2023-2024学年福建省泉州市科技中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市科技中学高二（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|x>0}，则下列结论不正确的是( )
A. 1∈A∩BB. ⌀⊆A∩B
C. {2}⊆A∩BD. {x|x>0}=A∪B
2.已知a，b∈{−2,−1,1,2}，若向量m=(a,b)，n=(1,1)，则向量m与n所成的角为锐角的概率是( )
A. 14B. 38C. 316D. 716
3.若非零向量a，b满足|a|=|b|=|a+b|，则a+2b在b方向上的投影向量为( )
A. 2bB. 32bC. bD. 12b
4.若lnx−lny>y2−x2，则( )
A. ex−y>1B. ex−y<1C. ln|x−y|>0D. ln|x−y|<0
5.已知函数为f(x)=−x2−2ax−a,x<0,ex+ln(x+1),x≥0在R上单调递增，则a取值的范围是( )
A. (−∞,0]B. [−1,0]C. [−1,1]D. [0,+∞)
6.若正数x，y满足4x+y=4，则1x+1y的最小值为( )
A. 2B. 94C. 3D. 83
7.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的各个顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC= 3，球O的体积为323π，则该三棱柱的体积为( )
A. 32B. 1C. 12D. 3
8.在△ABC中，已知A=60°，BC=2，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知z是复数，z−是其共轭复数，则下列命题中正确的是( )
A. z2=|z|2
B. 若z=(1−2i)2，则复平面内z−对应的点位于第二象限
C. 若|z|=1，则|z−1−i|的最大值为 2+1
D. 若1−3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则q=10
10.某学校为了解同学们某天上学的交通方式，在高一年级开展了随机调查，将学生某天上学的交通方式归为四类：A一家人接送，B一乘坐地铁，C一乘坐公交，D一其他方式，学校把收集到的数据整理绘制成条形图和扇形图，如图只给出了其中部分信息，根据图中信息，下列说法正确的是( )
A. 若该校高一年级有学生1300人，则高一年级约有780人乘坐公共交通工具上学
B. 估计该校高一年级有13的学生某天家人接送上学
C. 扇形图中B的占比为40%
D. 估计该校学生上学交通方式为乘坐地铁或者其他方式的人数占全校学生的一半
11.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点(包括边界)，且B1F//平面A1BE，则下列说法正确的有( )
A. 记C1D1的中点为N，CC1上存在一点P，使得面NPB1//面BEA1
B. 动点F轨迹的长度为 3
C. 三棱锥B1−D1EF体积的最小值为13
D. 当三棱锥B1−D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为252π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在△ABC中，已知AB= 2,AC=4，∠BAC=45°，D为线段AC上一动点，则CD⋅BD的最小值为______．
13.已知α，β∈(0,π2)，sin(2α+β)=2sinβ，tanα=23，则tan(α+β)= ______．
14.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)+f(1−x)=1，f(x)=2f(x7)，且对于0≤x1≤x2≤1，恒有f(x1)≤f(x2)，则f(12024)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b−ac=sinC−sinAsinB+sinA．
(1)求角B；
(2)若△ABC为锐角三角形，AC=2，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围．
16.(本小题15分)
对于函数f(x)=lg2(2x+a)．
(1)若a=2，求f(x)在[13,1]上的值域；
(2)若f(x)与g(x)=lg2[(a−6)x+2a−8]图象恰有一个交点，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，制成如图所示的频率直方图．
(1)求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩；
(2)若成绩在[90,100]的为A等级，[70,90)的为B等级，其他为C等级，
①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数．
②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率.(注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取)
18.(本小题17分)
如图1，已知矩形ABCD中，AB=3，BC= 2，E为CD上一点且CE=2DE.现将△ADE沿着AE折起，使点D到达点P的位置，且PE⊥BE，得到的图形如图2．
(1)证明△BPA为直角三角形；
(2)设动点M在线段AP上，判断直线EM与平面PCB的位置关系，并说明理由；
(3)若Q为PB中点，求三棱锥Q−ABE的体积．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,2]．
(1)若f(x)为单调函数，求a的取值范围；
(2)设函数g(x)=|f(x)|，记g(x)的最大值为M(a,b)．
(i)当a=0时，求M(b)的最小值；
(ii)证明：对∀a，b∈R，M(a,b)≥12．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.A
5.B
6.B
7.A
8.C
9.BCD
10.AD
11.ACD
12.−94
13.2
14.116
15.解：(1)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b−ac=sinC−sinAsinB+sinA．
由正弦定理得b−ac=c−ab+a，
所以a2+c2−b2=ac，
由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，
又B∈(0,π)，所以B=π3；
(2)△ABC为锐角三角形，AC=2，D是线段AC的中点，
因为a2+c2−b2=ac，所以a2+c2=ac+4．
又BD=12(BA+BC)，
所以BD2=[12(BA+BC)]2=14(a2+c2+ac)=1+12ac，
由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2sinπ3=4 33，所以a=4 33sinA，c=4 33sinC，
所以ac=4 33sinA⋅4 33sinC=163sinAsin(A+π3)=83sin(2A−π6)+43，
又△ABC为锐角三角形，所以0所以ac∈(83,4]，所以BD2∈(73,3],
所以BD∈( 213, 3]，即BD的长的取值范围是( 213, 3]．
16.解：(1)当a=2时，f(x)=lg2(2+2x)，
因为y=2+2x在[13,1]上单调递减，
所以当x∈[13,1]时，4≤2+2x≤8，
则f(x)=lg2(2+2x)∈[2,3]，
故当a=2时，函数f(x)在[13,1]上的值域为[2,3]；
(2)方程lg2(2x+a)=lg2[(a−6)x+2a−8]，
所以2x+a=(a−6)x+2a−8①2x+a>0②，
由①可得，(a−6)x2+(a−8)x−2=0，即[(a−6)x−2](x+1)=0，
当a=6时，方程有唯一解x=−1，满足②2x+a=−2+6>0，所以a=6符合条件；
当a=4时，方程有两相等解x=2a−6=−1，满足②2x+a=−2+4>0，所以a=4符合条件；
当a≠4且a≠6时，方程有两不等解x1=2a−6，x2=−1，
若x1=2a−6满足②2x1+a=2a−6>0，则a>3，
若x2=−1满足②2x2+a=a−2>0，则a>2，
所以当a∈(2,3]时方程恰有一个实根；
综上，实数a的取值范围为{a|217.解：(1)由频率直方图知(0.004+0.022+0.030+0.028+m+0.004)×10=1，
∴m=0.012，
∴100名同学的平均成绩估计值为：
0.04×45+0.22×55+0.30×65+0.28×75+0.12×85+0.04×95=68.4(分)；
(2)①由(1)知A等级的频率为0.04，A等级的人数为100×0.04=4人，
B等级的频率为(0.28+0.12)=0.4，B等级的人数为100×0.4=40人，
C等级的频率为(0.04+0.22+0.30)=0.56，C等级的人数为100×0.56=56人，
∴抽取25人中B等级中的人数为25×404+40+56=10人；
②用频率代替概率，所以抽取一次，B等级被抽中的概率为0.4，
抽取三次都没有抽中B等级的概率为(1−0.4)3=0.216，
所以随机抽取3人至少有一人为B等级的概率为1−0.216=0.784．
18.(1)证明：在折叠前的图中，连接BE，如图：

由题意可得：ED=1，CE=2，则BE= 6，AE= 3，
折叠后PE⊥BE，所以PB= 7，
又AP= 2，所以PB2+PA2=AB2，即PB⊥PA，
所以△BPA为直角三角形．
(2)解：当动点M在线段AP上，设PMPA=λ，同样在线段PB上取N，使得PNPB=λ，则MN//AB，
当λ=23时，则MN=23AB=2，
又CE/​/AB且CE=2，所以MN//CE，且MN=CE，
则四边形CEMN为平行四边形，所以ME/​/CN，EM⊄平面PBC，CN⊂平面PBC，
所以ME/​/平面PBC；
当λ≠23时，此时MN//CE，但MN≠CE，所以四边形CEMN为梯形，
所以ME与CN必然相交，则ME与平面PBC必然相交．
综上所述：当动点M满足PMPA=23时，ME/​/平面PBC；
当动点M满足PMPA≠23时，ME与平面PBC相交．
(3)解：若Q为PB中点，
由(1)可得BE⊥AE，PE⊥BE，AE∩PE=E，AE，PE⊂平面PAE，
∴BE⊥平面PAE，则三棱锥B−PAE的高为BE= 6，
∴三棱锥B−PAE的体积VB−PAE=13×S△PEA×BE=13×12×1× 2× 6= 33，
∴三棱锥Q−ABE的体积VQ−ABE=12VP−ABE=12VB−PAE= 36．

19.解：(1)函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,2]，
开口向上，对称轴方程为x=−a2，
要使函数单调，则−a2≤0或−a2≥2，
解得a≥0或a≤−4，
所以a的范围为{a|a≥0或a≤−4}；
(2)(i)当a=0时，g(x)=|x2+b|，
所以M(b)=max{g(0),g(2)}=max{|b|,|4+b|}，
当b≤−2时，|b|≥|4+b|，M(b)=|b|=−b≥2，
当且仅当b=−2时，等号成立；
当b>−2时，|b|<|4+b|，M(b)=|4+b|=4+b>2；
所以M(b)的最小值为2；
(ii)下面根据对称轴对a进行讨论：
当−a2≤0时，a≥0，M(a,b)=max{g(0)，g(2)}=max{|b|，|4+2a+b|}，
①若|b|≥12，显然M(a,b)≥12，
②若|b|<12，则M(a,b)=|4+2a+b|=4+2a+b>4+0−12>12，
当−a2≥2时，a≤−4，则M(a,b)=max{g(0)，g(2)}=max{|b，|4+2a+b|}，
①若|b|≥12，显然M(a,b)≥12，
②若|b|<12，则M(a,b)=|4+2a+b|=−4−2a−b>−4+8−12>12，
当0<−a2<2时，−4则M(a,b)=max{g(0),g(−a2),g(2)}=max{|b|,|−a24+b|,|4+2a+b|}，
①若|b|≥12，显然M(a,b)≥12，
②若|b|<12，记N=max{|−a24+b|,|4+2a+b|}，则M(a,b)≥N，
当−412，所以M(a,b)≥N>12；
当−32≤a<0时，4+2a≥1，则|4+2a+b|>12，所以M(a,b)≥N>12；
当 −2下面再讨论b与a28−a−2的大小关系：
当b≤a28−a−2时，|−a24+b|≥|4+2a+b|，
N=|−a24+b|≥|−a28−a−2|=a28+a+2=18(a+4)2>12；
当b>a28−a−2时，|−a24+b|<|4+2a+b|，
N=|4+2a+b|>|a28+a+2|=a28+a+2=18(a+4)2>12，
综上所述M(a,b)≥12．