2022-2023学年广东省湛江市第一中学高一上学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省湛江市第一中学高一上学期期末考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5,6}，B={x∣x≤3}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. {3,4,5,6}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. {4,5,6}
2.设x∈R，则“x2−4=0”是“x=2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知cs(π−θ)=25，则cs(−θ)=( )
A. − 215B. −25C. 25D. 215
4.函数f(x)=lg13(3x2−2x−1)的单调递减区间为( )
A. (1,+∞)B. 13,+∞C. −∞,13D. −∞,−13
5.已知函数fx=2x3x2−1，则其图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数f(x)=2sin(ωx−π6)(ω>0)，若∀x∈R，f(x)≤f(π3)，则ω的最小值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
7.已知函数f(x)=lgax,00且a≠1)，则实数a的取值范围为( )
A. (1,2)B. [2,2 2)C. (1,3)D. [2,3)
8.函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a,b]⊆D(aA. 114,3B. 114,3C. 114,+∞D. 12,114
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数在区间−1,3上存在唯一零点的是( )
A. fx=x2−2x−8B. fx=x32−2
C. fx=2x−1−1D. fx=1−lnx+2
10.设正实数x，y满足x+y=2，则下列说法正确的是( )
A. 1x+1y的最小值为2B. xy的最小值为1
C. x+ y的最大值为4D. x2+y2的最小值为2
11.已知θ为锐角，角α的终边上有一点M−sinθ,csθ，x轴的正半轴和以坐标原点O为圆心的单位圆的交点为N，则( )
A. 若a∈0,2π，则α=π2+θ
B. 劣弧MN的长度为π2+θ
C. 劣弧MN所对的扇形OMN的面积为是α2
D. sinα+sinθ>1
12.设函数y=f(x)的定义域为R，对于任一给定的正数p，定义函数fp(x)=f(x),f(x)≤p,p,f(x)>p,则称fp(x)为f(x)的“p界函数”，若函数f(x)=x2−2x−1，则下列结论： ①f2(2)=2; ②f2(x)的值域为[−2,2]; ③f2(x)在[−1,1]上单调递减; ④函数y=f2(x+1)为偶函数.其中正确的结论有( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=tan(πx−π4)的定义域为 ．
14.已知幂函数f(x)=(m2+m−1)xm在(0,+∞)上为减函数，则f(−2)= ．
15.定义在R上的奇函数f(x)满足f(2)=3，且函数g(x)=f(x)−2x在[0,+∞)上单调递减，则不等式f(x−1)>2x−1的解集为 ．
16.已知函数f(x)=|ln(x−1)|,x>1x2+2x+1,x≤1，若关于x的方程f(x)=m(m≠1)有4个解，分别为x1，x2，x3，x4，其中x1四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知sinα+csα=m，
(1)若m= 2，求tanα的值；
(2)若tan2α+1tan2α=103，且α∈(0,π4)，求实数m的值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=3sin(ωx−π6)的最小正周期为π，其中ω>0．
(1)求ω的值；
(2)当x∈[−π4,π4]时，求函数f(x)的单调区间；
(3)求函数f(x)在区间[0,π2]上的值域．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga2+3x2−3x(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域，判断f(x)的奇偶性并给出证明；
(2)若f(2m−1)+f(3m−2)<0，求实数m的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π<φ<π)的部分图象如图所示，点A0,− 24为函数f(x)的图象与y轴的一个交点，点B为函数f(x)图象上的一个最高点，且点B的横坐标为π4，点C3π4,0为函数f(x)的图象与x轴的一个交点．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知函数g(x)=af(x)+afx−4π3+b的值域为[−4,6]，求a，b的值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=3x−(m−1)⋅3−x(m∈R)是定义域为R的奇函数．
(1)若集合A={x|f(x)≥0}，B={x|x−mx+m<0}，求A∩B;
(2)设g(x)=32x+3−2x−2af(x)，且g(x)在[1,+∞)上的最小值为−7，求实数a的值．
22.(本小题12分)
已知函数fx=alnx+bx(a,b≠0,a,b∈R)
(1)当b=1时，求函数fx的单调区间；
(2)当b=a2时，若存在x0∈0,e，使得fx0<0成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.A
5.B
6.A
7.D
8.B
9.BCD
10.AD
11.ABD
12.BCD
13.{x|x≠k+34,k∈Z}
14.14
15.(−∞,−1)
16.1
(−∞,−1)∪[53,+∞)

17.解：(1)sinα+csα= 2⇒(sinα+csα)2=2=2(sin2α+cs2α)，
∴(sinα−csα)2=0，
∴sinα=csα，即tanα=1．
(2)tan2α+1tan2α=103⇒tan4α−103tan2α+1=0⇒tan2α=3或13，
而α∈(0,π4)，tan2α=13⇒α=π6，
∴m=sinπ6+csπ6=1+ 32．
18.解：(1)由题意可得2πω=π，解得ω=2；
(2)由(1)知f(x)=3sin(2x−π6)，
由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2可得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z．
∴k=0时，单调增区间为：[−π6,π4]，单调减区间为：[−π4,−π6]，
(3)∵x∈[0,π2]，∴2x−π6∈[−π6,5π6]，
∴sin(2x−π6)∈[−12,1]，
∴3sin(2x−π6)∈[−32,3]，
∴函数f(x)在区间[0,π2]上的值域为[−32,3]．
19.解：(1)令2+3x2−3x>0，解得−23因为f(−x)=lga2+3(−x)2−3(−x)=lga2−3x2+3x=lga2+3x2−3x−1=−lga2+3x2−3x=−f(x)，
所以f(x)为奇函数；
(2)f(2m−1)+f(3m−2)<0，即f(2m−1)<−f(3m−2)=f(2−3m).
因为f(x)=lga2+3x2−3x=lga42−3x−1.
令u=42−3x−1，易得u=42−3x−1在−23,23上单调递增．
当0则−23<2−3m<2m−1<23，解得35当a>1时，f(x)在−23,23上单调递增，
则−23<2m−1<2−3m<23，解得49综上，当0当a>1时，实数m的取值范围是49,35．

20.解：(1)
由函数fx的部分图象可知，函数fx的周期T=43×34π−14π=23π，
可得ω=2π23π=3，
由五点画图法可知3×π4+φ=π2，可得φ=−π4，
有fx=Asin3x−π4，
又由f0=Asin−π4=− 22A=− 24，可得A=12，
故有函数fx的解析式为fx=12sin3x−π4；
(2)
由(1)知gx=2afx+b，
函数fx的值域为−12,12.
①当a>0时，a+b=6,−a+b=−4,解得a=5,b=1；
②当a<0时，a+b=−4,−a+b=6,解得a=−5,b=1．
由上知a=5,b=1或a=−5,b=1．

21.解：(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0，可得m=2，
当m=2时，f(x)=3x−3−x，所以f(−x)=3−x−3x，f(−x)=−f(x)，
所以f(x)=3x−3−x为奇函数，所以m=2;
由f(x)≥0，得3x−13x≥0，即32x−13x≥0，因为3x>0，所以32x−1≥0，
所以x≥0，即A={x|x≥0};
由x−mx+m<0，且m=2，得(x−2)(x+2)<0，即−2所以B={x|−2所以A∩B={x|0≤x<2};
(2 )因为g(x)=32x+3−2x−2a(3x−3−x)=(3x−3−x)2−2a(3x−3−x)+2，
令t=3x−3−x，因为x≥1，所以t≥83，
所以g(x)=φ(t)=t2−2at+2=(t−a)2+2−a2(t≥83)，
当a≥83时，φ(t)在[83,a]上为减函数，在[a,+∞)上为增函数，
所以φ(t)min=φ(a)=2−a2，即g(x)min=2−a2，所以2−a2=−7，
解得a=3，或a=−3(舍去);
当a<83时，φ(t)在[83,+∞)上为增函数，所以φ(t)min=φ(83)=829−16a3，
即g(x)min=829−16a3，所以829−16a3=−7，解得a=14548>83(舍去)，
所以a=3．
22.解：(1)
函数fx=alnx+bx的定义域为0,+∞，
当b=1时，fx=alnx+1x；
f′x=ax−1x2=ax−1x2；
故当a<0时，f′x<0在0,+∞上恒成立；
故函数fx=alnx+bx在0,+∞上是减函数，
当a>0，当0当x>1a时，f′x>0；
故fx在0,1a上是 减函数，在1a,+∞上是增函数；
综上，当a<0时，fx的单调递减区间为0,+∞，无递增区间；
当a>0时，fx的单调递减区间为0,1a，单调递增区间为1a,+∞．
(2)
当b=a2时，fx=alnx+a2x，
f′x=ax−a2x2=ax−ax2，
当a<0时，f′x<0，故fx在0,e上是减函数，
故存在x0∈0,e，使得fx0<0成立，
只需fe=a+a2e<0，解得−e当a>0，令f′x>0得x>a，令f′x<0得x故fx在0,a上是减函数，在a,+∞上是增函数，
若0故fx在x=a处取得极小值，也是最小值，fa=alna+a，
要想存在x0∈0,e，使得fx0<0成立，只需fa=alna+a<0，
解得0当a≥e时，则fx在0,e上单调递减，fx在x=e处取得最小值，
fe=a+a2e，令a+a2e<0，无解，
故实数a的取值范围为−e,0∪0,1e．