2023年广西南宁市武鸣区中考数学二模试卷（含解析）

2023年广西南宁市武鸣区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在实数，，，中，属于无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图中，小明从上面看到的是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，它是卡塔尔规模最大的体育场约有个座位，将这个数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某校有名学生，随机抽取了名学生进行体重调查，下列说法错误的是(    )

A. 总体是该校名学生的体重 B. 个体是每一个学生
C. 样本是抽取的名学生的体重 D. 样本容量是

5.  要使代数式有意义，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  将直线向下平移个单位长度，所得直线的关系式为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列运算中，结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

9.  如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

10.  某商场计划销售一批运动衣，能获得利润元经过市场调查后，进行促销活动，由于降低售价，每套运动衣少获利润元，但可多销售套，结果总利润比计划多元求实际销售运动衣多少套？每套运动衣实际利润是多少元？设原计划销售运动衣套，原计划每套运动衣的利润是元可列方程组为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘也会让美食锦上添花图中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图阴影部分为摆盘，通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是(    )

A. 当时，
B. 当时，的值随值的增大而增大
C. 点的坐标为
D.
 

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  因式分解： ______ ．

14.  酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液、中性溶液都不变色，遇碱溶液变红色现有瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水白醋溶液、小苏打溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是______ ．

15.  如图，直线，，则的度数是______ ．

16.  方程的解为______ ．

17.  下表中与的数据满足我们初中学过的某种函数关系．其函数表达式为______．

18.  如图，在平面直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为边在下方作等边三角形，连接，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
如图，在等腰中，，
若，，求的周长；
请用尺规作图法，在边边上求作一点，使得∽不写作法，保留作图痕迹．

22.  本小题分
体育课上，老师为了解女学生定点投篮的情况，随机抽取名女生进行每人次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示．
求女生进球数的平均数、中位数、众数；
投球次，进球个以上含个为优秀，全校有女生人，估计为“优秀”等级的女生约为多少人？

23.  本小题分
如图，是的直径，点在上，连接和，平分交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
求证：直线与相切；
若，，求的半径．

24.  本小题分
人教版九年级上册的教材第页有这样一道习题：在一块三角形余料中，它的边，高线要把它加工成正方形零件如图，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上求这个正方形零件的边长；
如果把它加工成矩形零件如图，其余条件不变，矩形的面积的最大值是多少？

 

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点为和．
求反比例函数的关系式；
若一次函数与轴交于点，且，求出与的值；
若点是直线上一点，点的横坐标为，连接，的面积记为，当时，请直接写出值______ ．

26.  本小题分
综合与实践．
教材呈现下列材料是人教版八年级下册数学教材第页数学活动的部分内容．

问题解决如图，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上．
求证：四边形是正方形；
教材延伸如图，将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕，若，，求的长；
在图中，延长交直线于点，当点与点重合时，若，，其他条件不变，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，看到的图形是：

故选A．
根据从上面看到的形状选择即可．
本题考查了简单组合体的三视图，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】

解：总体是该校名学生的体重，说法正确，故A不符合题意；
B.个体是每一个学生的体重，原来的说法错误，故B符合题意；
C.样本是抽取的名学生的体重，说法正确，故C不符合题意；
D.样本容量是，说法正确，故D不符合题意．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，得
，
解得．
故选：．
根据二次根式有意义，被开方数大于等于，列不等式求解．
本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：当代数式是整式时，字母可取全体实数；当代数式是分式时，分式的分母不能为；当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
 

6.【答案】 

【解析】解：直线向下平移个单位长度，
，
故选：．
根据一次函数图象向下平移的性质：左加右减、上加下减的特点，再结合题意求解析式即可．
本题考查一次函数图象的几何变换，熟练掌握一次函数平移的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：．，则符合题意；
B.与不是同类二次根式，无法合并，则不符合题意；
C.，则不符合题意；
D.与不是同类二次根式，无法合并，则不符合题意；
故选：．
利用二次根式的性质及运算法则将各项运算后进行判断即可．
本题考查二次根式的性质及运算法则，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
又、为对应点，点为旋转中心，
，即为等腰三角形，
．
故选：．
旋转中心为点，与，与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求．
本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：按原价销售，能获得利润元，
；
降低售价后，每套运动衣少获利润元，但可多销售套，结果总利润比计划多元，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
利用总利润每套的销售利润销售数量，结合降价前后可获得的利润，可得出关于，的二元二次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元二次方程组，找准等量关系，正确列出二元二次方程组是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，连接．
，，
是等边三角形，
，
，
故选：．
首先证明是等边三角形，求出，再根据，求解即可．
本题考查扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：、由图可知：抛物线开口向下，，故选项A错误，不符合题意；
B、抛物线对称轴是直线，开口向下，
当时随的增大而减小，时随的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；
C、由，抛物线对称轴是直线可知，坐标为，故选项C错误，不符合题意；
D、抛物线过点，由可知：抛物线上横坐标为的点在第一象限，
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
由抛物线开口方向可判断，根据抛物线对称轴可判断，由抛物线的轴对称性可得点的坐标，从而判断，由所在象限可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质，数形结合解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：蒸馏水是中性溶液，白醋溶液是酸性溶液，小苏打溶液是碱性溶液，柠檬水溶液是碱性溶液，火碱是碱性溶液，
故将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是，
故答案为：．
先写出几种溶液的酸碱性，然后即可得到将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，写出各个溶液的酸碱性．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，，
，
．
故答案为：．
先根据平行线的性质，求得的度数，再根据邻补角，求得的度数即可．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
两边同乘，去分母得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为得：，
检验：将代入中得，则是分式方程的解，
故原分式方程的解为：，
故答案为：．
按照解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，解方程并检验即可．
本题考查解分式方程，注意解分式方程后必须进行检验．
 

17.【答案】 

【解析】解：根据表中与的数据设函数关系式为：，
将表中、、代入函数关系式，得
，
解得，
函数表达式为．
故答案为：．
根据表中与的数据设函数关系式为：，将表中、、代入函数关系式，即可得结论．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据表格数据分析出与的数据满足二次函数关系是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，以为对称轴作等边，延长交轴于，

是等边三角形，是等边三角形，
，，，，
，
≌，
，
，
，，，
，
，，
，，
点在上移动，
当时，有最小值，
此时，，
故答案为：．
以为对称轴作等边，由“”可证≌，可得，由直角三角形的性质可求，，则点在上移动，当时，有最小值，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短，确定点的运动轨迹是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式



． 

【解析】先算括号里面的，再算乘方，除法，最后算加减即可．
本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式


，
当时，原式． 

【解析】先计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，将的值代入可得答案．
本题主要考查分式的化简求值能力，熟练掌握分式的运算顺序和运算法则是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，过点作于点．

，，
，
，
，
的周长为；
如图，点即为所求． 

【解析】作于点，求出，可得结论；
桌线段的垂直平分线交与点，连接，点即为所求．
本题考查作图相似变换，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】解：由条形统计图可得，女生进球数的平均数为：个，
第，个数据都是，则其平均数为：，
女生进球数的中位数为：，
女生进球数的众数为：；
样本中优秀率为：，
故全校有女生人，“优秀”等级的女生为：人，
答：“优秀”等级的女生约为人． 

【解析】利用条形统计图得出进球总数，进而得出平均数、众数和中位数；
利用样本中优秀率，再估计总体优秀人数．
本题主要考查了中位数、众数以及利用样本估计总体和算术平均数求法，掌握相应的定义是解题关键．
 

23.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：设，设交于点．
是直径，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，，
，，
，，
在中，，
，
的半径为． 

【解析】结论：是的切线，证明即可；
设，设交于点证明四边形是矩形，推出，，再利用勾股定理构建方程求解．
本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：四边形为正方形，
，，，
即，
∽，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
解得：，
答：这个正方形零件的边长为；
四边形为矩形，
，
即，
∽，
，
设，，
，
解得：，




，
有最大值，
当时，最大，最大值为，
答：矩形的面积的最大值是． 

【解析】由正方形的性质得到，于是∽，再根据相似三角形对应高之比等于相似比得出比例式，求出的长，即是正方形零件的边长；
设，，根据相似三角形对应高之比等于相似比得出比例式，并用表示，再根据矩形面积公式进行计算，最后根据二次函数的最值解答即可．
本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题．熟练掌握：相似三角形对应高之比等于相似比．
 

25.【答案】或 

【解析】解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
则反比例函数的表达式为：；


过点、分别作轴的垂线，垂足分别为：、，
则∽，
，即，则，
即点纵坐标为，
当，即，则，
则点；
将点、的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
即一次函数表达式为：，
即，；

由点的坐标得，直线的表达式为：，设点，
过点作轴于点，过点作于点，过点作于点，

在中，由点、的坐标得，，
同理可得，，，，
由一次函数表达式知，，
则，即，则，
则，
则，
解得：或，
即点或；
故答案为：或．
用待定系数法即可求解；
由∽，求出点纵坐标为，进而求解；
由，求出，进而求解．
本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
 

26.【答案】证明：折叠，
，，，
又，
，
，
，
，
四边形是菱形，
又，
四边形是正方形；
解：矩形中，，，
，，，
由知：四边形是正方形，
，，
，四边形是矩形，
，，，
折叠，
，，
，
，
在中，，，，
，
即，
解得；
解：由同理得出，，，
，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
又，
，
即，
解得负根舍去，
．
 

【解析】根据折叠的性质，三角形内角和可证明，利用等边对等角可得，结合折叠性质得出，从而证明四边形是菱形，再结合正方形的判定即可证明；
先证明四边形是矩形，可求出，，利用折叠和勾股定理可求出，然后在中，利用勾股定理构建方程求解即可；
证明∽，求出，在中，利用勾股定理可求出，可列出方程，然后解方程即可求解．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，翻折的性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．