2023-2024学年湖南省益阳市安化县高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年湖南省益阳市安化县高二下学期7月期末考试数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P=−1,0,1，Q=x∈R−1≤x<1，则P∩Q=( )
A. {1}B. {0,1}C. {−1,0}D. {−1,0,1}
2.已知复数z满足(1+i)z=2+4i，则复数z等于( )
A. 1B. 2C. 3D. 10
3.已知sinθ=13，则sin2θ+π2=( )
A. 79B. −79C. 13D. −13
4.已知函数y=lg2(x−a)过定点P(5,0)，则抛物线y=ax2的准线方程是( )
A. x=−1B. y=−1C. x=−116D. y=−116
5.已知等比数列an中，若an=13n，则a12+a22+a32+…+an2=( )
A. 181−13nB. 181−19n
C. 191−19nD. 191−13n
6.已知(1+2x)(2−x)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，那么a0+a2+a4a1+a3+a5+a7的值为( )
A. 170183B. −170183C. 121122D. −121122
7.若函数fx=2ax−lnx在1,3上存在极值点，则实数a的取值范围为( )
A. 16,12B. 16,12
C. −∞,16∪12,+∞D. −∞,16∪12,+∞
8.关于函数f(x)=x2lnx−ax2+a，下列结论中错误的是( )
A. f(x)定义域为(0,+∞)B. f(x)在e2a−12,+∞上单调递增
C. 当a≠12时，f(x)min>0D. 当a=12时，f(x)min=0
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列an前n项和为Sn，Sn=2n2−n，则下列结论成立的有( )
A. 数列an为等差数列
B. 数列Snn的前100项和为10000
C. 若a2a3=a1ak，则k=4
D. 若1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1an−1an>833，则n的最小值为8
10.湖南张家界是5A级景区，有许多好看的景点．李先生和张先生预选该景区的玻璃栈道和凤凰古城游玩．李先生和张先生第一天去玻璃栈道和凤凰古城游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他们第一天去玻璃栈道，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.7；如果第一天去凤凰古城，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.6.设A1=“第一天去玻璃栈道”；A2=“第二天去玻璃栈道”；B1=“第一天去凤凰古城”；B2=“第二天去凤凰古城”，则( )
A. PA2A1=0.7B. PA2B1=0.3C. PA2=0.63D. PB2=0.37
11.已知函数f(x)=(x−2)ex下列说法正确的是( )
A. f(x)的单调减区间是(−∞,2)
B. x=1是函数f(x)的一个极值点
C. f(x)只有一个零点
D. f(x)≥a对任意的x∈R恒成立时，a取值范围为(−∞,−e]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(−1,2)，b=(t,1)，若a//b，则实数t= ．
13.若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208,136都是“十全十美数”，则一共有 个“十全十美数”．
14.若函数f(x)=xex−(m−1)e2x存在唯一极值点，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在▵ABC中， 3sinA−csA=1．
(1)求角A；
(2)D为边BC的中点，AD= 3，求▵ABC面积的最大值．
16.(本小题12分)
树人中学为了落实教育部颁布的“五项管理”，举办高二学生跳绳比赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在160分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生、女生成绩频数分布表：
男生成绩：
女生成绩：
(1)①根据上述数据完成下列2×2列联表：
②依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关？
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，(n=a+b+c+d)，
(2)以样本中的频率作为概率，从高二跳绳比赛成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中学生跳绳比赛.设3人中女生人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx，g(x)=kx．
(1)F(x)=f(x)+ax，求F(x)的单调区间；
(2)若方程f(x)=g(x)有两个解，求k的取值范围；
18.(本小题12分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−1,0)、F2(1,0)，M在椭圆E上，且△MF1F2面积的最大值为 3．
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线l:y=kx+m与椭圆E相交于P，Q两点，且4k2+3=4m2，求证：△OPQ(O为坐标原点)的面积为定值．
19.(本小题12分)
立德中学高中数学创新小组开展一项数学实验(1)给出两块相同的边长都为8cm的正三角形薄铁片(如图1、图2)，其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形(阴影部分)每个四边形中有且只有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)形容器．
(1)试求图1剪拼的正三棱锥体积的大小；
(2)设正三棱柱底面边长为x，将正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数，并标明其定义域，并求其最值．
(3)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3)，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.D
5.B
6.B
7.B
8.C
9.AB
10.ACD
11.BCD
12.−12##−0.5
13.54
14.−∞,1
15.解：(1)
根据题意， 3sinA−csA=1，
则sinA−π6=12，由于A∈0,π，则A−π6∈−π6,5π6，
则A−π6=π6，所以A=π3；
(2)
因为D为边BC的中点，所以AD=12AB+AC，
则AD2=14AB+AC2=14AB2+AC2+2AB⋅AC，
即3=14c2+b2+2bccsπ3=14c2+b2+bc≥34bc，
所以bc≤4，当且仅当b=c=2时，等号成立，
所以S△ABC=12bcsinA≤12×4× 32= 3，
所以▵ABC面积的最大值为 3．

16.解：(1)
①依题意可得2×2列联表：
②零假设H0为跳绳比赛成绩优秀与性别独立，
由列联表可得χ2=22080×60−40×402120×100×120×100=70445≈15.644>10.828=x0.001，
依据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关，
该结论犯错误的概率不超过0.001．
(2)
高二跳绳比赛成绩优秀的学生中女生的概率为40120=13，
则X∼B3,13，所以X的可能取值为0、1、2、3，
则PX=0=C301301−133=827，PX=1=C311311−132=1227=49
PX=2=C321321−131=627=29，PX=3=C331331−130=127，
所以X的分布列为：
所以EX=3×13=1．

17.解：(1)
由题意，函数定义域为{x|x>0}，
F(x)=lnx+ax，F′(x)=1x−ax2=x−ax2，
当a≤0时，F′(x)>0恒成立，即F(x)在(0,+∞)单调递增；
当a>0时，令F′(x)>0，则x>a；令F′(x)<0，则0所以F(x)在(0,a)单调递减，在(a,+∞)单调递增．
综上所述，当a≤0时，F(x) 的 单调递增区间为(0,+∞)；
当a>0时，F(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞)．
(2)
方程f(x)=g(x)有两个解，即lnx=kx⇒k=lnxx有两个解，
令ℎ(x)=lnxx，则ℎ′(x)=1−lnxx2，
令ℎ′(x)>0，则0令ℎ′(x)<0，则x>e，ℎ(x)在(e,+∞)单调递减；
所以函数ℎ(x)=lnxx的最大值为ℎ(x)max=ℎ(e)=1e，
如图所示，所以k的取值范围为0

18.解：(1)
根据题意，c=1．
M在椭圆E上下顶点，△MF1F2面积的最大值．
此时S▵MF1F2=12|F1F2||MO|=b= 3．
所以a2=b2+c2=4，则求椭圆E的方程x24+y23=1．
(2)
如图所示，设Px1,y1,Qx2,y2，
联立直线l与椭圆E的方程y=kx+m,x24+y23=1,得3+4k2x2+8kmx+4m2−12=0，
Δ=64k2m2−43+4k24m2−12=192k2−48m2+144=48(4k2−m2+3)>0．
x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2，
又PQ= 1+k2x1−x2
= 1+k2 x1+x22−4x1x2
= 1+k2 −8km3+4k22−4×4m2−123+4k2
= 1+k2 48(4k2−m2+3)3+4k2，
因为点O到直线PQ的距离d=|m| 1+k2，且4k2+3=4m2，
所以S▵PQO=12×|PQ|×d=12× 1+k2 48(4k2−m2+3)3+4k2×|m| 1+k2=6m23+4k2=6m23+4k2=6m24m2=32．
综上，△OPQ的面积为定值32．

19.解：(1)
解：正三棱锥底面是边长为4的正三角形，其面积为4 3．
如图所示：在正三棱锥中，

∴高DO= BD2−BO2= 42−23 42−(12×4)22=4 63，
∴V=13×4 3×4 63=16 23
(2)
解：结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得：
三棱柱的高ℎ= 33(4−x2)cm，其底面积S= 34x2cm2，
则三棱柱容器的容积V=Sℎ= 34x2⋅ 33(4−x2)=x24(4−x2)=−x38+x2，
即所求函数关系式为V=−x38+x2,(0V′=−3x28+2x=x−3x8+2，
令V′=0，即x−3x8+2=0，
解得：x1=0,x2=163，
当00，V=−x38+x2单调递增，
当163在x2=163时，正三棱柱形容器的容积V有最大值为：V=−18×1633+1632=25627
(3)
解：如图，

分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．
以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，
可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，
再将三个四边形拼成上底即可得到直三棱柱．
分数段
100,120
120,140
140,160
160,180
180,200
频数
8
12
20
55
25
分数段
80,100
100,120
120,140
140,160
160,180
180,200
频数
5
15
10
30
35
5
优秀
非优秀
合计
男生
女生
合计
α
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
3.841
5.024
6.635
7.870
10.828
优秀
非优秀
合计
男生
80
40
120
女生
40
60
100
合计
120
100
220
X
0
1
2
3
P
827
49
29
127