四川省眉山市东坡区眉山冠城七中实验学校2023-2024学年高二上学期开学数学试题（含答案）

2023-2024学年眉山冠城七中实验学校高二第一学期入学测试

数学试题卷

考试时间：120分钟；满分：150分。考试范围：必修第五章至第九章。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.为了调查某地三所高中未成年人思想道德建设情况，省文明办采用分层抽样的方法从该地的，，三所中学抽取80名学生进行调查，已知，，三所学校中分别有400，560，320名学生，则从学校中应抽取的人数为（）

A.10   B.20   C.30   D.40

2.向量，的夹角为60°，且，，则（）

A.4   B.2   C.-2   D.1

3.复数的虚部是（）

A.   B.   C.   D.

4.为了得到函数的图象，只需要把函数图象（）

A.先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位

B.先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位

C.先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

D.先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

5.已知，且，则（）

A.   B.   C.   D.

6.设，为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）

A.若，，则

B.若，，，则

C.若，，，则

D.若，，，则

7..已知向量，，若函数，，则的零点之和等于（）

A.   B.   C.   D.

8.我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角，，所对的边分别为，，，则的面积.若，，则面积的最大值为（）

A.   B.1   C.   D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知向量，，下列命题中正确的有（）

A.   B.

C.   D.

10.小张于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小张选择了10年期的等额本息的还贷方式（每月还款数额相等），2021年底贷款购置了一辆小汽车，且截至2022年底，他没有再购买第二套房子.如图是2018年和2022年小张的家庭的各项支出占家庭收入的比例分配图.根据以上信息，判断下列结论中正确的是（）

A.小张一家2022年的家庭收入比2018年增加了1倍

B.小张一家2022年用于娱乐的支出费用为2018年的5倍

C.小张一家2022年用于饮食的支出费用小于2018年

D..小张一家2022年用于车贷的支出费用小于2018年用于饮食的支出费用

11.的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）

A.若，则

B.若，，，则有两解

C.若为钝角三角形，则

D.若，，则的面积是3

12.如图，在正方体中，点，分别为，的中点，下列说法中正确的是（）

A.平面   B.平面

C.与所成角为60°  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知平面向量，，若，共线，则_________.

14.已知甲、乙两组数据从小到大排列，甲：27，28，39，，49，50；乙：24，27，，43，48，52.若这两组数据的第40百分位数、第50百分位数分别相等，则_________.

15.已知，为锐角，且，，则的值为_________.

16..如图，已知球的面上四点，，，，平面，，，，，则球的表面积等于_________.

四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本大题共10分）

已知复数，且为纯虚数.

（1）求复数；

（2）若，求复数以及模.

18.（本大题共12分）

已知函数.

（1）当时，求的取值范围；

（2）若锐角，满足，，求.

19.（本大题共12分）

为保护水资源，节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”.从该市随机抽取100户居民进行月用水量调查，发现每户月用水量都在至之间，其频率分布直方图如图所示.

（1）求的值.

（2）估计这100户居民月用水量的中位数.（结果精确到0.1）

（3）该市每户的月用水量计费方法：每户月用水量不超过时按照3元/计费；超过但不超过的部分按照5元/计费；超过的部分按照8元/计费.把这100户居民月用水量的平均数作为该市居民每月用水量的平均数，估计该市平均每户居民月缴纳水费的金额.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）参考数据：7.5×0.12+12.5×0.18+17.5×0.3+27.5×0.12+32.5×0.06=13.65.

20.（本大题共12分）

在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积；

（3）求的取值范围.

21.（本大题共12分）

如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.

（Ⅰ）设，分别为，的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

22.（本大题共12分）

在中，角，，所对的边分别为，，，是内的一点，且.

（1）若是的垂心，证明：；

（2）若是的外心，求.

参考答案：

1.B2.D3.A4.B5.A6.D7.C8.C

9.AC或只选C，都算全对10.AD11.AB12.AD

13.614.  15.   16.

17.（1）由题意，它为纯虚数，则，∴，∴；

（2），.

18.【详解】（1），

因为，则，所以，所以.

（2）由第（1）问知，所以，

因为，所以，因为，为锐角，

所以，因为，所以，

所以.

19.【详解】（1）由频率分布直方图知数据落在内的频率为，所以；

（2）估计这100户居民月用水量的中位数为.

因为，，

所以.由，可得.

（3）估计该市每户居民月用水量的平均数为

，

故估计该市平均每户居民月缴纳水费的金额为（元）.

20.【详解】（1）因为

，

且，则，可得，整理得，所以.

（2）由余弦定理，即，解得或（舍去），所以的面积.

（3）由正弦定理，可得，，

则

，

因为为锐角三角形，且，则，解得，

则，可得，则，

所以的取值范围为.

21.【详解】（I）证明：连接，易知，，

又由，故，

又因为平面，平面，

所以平面.

（II）证明：取棱的中点，连接，

依题意，得，

又因为平面平面，平面平面，

所以平面，又平面，故，

又已知，，

所以平面.

（III）解：连接，由（II）中平面，

可知为直线与平面所成的角.

因为为等边三角形，且为的中点，

所以，又，

在中，，

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

22.【详解】（1）∵是的垂心，∴，，

即

，

由余弦定理可得上式等价于

，

化简得；

（2）如图所示，取、中点分别为、，

∵是的外心，∴，，

即，

故，

同理，，

联立可得

，，

∵，.