2023-2024学年四川省眉山市东坡区眉山映天学校等校高二下学期期末联考数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年四川省眉山市东坡区眉山映天学校等校高二下学期期末联考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果函数y=f(x)的图象如图，那么导函数y=f′(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
2.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第85百分位数为( )分
A. 84B. 85C. 86D. 87
3.从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则P(B|A)=( )
A. 34B. 56C. 67D. 78
4.下列说法中正确的有( )
①在回归分析中，决定系数R2越大，说明回归模型拟合的效果越好
②已知相关变量(x,y)满足回归方程y=9.4x+9.1，则该方程对应于点(2,29)的残差为1.1
③已知随机变量ξ∼B(n,p)，若E(ξ)=30,D(ξ)=20，则n=45
④以y=cekx拟合一组数据时，经z=lny代换后的经验回归方程为z=0.3x+4，则c=e4,k=0.3
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.函数f(x)=4x3−ax2−2bx+2在x=1处有极小值−3，则b−a的值等于( )
A. 0B. −2C. −4D. 6
6.若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为( )
A. 16B. 20C. 28D. 40
7.某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样，抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1，根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差约为( )
A. 1.3B. 1.5C. 1.7D. 1.9
8.已知函数f(x)=ex,x≥0x+2,x<0，若aA. ln2,1B. ln2,1C. 12ln2,1D. 1,2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的命题是( )
A. 随机变量X服从二项分布Bn,p，若EX=30，DX=20，则p=23
B. 某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为12，则游戏者闯关成功的概率为3132
C. 设随机变量ξ服从正态分布N0,1，若Pξ>1=p，P−1<ξ<0=12−p
D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X∼B(10,0.6)，则当且仅当X=6时概率最大
10.某厂生产一批零件，单个零件的尺寸X(单位：厘米)服从正态分布N10,0.01，则(附：Pμ−σ≤X≤μ+σ=0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ=0.9545，Pμ−3σ≤X≤μ+3σ=0.9973)( )
A. PX>10.3=0.00135B. PX<9.99=0.15865
C. P9.9≤X≤10.3=0.84D. P9.8≤X≤10.1=0.8186
11.已知fx=2x−3nn∈N∗展开式的二项式系数和为512，fx=a0+a1x−1+a2(x−1)2+⋯+an(x−1)n，下列选项正确的是( )
A. a1+a2+⋯+an=1B. a1+2a2+3a3+⋯+nan=18
C. a2=144D. a0+a1+⋯+an=39
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在x2−23xn的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中x5的系数为 .(用数字作答)
13.某学校为普及垃圾分类知识，增强学生的垃圾分类意识，在全校范围内举办垃圾分类知识竞赛.通过选拔，仅有甲、乙两名选手进入决赛.决赛采用积分制，规则为：抢答3道题，每题10分，答对得10分，答错自己不得分，对方得10分.选手是否抢到试题是等可能的，且回答对错互不影响，得分高的获胜.已知甲、乙两名选手答对每道题的概率分别为23,13，记事件A为“答第一道题，甲选手得分”，则PA= ，记甲选手的得分为X(单位，分)，PX=20= ．
14.若函数f(x)=xeax−ax−1+lnx有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，每小题12分，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知函数f(x)=x2ex．
(1)求函数fx的单调区间．
(2)求函数fx在x∈−1,2上的值域．
16.通过调查，某市小学生、初中生、高中生的肥胖率分别为2%，3%，3%.已知该市小学生、初中生、高中生的人数之比为5:3:2，若从该市中小学生中，随机抽取1名学生．
(1)求该学生为肥胖学生的概率;
(2)在抽取的学生是肥胖学生的条件下，求该学生为高中生的概率．
17.为了了解高中学生课后自主学习数学时间(x分钟/每天)和他们的数学成绩(y分)的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据(表一)．
(1)求数学成绩y与学习时间x的相关系数(精确到0.001)；
(2)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩(参考数据：i=15xiyi=22820,i=15yi=435,i=15yi2=38999，107.42≈11540,xi的方差为200);
(3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2列联表(表二).依据表中数据及小概率值α=0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．
附：b=i=15xi−xyi−yi=15xi−x2=i=15xiyi−nx⋅yi=15xi2−nx2,a=y−xb，r=i=15(xi−x)(yi−y) i=15(xi−x)2i=15(yi−y)2= ni=1 xiyi−nx⋅y (i=15xi2−nx2)(i=15yi2−ny2)
χ2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d．
18.已知函数f(x)=ex−1−a(其中a∈R)，g(x)=lnx.
(1)当a=0时，求函数f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)当x>0时，若f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．
19.2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗击疫情．某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学．某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课，每天共280分钟，请学生自主学习．区教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了100名学生进行问卷调查，为了方便表述把学习时间在(0,120]分钟的学生称为A类，把学习时间在(120,200]分钟的学生称为B类，把学习时间在(200,280]分钟的学生称为C类，随机调查的100名学生学习时间的人数频率分布直方图如图所示：
以频率估计概率回答下列问题：
(1)求100名学生中A，B，C三类学生分别有多少人？
(2)在A，B，C三类学生中，按分层抽样的方法从上述100个学生中抽取10人，并在这10人中任意邀请3人电话访谈，求邀请的3人中是C类的学生人数的分布列和数学期望；
(3)某校高三(1)班有50名学生，某天语文和数学老师计划分别在19:00—19:40和20:00—20:40在线上与学生交流，由于受校园网络平台的限制，每次只能30个人同时在线学习交流．假设这两个时间段高三(1)班都有30名学生相互独立地随机登录参加学习交流．设有ξ位同学参加语文或数学学习交流，当ξ为多少时，其概率最大．
参考答案
1.A
2.C
3.A
4.C
5.A
6.C
7.D
8.A
9.BCD
10.ACD
11.BD
12.−160
13.23；49
14.(0,1e)
15.解：(1)函数f(x)=x2ex的定义域为R，
又f′(x)=2xex+x2ex=x(x+2)ex，
由f′(x)>0，解得x<−2或x>0；由f′(x)<0，解得−2故函数fx 的单调递增区间为(−∞,−2)和(0,+∞)；
函数fx的单调递减区间为−2,0．
(2)由(1)可得fx在−1,0上单调递减，在0,2上单调递增，
所以fx在x=0处取得极小值即最小值，所以fxmin=f0=0，
又f−1=e−1，f2=4e2>e−1，所以fxmax=f2=4e2，
所以函数fx在x∈−1,2上的值域为0,4e2．

16.解：记B=“任取1名中小学生是肥胖学生”，
A1=“学生为小学生”，A2=“学生为初中生”，A3=“学生为高中生”．
则Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
由题意得P(A1)=0.5，P(A2)=0.3，P(A3)=0.2，
P(B|A1)=0.02，P(B|A2)=0.03，P(B|A3)=0.03．
(1)由全概率公式，
得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.5×0.02+0.3×0.03+0.2×0.03=0.025，
即随机抽取1名学生，该学生为肥胖学生的概率为0.025;
(2)A3B=“抽取的学生是肥胖学生且为高中生”，
则P(A3B)=P(A3)P(B|A3)=0.006，
所以P(A3|B)=P(A3B)P(B)=，
即在抽取的学生是肥胖学生的条件下，该学生为高中生的概率为0.24．
17. 解：(1)x=30+40+50+60+705=50，y=4355=87，
又xii=1,2,3,⋯,5的方差为15i=15xi−x2=200，
r=22820−5×50×8710 11540=10701074≈0.996；
(2)由(1)知r=0.996接近1，故与之间具有极强的线性相关关系，
可用线性回归直线方程模型进行拟合，
b=i=15xiyi−5xyi=15xi2−5x2=22820−5×50×87302+402+502+602+702−5×502=1.07，
a=y−bx=87−1.07×50=33.5，
故y=1.07x+33.5，当x=100时，y=140.5，
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分；
(3)零假设为H0：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．
根据数据，计算得到：
χ2=220×(25×130−35×30)2165×55×60×160=1109≈12.22
因为12.22>10.828，
所以依据α=0.001的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．

18.解：(1)当a=0时，f(x)=ex−1，f′(x)=ex−1，则f′(0)=e−1=1e，
而f(0)=e−1=1e，所以切线方程为y−f(0)=f′(0)(x−0)，即y=1ex+1e．
(2)当x>0时，由f(x)≥g(x)，得ex−1−a≥lnx，即a≤ex−1−lnx恒成立，
设ℎ(x)=ex−1−lnx(x>0)，则ℎ′(x)=ex−1−1x，
设φ(x)=ex−1−1x(x>0)，则φ′(x)=ex−1+1x2>0，故ℎ′(x)在(0,+∞)上单调递增，
又因为ℎ′(1)=0，所以当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
则ℎ(x)≥ℎ(1)=e0−0=1，
则a≤1，即a的取值范围为(−∞,1]．
19.解：(1)A类学生有：(0.00125×40×2+0.0025×40)×100=20人，
B类学生有：0.00625×40×2×100=50人，
C类学生有：(0.005×40+0.0025×40)×100=30人．
(2)A:B:C=20:50:30=2:5:3，
故从A类中抽2人，B类中抽5人，C类中抽3人．
设邀请的三人中是C类的学生人数为X，则X可取0，1，2，3．
P(X=0)=C73C103=724，P(X=1)=C31C72C103=2140，
P(X=2)=C32C71C103=740，P(X=3)=C33C103=1120．
所以X的分布列为
所以E(X)=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910．
(3)学生随机独立参加语文或数学在线辅导所包含的基本事件总数为(C5030)2，
当ξ=k时，由韦恩图可知，
只参加语文辅导的人数为k−30，
语文和数学都参加辅导的人数为60−k．
事件{ξ=k}所包含的基本事件的总数为C5030C30k−30C20k−30，
所以P(ξ=k)=C5030C30k−30C20k−30(C5030)2=C30k−30C20k−30C5030，
则P(ξ=k)≥P(ξ=k+1)P(ξ=k)≥P(ξ=k−1)，
所以C30k−30C20k−30≥C30k−29C20k−29C30k−30C20k−30≥C30k−31C20k−31⇒
(k−29)2⩾(60−k)(50−k),(61−k)(51−k)⩾(k−30)2
⇒412752≤k≤422752．
又因为k∈N∗，所以k=42． 编号
1
2
3
4
5
学习时间x
30
40
50
60
70
数学成绩y
65
78
85
99
108
没有进步
有进步
合计
参与周末在校自主学习
35
130
165
未参与周末不在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
χα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
724
2140
740
1120