2023-2024学年福建省泉州市晋江市磁灶中学等校联考高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市晋江市磁灶中学等校联考高二（下）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|−x2+x+6≤0}，则M∩N=( )
A. {−2}B. {2}C. {−2,−1,0,1}D. {0,1,2}
2.若i(1−z)=1，则z+z−=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
3.已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的( )
A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分必要条件 D. 必要不充分条件
4.已知α为锐角，csα=1+ 54，则sinα2=( )
A. 3− 58B. −1+ 58C. 3− 54D. −1+ 54
5.已知a>1，b>1，a=b3，则lga+3lgb10的最小值为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
6.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
7.已知向量a=(2,1)，a+b=(1,4)，则向量a在b方向上的投影向量为( )
A. 1 10bB. −1 10bC. −110bD. 110b
8.已知a，b，c∈(0,1)，且a−5=lna−ln5，b−4=lnb−ln4，c−3=lnc−ln3，则a，b，c的大小关系是( )
A. b二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态，根据给图作出以下判断，正确的是( )
A. 图(1)的平均数=中位数=众数B. 图(2)的平均数<众数<中位数
C. 图(2)的众数<中位数<平均数D. 图(3)的平均数<中位数<众数
10.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的部分图象如图所示，设函数g(x)=f(x)ex，则g(x)( )
A. 在区间(a,b)上是减函数
B. 在区间(a,b)上是增函数
C. 在x=a时取极小值
D. 在x=b时取极小值
11.甲、乙、丙、丁四名教师分配到A，B，C三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人.设事件M：“甲分配到A学校”；事件N：“乙分配到B学校”，则( )
A. 事件M与N互斥B. P(M)=13
C. 事件M与N相互独立D. P(M|N)=512
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=f′(0)e2x−e−x，则f(0)= ．
13.(1−yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为______(用数字作答)．
14.已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(x−32)=−f(x)，且f(x+34)为奇函数，f(−1)=−1，f(0)=2，则i=12023f(i)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=ax−bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为：7x−4y−12=0．
(1)求f(x)的解析式;
(2)曲线f(x)上任一点的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积的定值，并求出此定值．
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(x)=4csxsin(x−π6)的最大值为f(A)．
(1)求角A；
(2)若点D在BC上，满足BC=3DC，且AD= 7，AB= 3，解这个三角形．
17.(本小题15分)
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x−和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅱ)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x−，σ2近似为样本方差s2．
(i)利用该正态分布，求P(187.8(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX．
附： 150≈12.2．
若Z～N(μ,σ2)则P(μ−σ18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ln(1+x)+axe−x．
(1)当a=−1时，讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；
(2)当a≥0时，求f(x)在(−1,0]内的最大值．
19.(本小题17分)
为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量动物对照试验.根据100个简单随机样本的数据，得到如表联表：(单位：只)
(1)依据α=0.1的独立性检验，分析药物M对预防疾病A的有效性；
(2)用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N进行治疗.已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为12，对服用过药物M的动物治愈率为34.若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的.记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X，求X的分布列和数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
答案解析
1.A
【解析】解：∵−x2+x+6≤0，∴x2−x−6≥0，(x−3)(x+2)≥0，∴x≥3或x≤−2，
N={x|x≥3或x≤−2}，M={−2,−1,0,1,2}，则M∩N={−2}．
故选：A．
2.D
【解析】解：∵i(1−z)=1，
∴1−z=1i=−i，即z=1+i，
∴z+z−=1+i+1−i=2．
故选：D．
3.D
【解析】解：空间中不过同一点的三条直线l，m，n，
若“l，m，n两两相交”，则“l，m，n共面”，
反之不成立，l，m，n可能相互平行，
∴“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的必要不充分条件，
故选：D．
4.D
【解析】解：csα=1+ 54，
则csα=1−2sin2α2，
故2sin2α2=1−csα=3− 54，即sin2α2=3− 58=( 5)2+12−2 516=( 5−1)216，
∵α为锐角，
∴sinα2>0，
∴sinα2=−1+ 54．
故选：D．
5.B
【解析】解：∵a>1，b>1，∴lga>0，lgb>0，
又∵a=b3，∴lga+3lgb10=3lgb+3lgb≥6，当且仅当lgb=1lgb，即b=10时取等号，
∴lga+3lgb10的最小值为6．
故选：B．
6.B
【解析】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有A22⋅A44=48种情况，
甲站在两端的情况有33C21AA22=24种情况，
∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48−24=24种，
故选：B．
7.D
【解析】解：因为向量a=(2,1)，a+b=(1,4)，所以b=(−1,3)，
向量a在b方向上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=−2+31+9b=110b．
故选：D．
8.C
【解析】解：a−5=lna−ln5，b−4=lnb−ln4，c−3=lnc−ln3，即a−lna=5−ln5，b−lnb=4−ln4，c−lnc=3−ln3，
令f(x)=x−lnx，x∈(0,+∞)，则f′(x)=1−1x=x−1x，
由f′(x)=0得x=1，由f′(x)>0得x>1，由f′(x)<0得0∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
又f(a)=f(5)，f(b)=f(4)，f(c)=f(3)，5>4>3>1，
则f(5)>f(4)>f(3)，即f(a)>f(b)>f(c)，
∵a，b，c∈(0,1)，
∴a故选：C．
9.ACD
【解析】解：图(1)的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，A正确；
图(2)众数最小，右拖尾平均数大于中位数，B错误，C正确；
图(3)左拖尾众数最大，平均数小于中位数，D正确．
故选：ACD．
10.BC
【解析】解：由图象知，当x0；当a当x>b时，f(x)−f′(x)>0，
已知g(x)=f(x)ex，函数定义域为R，
可得g′(x)=f′(x)−f(x)ex，
因为ex>0，
所以当x当a0，g(x)单调递增；
当x>b时，g′(x)=f′(x)−f(x)ex<0，g(x)单调递减，
所以函数g(x)在x=a处取得极小值，在x=b处取得极大值，
故选：BC．
11.BD
【解析】解：对于A，甲分配到A学校的事件与乙分配到B学校的事件可以同时发生，即事件M与N不互斥，A错误；
对于B，甲分配到A，B，C三个学校是等可能的，则P(M)=13，B正确；
对于C，由选项B知，P(N)=13，P(MN)=1+C21C21C42A33=536，显然P(MN)≠P(M)P(N)，
因此事件M与N相互不独立，C错误；
对于D，由选项BC知，P(M|N)=P(MN)P(N)=53613=512，D正确．
故选：BD．
12.−2
【解析】解：由函数f(x)=f′(0)e2x−e−x求导得：f′(x)=2f′(0)e2x+e−x，当x=0时，f′(0)=2f′(0)+1，解得f′(0)=−1，
因此f(x)=−e2x−e−x，
所以f(0)=−2．
故答案为：−2．
13.−28
【解析】解：由已知可得(1−yx)(x+y)8=(x+y)8−yx(x+y)8，
所以由二项式定理可得多项式(1−yx)(x+y)8的展开式中含x2y6的项为C86x2y6−yxC85x3y5=−28x2y6，
(1−yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为−28．
故答案为：−28．
14.−1
【解析】解：∵f(x−32)=−f(x)，①
∴f(x−3)=f(x)，即f(x+3)=f(x)，②
∴定义在R上的函数y=f(x)是以3为周期的函数．
又f(x+34)为奇函数，
∴函数y=f(x)关于点(34,0)成中心对称，
∴f(x)+f(32−x)=0，③
由①②得：f(−1)=−f(−52)=−f(12)=−1，
∴f(12)=1，代入③，有f(1)=−1．
∴f(−1)+f(0)+f(1)=−1+2−1=0．
∴i=12023f(i)=674×(f(1)+f(2)+f(3))+f(1)=f(1)=−1．
故答案为：−1．
15.解：(1)求导函数可得：f′(x)=a+bx2，
∵曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x−4y−12=0．
∴f(2)=12，f′(2)=74，
∴2a−b2=12，a+b4=74，
∴a=1，b=3，
∴f(x)的解析式为f(x)=x−3x；
(2)设(x0,x0−3x0)为曲线f(x)上任一点，则切线的斜率为1+3x02，
∴切线方程为y−(x0−3x0)=(1+3x02)(x−x0)，
令x=0，可得y=−6x0，
由切线方程与直线y=x联立，求得交点横坐标为x=2x0，
∴曲线f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值12×|2x0|×|−6x0|=6．
【解析】(1)求导函数，利用曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x−4y−12=0，建立方程，可求得a=1，b=3，从而可得f(x)的解析式；
(2)求出切线方程，从而可计算切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积．
16.解：(1)由f(x)=4csxsin(x−π6)⇒f(x)=4csx(sinxcsπ6−csxsinπ6)=2 3sinxcsx−2cs2x= 3sin2x−(cs2x+1)=2sin(2x−π6)−1．
由三角函数的性质，可得2A−π6=π2+2kπ，即A=π3+kπ(k∈Z)，
结合A∈(0,π)，取k=0，得A=π3；
(2)如图所示，可得AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=13AB+23AC，

所以AD2=49b2+2×29bccs∠BAC+19c2⇒7=49b2+2 39b+13⇒b=2 3(舍负)，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccs∠BAC=12+3−6=9，解得a=3，
由此可得a2+c2=12=b2，所以B=π2，C=π2−A=π6．
综上所述，a=3,b=2 3,c= 3,∠BAC=π3,B=π2,C=π6．
【解析】(1)根据三角恒等变换公式化简f(x)表达式，然后利用三角函数的性质与特殊角的三角函数值，求出角A的大小；
(2)根据平面向量的基本定理、向量数量积的公式，求得AC长，再利用余弦定理求得BC长，最后由勾股定理的逆定理判断出角B、C的大小，可得答案．
17.解：(Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数x−和样本方差s2分别为：
x−=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，
s2=(−30)2×0.02+(−20)2×0.09+(−10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z～N(200,150)，从而P(187.8(ii)由(i)知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，
依题意知X～B(100,0.6826)，所以EX=100×0.6826=68.26．
【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图的数据，即可求出；
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z～N(200,150)，从而求出P(187.8(ii)由(i)知X～B(100,0.6826)，即可求得结果．
18.解：(1)当a=−1时，f(x)=ln(1+x)−xex，f′(x)=ex+x2−1(1+x)ex，且(1+x)ex>0，
当x>0时，ex>1，x2>0，则ex+x2−1>0，即f′(x)>0，
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
(2)f′(x)=11+x+a(1−x)ex=ex+a(1−x2)(1+x)ex，
令Q(x)=ex+a(1−x2)，则Q′(x)=ex−2ax，
由x∈(−1,0]且a≥0，可得−2ax≥0，ex>0，则Q′(x)>0，Q(x)在(−1,0]内单调递增，
所以Q(x)>Q(−1)=1e>0，
又当x∈(−1,0]时，(1+x)ex>0，
所以f′(x)>0，f(x)在(−1,0]内单调递增，
故f(x)max=f(0)=0．
【解析】(1)根据求导公式和运算法则可得f′(x)=ex+x2−1(1+x)ex，由x>0可得(1+x)ex>0，ex+x2−1>0，即可求解；
(2)由题意可得f′(x)=ex+a(1−x2)(1+x)ex=Q(x)(1+x)ex，利用导数讨论函数Q(x)的性质可得Q(x)>0，进而f′(x)>0，则f(x)在(−1,0]内单调递增，即可求解．
19.解：(1)零假设H0：药物M对预防疾病A无效果，
补充完整的列联表如下所示：
所以χ2=100×(30×10−15×45)275×25×45×55=10033≈3.030>2.706，
根据小概率值α=0.1的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为药物M对预防疾病A有效果．
(2)设A表示药物N的治愈率，B1表示未服用过药物M且患病，B2表示服用过药物M且患病，
由题意得，P(B1)=1525=0.6，P(B2)=1025=0.4，且P(A|B1)=0.5，P(A|B2)=0.75，
所以P(A)=P(B1)×P(A|B1)+P(B2)×P(A|B2)=0.6×0.5+0.4×0.75=0.6，
即药物N的治愈率p=0.6=35，
所以X～B(3,35)，
所以P(X=0)=C30(25)3=8125，P(X=1)=C31(35)1(25)2=36125，P(X=2)=C32(35)2(25)1=54125，P(X=3)=C33(35)3=27125，
所以随机变量X的分布列如下表所示：
数学期望E(X)=0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=95．
【解析】(1)提出零假设H0，计算χ2的值，并与附表中的数据进行对比，即可作出判断；
(2)利用全概率公式求出药物N的治愈率p=35，利用X～B(3,35)，结合二项分布的概率公式与数学期望的计算方法，求解即可．药物M
疾病A
合计
未患病
患病
未服用
15
45
服用
45
合计
25
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
药物M
疾病A
合计
未患病
患病
未服用
30
15
45
服用
45
10
55
合计
75
25
100
x
0
1
2
3
P
8125
36125
54125
27125