2023-2024学年山东省聊城市莘县七年级（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年山东省聊城市莘县七年级（下）期末数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为355113，它与π的误差小于0.0000003.将0.0000003用科学记数法可以表示为( )
A. 0.3×10−6B. 3×10−6C. 3×10−7D. 3×107
2.下列运算正确的是( )
A. x2⋅x4=x8B. 2x(x2−1)=2x3−2x
C. x6÷x2=x3D. (xy2)3=xy6
3.如图，直线a//b，若∠1=140°，则∠2=( )
A. 140°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
4.若∠1=25°12′，∠2=25.12°，∠3=25.2°，则下面说法正确的是( )
A. ∠1=∠2B. ∠2=∠3
C. ∠1=∠3D. ∠1，∠2，∠3互不相等
5.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE//BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；
②DE=BD+CE；
③△ADE的周长等于AB与AC的和；
④BF=CF；
其中正确的有( )个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.已知∠A与∠B互为余角，∠C与∠B互为补角，则∠C比∠A大( )
A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°
7.把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是( )
A. 45°B. 60°C. 75°D. 82.5°
8.已知方程组ax+by=0x+2by=−3c的解是x=3y=−1，则a−b+c的值为( )
A. 1B. 0C. −2D. −1
9.若a>0且ax=2，ay=3，则a3x−2y的值为( )
A. 1B. 43C. 89D. 34
10.我国北宋数学家贾宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，不仅如此，这个“三角形”第n+1行中的数竟与(a+b)(n是正整数)展开式各项的系数完全吻合，如图所示：
根据“贾宪三角形”请计算(a+b)8的展开式中从左起第五项的系数为( )
A. 84B. 56C. 28D. 70
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.为弘扬中华传统文化，“诵读经典，传承文明”，某中学在每周三上午8：30开展“国学经典诵读”系列活动，则该时刻钟表上时针与分针所夹的角为______度.
12.如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是______．
13.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______．
14.北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗.爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为(−4,2)，表示“开阳”的点的坐标为(0,3)，则表示“天权”的点(正好在网格点上)的坐标为______．
15.如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”.例如：8=32−12，16=52−32，24=72−52，因此8，16，24都是“正巧数”.m、n为正整数，且m>n，若(m−7)(m+7)+n2−2mn是“正巧数”，则m−n的值为______．
16.如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(1,1)，B(−1,1)，C(−1,−2)，D(1,−2)，把一根长为2024个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A⋅⋅⋅的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
先化简，再求值：(2x+y)2−(2x+y)(2x−y)−2y(x+y)，其中x=(12)2024，y=22023．
18.(本小题8分)
把下列各式进行因式分解：
(1)−2x2+4x−8
(2)2a(a−b)+8a3(b−a)
19.(本小题4分)
解方程组：4x+y=5x−12+y3=2．
20.(本小题7分)
如图，直线AB，CD相交于点O，且EO⊥CD．
(1)若∠BOE=52°，求∠AOC的度数．
(2)若∠AOC：∠BOC=1：4，求∠AOE的度数．
21.(本小题7分)
如图，已知A(−2,3)、B(4,3)、C(−1,−3)
(1)求△ABC的面积；
(2)点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标．
22.(本小题8分)
如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3=180°．
(1)请你判断CF与BD的位置关系，并证明你的结论；
(2)若∠1=70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．
23.(本小题8分)
某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子.已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
(1)学校购进红、蓝文化衫各几件？
(2)通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．
24.(本小题10分)
【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(如图1).利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图2可得等式：______；由图3可得等式：______；
(2)利用图3得到的结论，解决问题：若a+b+c=15，ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2= ______；
(3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形(无空隙、无重叠地拼接)，则x+y+z= ______；
(4)如图4，若有4张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为ab的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片.从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张.把取出的这些纸片拼成一个正方形(无空隙、无重叠地拼接)，则拼成的正方形的边长最长可以为______．
25.(本小题12分)
【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．

(1)①如图1，△ABC中，∠A=90°，则△ABC的三条高所在的直线交于点______；
②如图2，△ABC中，∠BAC>90°，已知两条高BE，AD，请你仅用一把无刻度的直尺(仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段)画出△ABC的第三条高.(不写画法，保留作图痕迹)．
【综合应用】
(2)如图3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，过点B作AD边上的高线BE交AD于点E．
①若∠ABC=86°，∠C=36°，则∠EBD= ______；
②请写出∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图4，点M是BC上一点，则有S△ABMS△ACM=BMCM.如图5，△ABC中，点M是BC上一点且BM=14BC，点N是AC的中点，若△ABC的面积是m，请直接写出四边形CMDN的面积______.(用含m的代数式表示)
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.C
5.C
6.B
7.C
8.D
9.C
10.D
11.75
12.同位角相等，两直线平行
13.6
14.(5,−1)
15.9
16.(−1,−1)
17.解：(2x+y)2−(2x+y)(2x−y)−2y(x+y)
=4x2+4xy+y2−4x2+y2−2xy−2y2
=2xy，
当x=(12)2024,y=22023时，
原式=2×(12)2024×22023
=2×12×(12)2023×22023
=2×12×(12×2)2023
=2×12×12023
=2×12×1
=1．
18.解：(1)原式=−2(x2−2x+4)；
(2)原式=2a(a−b)−8a3(a−b)
=2a(a−b)(1−4a2)
=2a(a−b)(1−2a)(1+2a)．
19.解：去分母，整理得：
4x+y=5①3x+2y=15②，
由①得：y=5−4x③，
把③代入②，得：
3x+2(5−4x)=15
解得：x=−1，
把x=−1代入③，得：
y=9，
所以这个方程组的解为x=−1y=9．
20.解：(1)∵EO⊥CD，∠BOE=52°，
∴∠EOD=90°，
∴∠BOD=90°−52°=38°，
∴∠AOC=∠BOD=38°；
(2)∵EO⊥CD，
∴∠EOC=90°，
∵∠AOC：∠BOC=1：4，∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=15×180°=36°，
∴∠AOE=∠AOC+90°=36°+90°=126°．
21.解：
(1)∵A(−2,3)、B(4,3)、C(−1,−3)，
∴AB//x轴，AB=4−(−2)=6，C到AB的距离是3−(−3)=6，
∴△ABC的面积为：12×6×6=18；
(2)设P点到直线AB的距离为ℎ，
∵△ABP的面积为6，AB=6，
∴12×6×ℎ=6，
解得：ℎ=2，
∵3+2=5，3−2=1，点P在y轴上，
∴P点的坐标为(0,5)或(0,1)．
22.解：(1)CF//DB，理由：
∵BC⊥AE，DE⊥AE，
∴BC//DE，
∴∠3+∠CBD=180°，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=∠CBD，
∴CF//DB．
(2)∵∠1=70°，CF//DB，
∴∠ABD=70°，
又∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=12∠ABD=35°，
∴∠2=∠DBC=35°，
又∵BC⊥AG，
∴∠ACF=90°−∠2=90°−35°=55°．
23.解：(1)设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，
依题意，得：x+y=22025x+20y=4800，
解得：x=80y=140．
答：学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件．
(2)(45−25)×80+(35−20)×140=3700(元)．
答：该校这次义卖活动共获得3700元利润．
24.(1)(a+b)(2a+b)=2a2+b2+3ab；a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2；
(2)155；
(3)9；
(4)(a+2b)．
25.(1)①A；
②25°；
②∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系为：2∠EBD=∠ABC−∠ACB，理由如下：
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−∠BAD，
∴∠EBD=∠ABC−∠ABE=∠ABC+∠BAD−90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，
∵∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB，
∴∠BAD=90°−12∠ABC−12∠ACB，
∴∠EBD=∠ABC+∠BAD−90°=∠ABC+90°−12∠ABC−12∠ACB−90°=12∠ABC−12∠ACB，
∴2∠EBD=∠ABC−∠ACB，
即2∠EBD=∠ABC−∠C；
(3)连接CD，如图5所示：
∵N是AC的中点，
∴S△ADNS△CDN=ANCN=1，
∴S△CDN=S△ADN，
同理：S△CBN=S△ABN，
设S△ADN=S△CDN=a，
∵△ABC的面积是m，
∴S△ABN=S△CBN=12m，
∴S△BCD=S△ABD=12m−a，
∵BM=14BC，
∴BMCM=13，
∴S△BDMS△CDM=BMCM=13，S△ABMS△ACM=BMCM=13，
∴S△ACM=3S△ABM，S△CDM=3S△BDM，
∴S△CDM=34S△BCD=34×(12m−a)=38m−34a，S△ACM=34S△ABC=34m，
∵S△ACM=S四边形CMDN+S△ADN=S△CDM+S△CDN+S△ADN，
即：34m=38m−34a+a+a，
∴a=310m，
∴S四边形CMDN=S△CDM+S△CDN=38m−34×310m+310m=920m．
批发价(元)
零售价(元)
红色文化衫
25
45
蓝色文化衫
20
35