广东省湛江市第二十中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省湛江市第二十中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分为150分，考试时间为120分钟）
学校： . 考生姓名： . 得分： .
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合A=x5-2x<1，B=-1,0,1,2,3,4，则A∩B=（ ）
A．1,2,3,4 B．2,3,4 C．4 D．3,4
2．命题“∃x∈R，x2+2x+2<0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x2+2x+2≥0 B．∃x∈R，x2+2x+2>0
C．∀x∈R，x2+2x+2≥0 D．∀x∉R，x2+2x+2>0
3．已知函数fx=x2+1,x≤12x,x>1，则ff3=（ ）
A．53 B．3 C．23 D．139
4．“x≠3”是“x-3x-4≠0”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
5．不等式-2x2+x+3<0的解集是（ ）
A．xx<-1或x>32 B．x∣x>32
C．x∣-16．设fx=-x3+a-2x2+x是定义在[2b,b+3]上的奇函数，则fa+b＝（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．-2
7．函数y=2xx2+1的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知定义在0,+∞上的函数fx，对∀x，y>0满足fx+y=fx+fy-2，f3=0，且对∀x1,x2>0都有fx1-fx2x1-x2<0，则关于a的不等式fa2-2a-3≥43的解集为（ ）
A．-∞,1-5∪1+5,+∞ B．1-5,-1∪3,1+5
C．1-5,1+5 D．1-5,-1∪3,1+5
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．下列各组中M,P表示相同集合的是（ ）
A．M=3,-1,P=-1,3
B．M=x∣x=2n,n∈Z,P=x∣x=2n+1,n∈Z
C．M=y∣y=x2+1,x∈R,P=x∣x=t2+1,t∈R
D．M=y∣y=x2-1,x∈R,P=x,y∣y=x2-1,x∈R
10．在下列四组函数中，f(x)与g(x)不表示同一函数的是（ ）
A．f(x)=x-1，g(x)=x2-1x+1 B．f(x)=|x+1|，g(x)=x+1,x≥-1-x-1,x<-1
C．f(x)=1，g(x)=(x+1)0 D．f(x)=x3，g(x)=xx
11．若a,b,c∈R，则下列命题正确的是（ ）
A．若ac2a
C．若a>b>0且c>0，则b+ca+c>ba D．a2+b2≥2a-4b-5
12．已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为xx≤-3或x≥4，则下列说法正确的是（ ）
A．a>0
B．不等式bx+c>0的解集为xx<-4
C．不等式cx2-bx+a<0的解集为xx<-14或x>13
D．a+b+c>0
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知集合A=0,1,a2， B=0,1,2a+3，若A=B，则a等于 .
14．函数f(x)=2-x+lgx的定义域是 .
15．已知正实数x，y满足1x+1y=1，则x+4y最小值为 ．
16．关于x的不等式ax2+ax-2<0在R上恒成立,则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答要写必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题10分）
全集U=R，若集合A=x|3≤x<8，B=x|2(1)求A∩B；A∪B；
(2)若集合C=x|x>a，A∪C=C，求a的取值范围.
18．（本小题12分）
已知函数fx=x+3+1x+2，
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f-3，f23的值；
(3)当m>0时，求fm-1的值.
19．（本小题12分）
设函数f(x)=ax2-(1+a)x+1.
(1)若a=-2，解不等式fx>0；
(2)若a>0，解关于x的不等式fx<0.
20．（本小题12分）
已知二次函数fx=2x-x2.
（1）画出函数图象并写出顶点坐标和对称轴；
（2）判断奇偶性，并指出单调区间.
（3）求函数y=fx在x∈0,aa>0时的值域.
21．（本小题12分）
已知函数fx=ax+bx2+1是定义在-1,1上的奇函数，且f12=25．
(1)求函数fx的解析式；
(2)判断函数fx在-1,1上的单调性，并用定义证明．
22．（本小题12分）
已知函数f(x)的定义域是x∈R且x≠0，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(4)=1.
（1）求证：函数f(x)是偶函数；
（2）求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数；
（3）解不等式：f(3x+1)+f(2x-6)≤3.
湛江市第二十中学2022-2023学年度第一学期期中测试
高一数学试卷参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．D
【解析】先求得集合A=x|x>2，结合集合的交集的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合A=x5-2x<1=x|x>2
又由B=-1,0,1,2,3,4，所以A∩B=3,4.
故选：D.
2．C
【分析】直接利用特称命题的否定形式判定即可.
【详解】根据特称命题的否定形式可知命题“∃x∈R，x2+2x+2<0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+2≥0”.
故选：C
3．D
【分析】根据分段函数的解析式，令x=3代入先求出f3=23，进而可求出ff3的结果.
【详解】解：∵fx=x2+1,x≤12x,x>1，
则令x=3，得f3=23，
所以ff3=f23=232+1=49+1=139.
故选：D.
4．B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可
【详解】因为x-3x-4≠0⇔x≠3且x≠4，则必要性成立；
而当x≠3时，取x=4，此时x-3x-4=0，则充分性不成立；
所以“x≠3”是“x-3x-4≠0”的必要不充分条件．
故选：B.
5．A
【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】不等式-2x2+x+3<0可化为(x+1)(2x-3)>0，
所以x<-1或x>32，
即原不等式的解集为xx<-1或x>32.
故选：A
6．B
【分析】根据奇函数的定义可得a,b的值，从而确定函数解析式，即可求得fa+b的值.
【详解】因为fx=-x3+a-2x2+x是定义在[2b,b+3]上的奇函数，
所以2b+b+3=0，即b=-1，且f-x＝x3+a-2x2-x=-fx，故a-2=0，所以a=2，
所以fx=-x3+x，则fa+b=f1=-13+1=0.
故选：B.
7．A
【分析】根据函数的奇偶性和正负性进行判断即可.
【详解】设y=f(x)=2xx2+1，
易知定义域为R,关于原点对称，因为f(-x)=-2x(-x)2+1=-2xx2+1=-f(x)，
所以该函数是奇函数，其图象关于原点对称，因此排除选项B、C.
当x≥0时，f(x)=2xx2+1≥0，
当x<0时，f(x)=2xx2+1<0，因此排除选项D，
故选：A
8．D
【分析】确定函数单调递减，计算f1=43，题目变换为fa2-2a-3≥f1，即0【详解】取0fx2，
故fx在0,+∞上单调递减，
f3=f1+2=f1+f2-2=f1+f1+f1-2-2=3f1-4=0，
解得f1=43，
从而fa2-2a-3≥43，即fa2-2a-3≥f1，则0解得1-5,-1∪3,1+5
所以原不等式的解集是1-5,-1∪3,1+5．
故选：D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．ABC
【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，集合M，P含有的元素相同，只是顺序不同，由于集合的元素具有无序性，因此它们是相同集合，A是；
对于B，因为n∈Z，则n+1∈Z，因此集合M，P都表示所有偶数组成的集合，B是；
对于C，M=y∣y=x2+1,x∈R=1,+∞,P=x∣x=t2+1,t∈R=1,+∞，即M=P，C是；
对于D，因为集合M的元素是实数，集合P中元素是有序实数对，因此集合M，P是不同集合，D不是.
故选：ABC
10．AC
【分析】根据同一函数的定义域和对应法则相同，结合各项函数的解析式判断f(x)、g(x)的定义域和对应法则是否相同即可.
【详解】A、C：f(x)定义域为R，g(x)定义域为{x|x≠-1}，不是同一函数；
B：f(x)=-x-1,x<-1x+1,x≥-1，与g(x)的定义域和对应法则都相同，是同一函数；
D：f(x)=xx与g(x)定义域都为{x|x≥0}，且对应法则也相同，是同一函数；
故选：AC
11．ACD
【分析】利用不等式的性质及作差法即可求解.
【详解】对于A选项，若ac20，则a对于B选项，若0对于C选项，若a>b>0且c>0，则a-b>0，
则b+ca+c-ba=ab+c-ba+caa+c=ca-baa+c>0，故b+ca+c>ba，C正确；
对于D 选项，a2+b2-2a-4b-5=a2-2a+1+b2+4b+4=a-12+b+22≥0，
当且仅当a=1b=-2时，等号成立，故a2+b2≥2a-4b-5，D正确.
故选：ACD.
12．AC
【分析】由题意可得-3,4是方程ax2+bx+c=0的两个根，且a>0，然后利用根与系数的关系表示出b,c，再逐个分析判断即可.
【详解】关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为-∞,-3∪4,+∞，
所以二次函数y=ax2+bx+c的开口方向向上，即a>0，故A正确；
且方程ax2+bx+c=0的两根为－3、4，由韦达定理得-ba=-3+4ca=-3×4，解得b=-ac=-12a.
对于B，bx+c>0⇔-ax-12a>0，由于a>0，所以x<-12，
所以不等式bx+c>0的解集为xx<-12，故B不正确；
对于C，因为b=-ac=-12a，所以cx2-bx+a<0，即-12ax2+ax+a<0，
所以12x2-x-1>0，解得x<-14或x>13，
所以不等式cx2-bx+a<0的解集为xx<-14或x>13，故C正确；
对于D，a+b+c=a-a-12a=-12a<0，故D不正确.
故选：AC.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．3
【分析】根据集合相等即元素相同解出a，再根据集合元素互异性求出a值.
【详解】由A=B有a2=2a+3，解得a=-1，a=3.
当a=-1时，A=0,1,1与集合元素的互异性矛盾，舍去.
当a=3时，A=0,1,9，满足题意.
故答案为3
14．{x|0【详解】∵函数f(x)=2-x+lgx
∴要使函数有意义，则{2-x≥0x>0
∴0∴函数f(x)=2-x+lgx的定义域为{x|0故答案为{x|015．9
【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.
【详解】∵正数x，y满足：1x+1y=1，
∴ x+4y=x+4y⋅1x+1y=5+4yx+xy≥5+24yx⋅xy=9，
当且仅当4yx=xy，即x=2y，x=3，y=32时 “=”成立，
故答案为：9.
16．(-8,0]
【分析】分a=0和a≠0讨论，a≠0时根据二次函数开口向下，且与x轴无交点列出不等式即可
【详解】1°若a=0,得-2<0,符合题意
2°若a≠0,由题知a<0Δ=a2+8a<0,解得-8综上实数a的取值范围是(-8,0]
故答案为：(-8,0]
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答要写必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．(1)A∩B={x|3≤x≤6}，A∪B={x|2(2)a<3.
【分析】（1）根据交集与并集的概念进行计算可得结果；
（2）根据子集关系列式可得结果.
【详解】（1）∵集合A=x|3≤x<8，B=x|2∴A∩B={x|3≤x≤6}，A∪B={x|2（2）∵A∪C=C，
∴A⊆C，又C={x|x>a}，A=x|3≤x<8，
∴a<3.
18．(1)[-3,-2)∪(-2,+∞)；
(2)-1，333+38；
(3)m+2+1m+1.
【分析】（1）利用函数有意义列出不等式，并求解作答.
（2）（3）代入计算作答.
【详解】（1）函数fx=x+3+1x+2有意义，则x+3≥0x+2≠0，解得x≥-3，且x≠-2，
所以函数f(x)的定义域是[-3,-2)∪(-2,+∞).
（2）依题意，f-3=-3+3+1-3+2=-1，f(23)=23+3+123+2=333+38.
（3）当m>0时，m-1>-1，则fm-1=m-1+3+1m-1+2=m+2+1m+1.
19．(1)x-12(2)当01时，原不等式的解集为x1a【分析】（1）根据一元二次不等式的解法即可得解；
（2）将原不等式变形为ax-1x-1<0，对实数a的取值进行分类讨论，结合二次不等式的解法即可得解.
【详解】（1）解：当a=-2时，由fx=-2x2+x+1>0，解得-12故当a=-2时，不等式fx>0的解集为x-12（2）解：由fx<0可得ax-1x-1<0，且a>0
所以ax-1x-1=0的两根为x1=1,x2=1a
当01，解原不等式可得1当a=1时，原不等式即为x-12<0，该不等式的解集为∅；
当a>1时，1a<1，解原不等式可得1a综上所述，当0当a=1时，原不等式的解集为∅；
当a>1时，原不等式的解集为x1a20．（1）图像见解析, 顶点坐标1,1,对称轴x=1（2）fx是非奇非偶函数函数.fx在-∞,1上单调递增，在1,+∞上单调递减（3）见解析
【分析】（1）根据函数的解析式作出图象，根据图象直接写出顶点坐标及对称轴即可；（2）由函数图象可得函数的奇偶性以及单调区间；（3）分为0【详解】解：（1）fx=-x2+2x =-x-12+1，图象如图所示：

顶点坐标为1,1，对称轴为x=1.
（2）由图可知：fx是非奇非偶函数函数.
fx在-∞,1上单调递增，在1,+∞上单调递减.
（3）当0∴fx的值域为0,2a-a2；
当1≤a<2时，fx在0,1单调上递增，在1,a上单调递减，
而f0=0，最大值为f1=1，
∴fx的值域为0,1；
当a≥2时，fx在0,1单调上递增，在1,a上单调递减，
最小值为fa=2a-a2，最大值为f1=1，
∴fx的值域为2a-a2,1，
综上可得fx的值域为：当0【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，分类讨论思想的应用，解题的关键是正确的作出二次函数的图象，属于中档题．
21．(1)fx=xx2+1
(2)增函数，证明见解析
【分析】（1）根据奇函数f0=0求得b=0，因为f12=25，可求得a=1，即可得函数fx的解析式；
（2）根据函数的单调性的定义即可证明.
【详解】（1）解：因为函数fx=ax+bx2+1是定义在-1,1上的奇函数，则f0=0，
即0+b0+1=0，可得b=0，则fx=axx2+1，
所以，f12=12a122+1=25a=25，则a=1，
因此fx=xx2+1．
（2）解：函数fx在-1,1上是增函数．
证明如下：
任取x1,x2∈-1,1，且x1则fx1-fx2=x1x12+1-x2x22+1=x1x22+x1-x12x2-x2x12+1x22+1=x1x2x2-x1+x1-x2x12+1x22+1=x1-x21-x1x2x12+1x22+1，
因为-1则x1-x2<0，1-x1x2>0，
故fx1-fx2<0，
即fx1因此，函数fx在-1,1上是增函数．
22．（1）详见解析;（2）详见解析;（3）-73,-13∪-13,3∪(3,5].
【分析】（1）通过赋值法得到f(-1)=0，再通过定义法证明函数f(x)是偶函数；
（2）由f(x1x2)=f(x1)+f(x2)构造f(x1)-f(x2)=f(x1x2)，然后通过当x>1时，f(x)>0，定号，进而解决单调性问题；
（3）利用题设，赋值可得3=f(64)，再利用条件将原不等式化为f((3x+1)(2x-6))≤f(64)，结合f(x)在(0,+∞)上是增函数解出不等式.
【详解】（1）证明：由题可知，令x1=x2=1，则f(1)=f(1)+f(1)，
所以，f(1)=0，
令x1=x2=-1，则f(1)=f(-1)+f(-1)，
所以，f(-1)=0，
对任意的x∈-∞,0∪0,+∞都有，f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)成立，
所以，函数f(x)是偶函数；
（2）证明：设x1,x2为(0,+∞)上任意两数，且x1>x2，则
f(x1)-f(x2)=f(x1x2)
因为x1>x2>0，则x1x2>1，
所以，fx1x2>0，
所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)
所以，f(x)在(0,+∞)上是增函数；
（3）3=3f(4)=f(4)+f(4)+f(4)=f(16)+f(4)=f(64)
f(3x+1)+f(2x-6)=f((3x+1)(2x-6))=f((3x+1)(2x-6))
所以不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3可化为
f((3x+1)(2x-6))≤f(64)
由（2）可知，f(x)在(0,+∞)上是增函数
所以，0<(3x+1)(2x-6))≤64
所以，x≠3，且 x≠-13，且-64≤(3x+1)(2x-6)≤64
所以，x∈-73,-13∪-13,3∪(3,5]，
故原不等式的解集为-73,-13∪-13,3∪(3,5].