2024年广西南宁市四大学区中考数学二模试卷（含答案）

这是一份2024年广西南宁市四大学区中考数学二模试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若向北走5步记作+5步，则向南走7步记作( )
A. +7步B. −7步C. +12步D. −2步
2.下列图标中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.二次根式 9的化简结果正确的是( )
A. 3B. 2C. 3 2D. 2 3
4.如图所示的几何体，它的主视图正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，AB//CD，EF分别交AB，CD于点G，H，若∠1=39°，则∠2的度数为( )
A. 51°
B. 39°
C. 129°
D. 78°
6.正五边形的外角和为( )
A. 72°B. 180°C. 360°D. 540°
7.下列各式中，计算正确的是( )
A. x3+x4=x7B. x3⋅x2=x6C. (−x3)4=x12D. x9÷x3=x3
8.已知x=−2是方程x−3a=1的解，那么a的值是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
9.某空气质量监测点记载的今年三月份某五天的空气质量指数(AQI)为：35，27，34，40，26，则这组数据的中位数是( )
A. 26B. 27C. 33D. 34
10.如图，在平面直角坐标系中，将点P(2,3)绕原点O顺时针旋转90°得到点P′，则P′的坐标为( )
A. (3,2)
B. (3,−2)
C. (2,−3)
D. (−3,2)
11.为鼓励学生积极参加阳光体育健身活动，某学校计划购买一批篮球和足球.若购买30个篮球，20个足球，需花费2350元；若购买20个篮球，40个足球，需花费2500元.则篮球、足球的单价各是多少元？设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，则下列方程组正确的是( )
A. 30x+20y=250020x+40y=2350B. 30x+20y=235020x+40y=2500
C. 20x+30y=250040x+20y=2350D. 20x+30y=235040x+20y=2500
12.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴正半轴上，OA=2，C为AB中点，将△ACO沿CO翻折，使点A落在反比例函数y=kx图象上的A′处，且A′C//AO，则k的值是( )
A. − 3
B. −2 3
C. −3
D. −2
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.若分式6a−1有意义，则a的取值范围是______．
14.计算cs60°=______．
15.在某校举行的数学竞赛中，某班10名学生的成绩统计如图所示，则这10名学生成绩的众数是______分．
16.在半径为6的圆中，100°的圆心角所对的扇形面积等于______(结果保留π)．
17.如图，OA=AB，∠BAO=90°，OB=2，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为y= ______．
18.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E，F将对角线BD三等分，点P是矩形ABCD边上的动点.则PE+PF的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：6÷3+(−3)2×(1−4)．
20.(本小题6分)
解不等式组2x≤63x+12>x，并把它的解集在数轴上表示出来．
21.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，每个小正方形边长为单位1，△ABC的三个顶点分别在正方形格点上．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′，并写出点C′的坐标．
(2)AC的中点坐标为______；BC与B′C′的交点坐标为______．
22.(本小题10分)
随着汉服文化、李子柴的短视频及游戏“原神”等在全球的流行，激发了公众对传统文化的兴趣.基于这股文化热潮，学校开展了一项调查，以下是两幅不完整的调查结果统计：
是否应该将“保护和继承传统文化”引入校园

(1)请补全条形统计图；
(2)根据调查结果，学校举办了一场名为《国韵华章---文化自信》的诗词大赛，第一轮为经典诵读，参赛者均从《短歌行》《将进酒》《观沧海》《木兰辞》(分别用A，B，C，D表示)中随机抽取一首进行朗诵；第二轮为诗词讲解，参赛者均从《蒹葭》《沁园春⋅雪》《念奴娇⋅赤壁怀古》(分别用E，F，G表示)中随机抽取一首进行讲解，晓慧参加了诗词大赛.利用画树状图或列表法，求晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春⋅雪》的概率．
23.(本小题10分)
如图，AB//CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP，交CD于点M．
(1)若∠ACD=124°，求∠MAB的度数；
(2)若CN⊥AM，垂足为N，延长CN交AB于点O，连接OM，求证：OA=OM．
24.(本小题10分)
共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向3～10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，收费y(元)与骑行时间x(min)之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2．
(1)骑行B品牌10分钟后，每分钟收费______元；
(2)如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/ℎ，小明家到工厂的距离为6km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
(3)若A品牌与B品牌的收费相差1.4元，求x的值．
25.(本小题10分)
在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环.设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐.这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂.从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题．

(1)如图1，在正方形ABCD中，O为对角线的交点，⊙O的半径为正方形边长的一半，求证：⊙O与AD相切；
(2)如图2，在正方形ABCD中，AB=4，DN，BM，BD分别与⊙O相切于点N，M，E，且DN=BM=2 2，OC=2 2−1，求⊙O的半径；
(3)如图3，半径为1的⊙O在边长为4的正方形ABCD内任意移动，在其任意移动的过程中，⊙O所移动过的最大区域面积为______．
26.(本小题10分)
综合与实践
【问题初探】数学小组先以抛物线y=12x2为例，对函数图象的平移变换做了以下研究：

(1)k的值为______，若A(−2,2)在抛物线y=12x2上，则平移后对应的点为A′坐标为______；
【探究归纳】同学们对函数图象向左平移1个单位，解析式中的x反而变为x+1产生了疑惑，这与点的坐标平移规律不一样，从而展开深入研究，以下是他们的部分相关研究笔记：
定义：函数图象按(ℎ,k)平移是指沿x轴方向向右(ℎ>0)平移ℎ个单位或向左(ℎ<0)平移|ℎ|个单位；再沿y轴向上(k>0)平移k个单位或向下(k<0)平移|k|个单位．
设抛物线y=12x2上的任意一点为M(x,y)，将抛物线按(−1,3)平移后，M的对应点为N(x1,y1).

【拓展应用】同学们发现，这种方法同样适用于一次函数以及反比例函数等函数图象的平移前后解析式的研究．
(2)若反比例函数y=1x按(1,4)平移，求平移后的函数解析式；
(3)若抛物线按(m,n)平移，规定平移路径长为 m2+n2.将抛物线y=12x2平移后交直线y=x−1于A，B两点，AB=4，当平移路径最短时，求m，n的值．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.D
5.B
6.C
7.C
8.A
9.D
10.B
11.B
12.A
13.a≠1
14.12
15.90
16.10π
17.y=x2+2x
18. 973
19.解：6÷3+(−3)2×(1−4)
=6÷3+9×(−3)
=2+(−27)
=−25．
20.解：2x≤6①3x+12>x②，
解不等式①得，x≤3，
解不等式②，x>−1，
所以，原不等式组的解集为−1在数轴上表示如下：
．
21.(1)如图，△A′B′C′即为所求．
由图可得，C′(1,−1)．
(2)由图可得，A(−1,4)，C(1,1)，
∴AC的中点的横坐标为−1+12=0，纵坐标为4+12=52，
∴AC的中点坐标为(0,52).
设直线BC的解析式为y=mx+n，
将B(−4,−1)，C(1,1)代入，
得−4m+n=−1m+n=1，
解得m=25n=35，
∴直线BC的解析式为y=25x+35．
设直线B′C′的解析式为y=m′x+n′，
将B′(−4,1)，C′(1,−1)代入，
得−4m′+n′=1m′+n′=−1，
解得m′=−25n′=−35，
∴直线B′C′的解析式为y=−25x−35．
令25x+35=−25x−35，
得x=−32，
∴BC与B′C′的交点坐标为(−32,0)．
22.解：(1)如图：
补全统计图：

(2)画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中晓慧第一轮抽中D.《木兰辞》且第二轮抽中F.《沁园春⋅雪》的结果有1种，
∴晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春⋅雪》的概率为112．
23.(1)解：∵AB//CD，
∴∠ACD+∠CAB=180°，
又∵∠ACD=124°，
∴∠CAB=56°，
由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB=12∠CAB=28°．
(2)证明：由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB=∠MAC，
又∵AB//CD，
∴∠MAB=∠CMA，
∴∠MAC=∠CMA，
∴AC=MC，
又CN⊥AM，
∴OC为线段AM的垂直平分线(等腰三角形三线合一)，
∴OA=OM．
24.(1)0.1．
(2)小明从家到工厂所用的时间为6÷20=310(ℎ)，
310×60=18(min)，
由图象可知，当x=18时，y1∴小明选择A品牌的共享电动车更省钱．
(3)A品牌共享电动车每分钟的费用为4÷20=0.2(元)，则y1=0.2x；
当0≤x<10时，y2=3；
当x≥10时，y2=3+0.1(x−10)=0.1x+2；
∴y2=3(0≤x<10)0.1x+2(x≥10)．
当0≤x<10时，3−0.2x=1.4，解得x=8；
当x≥10时，|0.1x+2−0.2x|=1.4，解得x=6(不符合题意，舍去)或x=34；
∴x的值为8或34．
25.(1)证明：过点O作OE⊥AD于点E，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，
∴△OAD为等腰直角三角形，
∵OE⊥AD，
∴OE=12AD．
∵⊙O的半径为正方形边长的一半，
∴OE为⊙O的半径，
∴点O到AD的距离等于圆的半径，
∴⊙O与AD相切；
(2)解：连接OE，如图，
∵四边形ABCD为正方形，AB=4，
∴BC=CD，BD= 2AB=4 2．
∵DN，BM，BD分别与⊙O相切于点N，M，E，
∴DN=DE，BM=BE，OE⊥BD，
∵DN=BM=2 2，
∴BE=DE，
∴OE是BD的垂直平分线，
∵CD=CB，
∴点C在BD的垂直平分线上，
∴点C，O，E在一条直线上，
∴CE=12BD=2 2，
∵OC=2 2−1，
∴OE=CE−OC=1，
∴⊙O的半径为1；
(3)解：设⊙O与正方形的CD切于点E，与AD切于点F，连接OE，OF，如图，
∵⊙O与正方形的CD切于点E，与AD切于点F，
∴OE⊥CD，OF⊥AD，
∵∠D=90°，
∴四边形OEDF为矩形，
∵OE=OF，
∴四边形OEDF为正方形，
∴∠EOF=90°，
∵半径为1的⊙O在边长为4的正方形ABCD内任意移动，
∴⊙O所移动过的最大区域面积为正方形ABCD的面积减去4个直角顶点处的空白部分的面积，
∴⊙O所移动过的最大区域面积=42−4×(12−90π×12360)=12+π．
26.(1)−2；(−3,0)．
(2)反比例函数y=1x上任意一点M(x,y)，按(1,4)平移，
得到M的对应点N(x1,y1)，
x1=x+1，y1=y+4，
x=x1−1，y=y1−4，
故平移后的解析式为y=1x−1+4．
(3)∵抛物线y=12x2按(m,n)平移，
∴新抛物线为y=12(x−m)2+n．
又平移后交直线y=x−1于A(x1,y1)，B(x2,y2)，两点，
∴联列方程组y=12(x−m)2+ny=x−1，
则12x2−(m+1)x+12m2+n+1=0．
则x1+x2=2+2m，
x1x2=m2+2n+2，
由勾股定理得：AB=4，
∵y1=x1−1，y2=x2−1，
代入上式，整理得：(x1−x2)2=8，
∴(x1+x2)2−4x1x2=8，
可得：n−m=−32，
设平移后的路径长为l，
由已知可得：
l2=m2+n2，
即n=−32+m代入上式，
l2=m2+(−32+m)2=2(m−34)2+98，
∵2>0，
∴m=34时，l2最小，即l最小，
此时n=−32+m=−34，
故此时平移后的路径最短，此时m=34，n=−34．
百分比
累积百分比
非常有必要
34.4
34.4
有必要
50.9
85.3
无所谓
3.3
没必要
94.6
非常没必要
100.0
合计
100.0
百分比
累积百分比
非常有必要
34.4
34.4
有必要
50.9
85.3
无所谓
3.3
88.6
没必要
6.0
94.6
非常没必要
5.4
100.0
合计
100.0
100.0