×4.5＋0.35，解得m＝4.5．]
10．15 [根据等高堆积条形图可知： 喜欢徒步的男生人数为0.6×500＝300，喜欢徒步的女生人数为0.4×400＝160，
所以喜欢徒步的总人数为300＋160＝460，
按分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为300460×23＝15．]
11．解：(1)根据表中数据，A家公司共有班次260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M，
则P(M)＝240260＝1213.
B家公司共有班次240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，
则P(N)＝210240＝78.
所以A家公司长途客车准点的概率为1213，
B家公司长途客车准点的概率为78.
(2)补充列联表如下．
零假设为H0：甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司无关．根据2×2列联表，可得χ2＝nad−bc2a+bc+da+cb+d＝500×240×30−210×202260×240×450×50≈3.205>2.706＝x0.1.
根据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．
12．解：(1)由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关．
因为t＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，所以
＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10，
所以r＝＝27.210×76.9＝27.2769≈27.227.7≈0.98，
所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强．
(2)①Q＝i=1nei2＝i=1nyi−bxi2＝i=1nyi2−2bxiyi+b2xi2＝b2i=1nxi2−2bi=1nxiyi+i=1nyi2，
要使Q取得最小值，当且仅当b＝
所以y关于x的经验回归方程为y＝2.72x，
所以当t＝7 时，
则x＝7－3＝4，w＝y＋w＝2.72×4＋12.16＝23.04，
所以预测2024年移动物联网连接数为23.04亿户．
13．解：(1)散点图中的点的分布不是一条直线，相邻两点在y轴上的差距是增大的趋势，故选用y＝cedx作为利润y关于月份x的经验回归方程更合适．
(2)由y＝cedx，两边同时取对数得ln y＝ln c＝dx，
由u＝ln y，则u＝dx＋ln c
x＝1+2+3+4+5+66＝3.5，i=16xi−x2＝17.50，i=16xi−xui－u＝6.30，u＝2.80，
所以d＝＝6.3017.5＝0.36，
所以ln c＝u－dx＝2.80－0.36×3.5＝1.54，
所以ln y＝1.54＋0.36x，
所以y＝e1.54+0.36x.
(3)设事件B为“实验车报废”，事件A1为“只有一车碰撞试验车”，事件A2为“恰有两车碰撞试验车”，事件A3为“三车碰撞试验车”，
则P(A1)＝(1－0.7)×(1－0.5)×0.4＋(1－0.7)×0.5×(1－0.4)＋0.7×(1－0.5)×(1－0.4)
＝0.3×0.5×0.4＋0.3×0.5×0.6＋0.7×0.5×0.6＝0.36，
P(A2)＝(1－0.7)×0.5×0.4＋0.7×(1－0.5)×0.4＋0.7×0.5×(1－0.4)
＝0.3×0.5×0.4＋0.7×0.5×0.4＋0.7×0.5×0.6＝0.41，
P(A3)＝0.7×0.5×0.4＝0.14，
由已知得P(B|A1)＝0.1，P(B|A2)＝0.2，
利用全概率公式得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.36×0.1＋0.41×0.2＋0.14×P(B|A3)＝0.188，
解得P(B|A3)＝0.5，
所以当三车同时碰撞实验车发生时实验车报废的概率为0.5
年份
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
年份代码x
1
2
3
4
5
云计算市场规
模y/千万元
7.4
11
20
36.6
66.7
z＝ln y
2
2.4
3
3.6
4
x
20
23
25
27
30
y
2
2.4
3
3
4.6
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
天宫课堂
喜欢天宫课堂
不喜欢天宫课堂
男生
80
20
女生
70
30
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
m
运营公司
班次数
准点
未准点
A
240
20
B
210
30
α
0.100
0.050
0.010
xα
2.706
3.841
6.635
月份x
1
2
3
4
5
6
生产利润y/百万元
6.8
8.6
16.1
19.6
28.1
40.0
y
u
i=16(xi−x)2
i=16(xi−x)·yi－y
i=16(xi−x)·ui－u
19.87
2.80
17.50
113.75
6.30
足球
性别
合计
男性
女性
喜爱足球
5x6
2x3
3x2
不喜爱足球
x6
4x3
3x2
合计
x
2x
3x
运营公司
班次数
合计
准点
未准点
A
240
20
260
B
210
30
240
合计
450
50
500