2023-2024学年江苏省泰州市姜堰区八年级（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省泰州市姜堰区八年级（下）期中数学试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列代数式中，其中是分式的是( )
A. π2B. x−12C. 1x−1D. 23
3.下列调查中，适合采用普查的是( )
A. 调查某品牌打印机的使用寿命B. 调查某书稿中的科学性错误
C. 调查中国公民垃圾分类的意识D. 调查夏季冷饮市场上冰淇淋的质量
4.下列关于矩形的说法中正确的是( )
A. 矩形的对角线相等B. 矩形的对角线平分一组对角
C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直的四边形是矩形
5.若关于x的分式方程3x−2x+1=mx+1+1的解为负数，则m的值可能是( )
A. −2B. −3C. −4D. −5
6.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8.将△ABC沿EF折叠，使点A落在BC边的中点D处，点G、H、I分别为BE、EF、CF的中点，连接GH、HI、ID、DG，GH与DE相交于点M，HI与DF相交于点N，则四边形DMHN的面积为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.今天的日期是：20240425，在这串数字中，0出现的频率是______．
8.代数式1x−1有意义，x应满足的条件为______．
9.为了解某市八年级学生的身高情况，从该市5200名八年级学生中随机抽取1500名学生进行身高情况调查，则本次抽样调查的样本容量是______．
10.如图，A、B两处被池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB，分别取CA、CB的中点D、E.测得DE=36m，则A、B两地的距离为______m.
11.已知1x+2y=1，且x+y≠0，则xy−xx+y的值为______．
12.如果一个四边形的两条对角线长均为18cm，那么依次连接它的各边中点得到的图形的周长为______cm．
13.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程 ．
14.如图，将▱AOBC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，边AO与x轴重合，边BC与y轴正半轴相交于点D.若OA=6，OB=5，且OD：BD=3：4，则点C的坐标为______．
15.将含盐率为10%的盐水m克调配成含盐率为20%的盐水，需加盐______克(用含m的代数式表示)．
16.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别为AD、AB上的两个动点，连接EF，以EF为边作▱EFGH，对角线EG、HF相交于点O，连接AO.若AO=5，则▱EFGH周长的最小值是______．
三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
(1)计算：x−2x2÷(1−2x)；
(2)解方程：x2x−1=1−21−2x．
18.(本小题8分)
化简：(xx+1+xx−1)⋅x2−1x，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
(1)甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；(填序号)
①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
19.(本小题8分)
已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−2,4)、B(−4,1)、C(−1,0)，将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，得到△DEF．
(1)画出对应的△DEF图形，并直接写出点A的对应点D的坐标；
(2)若以D、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出第一象限内点G的坐标．
20.(本小题8分)
在第29个“爱眼日”来临之际，某校数学兴趣小组通过调查统计，形成了如下报告(不完整)．
结合调查报告，回答下列问题：
(1)a= ______，b= ______；
(2)已知该校八年级有800名学生，估计该校八年级视力正常(4.7及以上为正常视力)的人数有多少？
(3)该统计结果引起了同学们的重视，学校提出了“爱护眼睛，守护光明”的倡议，请你结合自身提出两条爱眼护眼的合理化建议．
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
(1)求证：四边形AEDF是矩形；
(2)连接EF，若AB=3，AC=4，求EF的最小值．
22.(本小题10分)
为改善生态环境，防止水土流失.某村计划在荒坡上种树480棵，由于志愿者支援，实际每小时种树的棵数是原计划的43倍，结果提前2小时完成任务，原计划每小时种树多少棵？
23.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BAC=90°，E为BC的中点．
(1)用圆规和无刻度的直尺在AD上求作一点F，使四边形AECF为菱形(两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹)；
(2)若AB=6，AC=8，求菱形AECF的面积．
24.(本小题10分)
阅读与思考：下面是小姜同学写的一篇数学学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务：
任务：
(1)完成笔记中的“我是这样思考的”；
(2)回答笔记中反思1的问题，并证明；
(3)回答笔记中反思2的问题，在图3中画图并简要说明．
25.(本小题12分)
定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”.如分式A=2xx−1，B=2x−1，A−B=2xx−1−2x−1=2，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2．
(1)已知分式C=−3xx+1，D=3x+1，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”．
(2)已知分式E=(x+1)(x−a)x+2，F=x(x−b)x+2，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求a+b的值；
(3)已知分式M=Px2−9，N=xx−3，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1.若x为整数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值．
26.(本小题14分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,3)，点C的坐标为(m,3)，连接AC，以AC为边作正方形ACDE(A,C,D,E顺时针排列)，探究以下问题：
(1)①当m=0时，点D的坐标为______；
②用含m的代数式表示点D的坐标为______；
(2)连接BE、OE，△OBE的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由；
(3)平面内是否存在点F，使得以B、D、E、F为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.A
5.C
6.B

8.x≠1
9.1500
10.72
11.1
12.36
13.10x=40x+6
14.(−2,3)
15.(18m)
16.20．
17.解：(1)x−2x2÷(1−2x)
=x−2x2÷x−2x
=x−2x2×xx−2
=1x；
(2)x2x−1=1−21−2x，
去分母，得x=2x−1+2，
解得，x=−1．
经检验，x=−1是原分式方程的解．
所以，原分式方程的解为x=−1．
18.(1) ②；③；
(2)若选择甲同学的解法：
(xx+1+xx−1)⋅x2−1x
=[x(x−1)(x+1)(x−1)+x(x+1)(x+1)(x−1)]⋅x2−1x
=x2−x+x2+x(x+1)(x−1)⋅(x+1)(x−1)x
=2x2(x+1)(x−1)⋅(x+1)(x−1)x
=2x；
若选择乙同学的解法：
(xx+1+xx−1)⋅x2−1x
=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x
=xx+1⋅(x+1)(x−1)x+xx−1⋅(x+1)(x−1)x
=x−1+x+1
=2x．
19.解：(1)如图，△DEF即为所求，D(4,2)；

(2)四边形EFDG即为所求，G(5,5)．
20.(1)8；0.1；
(2)800×(0.55+0.1)=520(名)，
答：估计该校八年级视力正常(4.7及以上为正常视力)的人数有520名；
(3)①读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；
②保证充足的睡眠，饮食均衡．(答案不唯一，合理即可)．
21.(1)证明：∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠AED=∠AFD=90°，
∴四边形AEDF是矩形；
(2)解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC= AB2+AC2=5，
连接AD，
∵四边形AEDF是矩形，
∴AD=EF，
当AD⊥BC时，AD最小，即EF最小，
∵S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AD，
∴AD=AC⋅ABBC=4×35=125，
∴EF的最小值为125．
22.解：设原计划每小时种树x棵，
根据题意得：480x=48043x+2，
解得x=60，
经检验，x=60是原方程的解，也符合题意，
∴x=60，
答：原计划每小时种树60棵．
23.解：(1)如图，四边形AECF即为所求．

(2)连接EF交AC于点O．
∵四边形AECF是菱形，
∴EF⊥AC，OA=OC，OE=OF，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∴OE=12AB=3，
∴EF=2OE=6，
∴菱形AECF的面积=12AC⋅EF=12×8×6=24．
24.解：(1)AE=BF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
∠ABC=∠C=90°∠BAE=∠CBFAB=BC，
∴△ABE≌△BCF(AAS)，
∴AE=BF；
(2)如图1，作BP//GH交CD于P，作AN//EF交CB于N，
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ANEF四边形BPHG都是平行四边形，
∴AN=EF，BP=GH，
由(1)知，AN=BP，
∴EF=GH；
(3)EF与GH不一定垂直，如图，EF=FN，
理由：∵EF=FN，EF=GH，
∴GH=FN，
由(2)知FN⊥GH，
∴∠GMF=90°，
∴∠FOM≠90°，
∴FE与GH不一定垂直．
25.解：(1)由题意，∵C−D=−3xx+1−3x+1=−3(x+1)x+1=−3<0，
∴C不是D的“差常分式”．
(2)由题意，∵E−F=(x+1)(x−a)−x(x−b)x+2=(−a+1+b)x−ax+2=2．
∴−a+1+b=2，且−a=4．
∴b=−3，a=−4．
∴a+b=−4−3=−7．
(3)由题意，∵M−N=Px2−9−xx−3=P−x(x+3)x2−9=1，
∴P=x2+3x+x2−9=2x2+3x−9．
∴M=2x2+3x−9x2−9=2(x2−9)+3(x+3)x2−9=2+3x−3．
若x为整数，且M的值也为整数，
∴x−3=±1或±3．
∴x=2或4或0或6．
26.①如图1，
作DG⊥y轴，
∵四边形ACDE是正方形，
∴∠ACD=90°，AC=CD，
∴∠ACO+∠DCG=90°，
∵∠AOC=∠CGD=90°，
∴∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠OAC=∠DCG，
∴△AOC≌△CGD(AAS)，
∴DG=OC=3，CG=OA=4，
∴OG=OC+CG=7，
∴D(3,7)，
②如图2，
作CF⊥x轴于F，作DG⊥CF于G，交y轴于H，
由①知：△ACF≌△CDG，
∴DG=CF=3，CG=AF=4−m，
∴FG=CF+CG=7−m，DH=DG−GH=3+m，
∴D(3+m,7−m)，
(2)如图3，
△OBE的面积不变，理由如下：
作CF⊥x轴于F，作EM⊥x轴于M，
同理①可知：△ACF≌△EAM，
∴AM=CF=3，EM=AF=4−m，
∴OM=OA+AM=7，
∴S△OBE=12OB⋅OM=12×3×7=212；
(3)存在m的值，使B、D、E、F是菱形，
由(1)(2)可知，
D(3+m,7−m)，E(7,4−m)，B(0,3)，
∴DE2=(m−4)2+32，
BD2=(m+3)2+(m−4)2，
BE2=(m−1)2+72，
当DE=BD时，
∴(m−4)2+32=(m+3)2+(m−4)2，
∴m=0或m=−6，
当DE=BE时，
(m−4)2+32=(m−1)2+72，
∴m=−256，
当BD=BE时，
∴(m+3)2+(m−4)2=(m−1)2+72，
∴m=±5，
∴m=0或−6或−256或±5．
解：原式=[x(x−1)(x+1)(x−1)+x(x+1)(x+1)(x−1)]⋅x2−1x…
解：原式=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x…
调查目的
1.了解本校八年级学生的视力健康水平
2.给同学提出更合理地使用眼睛保护视力的建议
调查方式
随机抽样调查
调查对象
部分八年级学生
调查内容
部分八年级学生的视力
调查结果
部分学生视力情况频数分布表
视力
频数
频率
4.1≤x<4.4
6
0.15
4.4≤x<4.7
a
0.2
4.7≤x<5.0
22
0.55
5.0≤x<5.3
4
b
合计
…
…
建议
…
正方形中相等的线段
如图1，在正方形ABCD中，如果点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M，那么AE与BF相等吗？证明你的结论．
对于上面的问题，我是这样思考的：
(1) ______．
反思1：对于两个端点分别在正方形ABCD一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，那么这两条线段是否仍然相等呢？
对此可以做进一步探究：
如图2，在正方形ABCD中，如果点E、F、G、H分别在BC、AD、AB、CD上，且EF⊥GH，垂足为M，那么EF与GH相等吗？证明你的结论．
(2) ______．
反思2：对于两个端点分别在正方形ABCD一组对边上的线段，若这样的两条线段相等，那么这两条线段是否一定垂直呢？
对此可以画图说明：
如图3，在正方形ABCD中，如果点E、F、G、H分别在BC、AD、AB、CD上，且EF=GH，那么EF与GH垂直吗？证明你的结论．
(3) ______．