2022-2023学年福建省泉州科技中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州科技中学高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知向量，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若函数在区间上单调递减，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为，，为椭圆的一个焦点，若为直角三角形，则该椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  用一根长为的铁丝围成正三角形框架，其顶点为，，，将半径为的球放置在这个框架上如图若是球上任意一点，则四面体体积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，则，，的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  将函数的图象的横坐标伸长为原来的倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则(    )

A. 的周期为 B.
C.  D. 在上单调递减

10.  已知直线：，：，圆：，下列说法正确的是(    )

A. 若经过圆心，则
B. 直线与圆相离
C. 若，且它们之间的距离为，则
D. 若，与圆相交于，，则

11.  已知，则，满足(    )

A.  B.  C.  D.

12.  勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体，若用棱长为的正四面体作勒洛四面体，如图，则下列说法正确的是(    )

A. 平面截勒洛四面体所得截面的面积为
B. 记勒洛四面体上以，为球心的两球球面交线为弧，则其长度为
C. 该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为
D. 该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  代数式的展开式中的系数为______．

14.  北京冬奥会开幕式在北京鸟巢举行，小明一家五口人观看开幕式表演，他们一家有一排个座位可供选择，按防疫规定，每两人之间必须至少有一个空位．现要求爷爷与奶奶之间有且只有一个空位，小明只能在爸爸妈妈中间且与他俩各间隔一个空位，则不同的就座方案有          种．

15.  如图所示，已知三棱台的体积为，其中，截去三棱锥，则剩余部分的体积为______

16.  已知，分别为双曲线：的两个焦点，上的点到原点的距离为，且，则双曲线的渐近线方程为            ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若，为线段的中点，，求的面积．

18.  本小题分
数列的前项和，数列为等差数列，且，．
求数列的通项公式；
求证：数列的前项和．

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且，平面．
求与平面所成角的正弦值；
棱上是否存在一点满足？若存在，求的长；若不存在，说明理由．

20.  本小题分
小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图．

从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取户若抽取的户中购买量在单位：的户数为户，从户中选出户进行生活情况调查，记户中需求量在单位：的户数为，求的分布列和期望；
将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于时，则该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取户，且抽到户为“迫切需求户”的可能性最大，试求的值．

21.  本小题分
已知函数在处的切线与直线平行
Ⅰ求的值并讨论函数在上的单调性
Ⅱ若函数为常数有两个零点，
求实数的取值范围；
求证：．

22.  本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左顶点为，点是椭圆上一点，离心率为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ若直线过椭圆右焦点且与椭圆交于、两点，直线、与直线分别交于，．
(ⅰ)求证：，两点的纵坐标之积为定值；
(ⅱ)求面积的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，即，解得．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以，
若，则，
所以．
故选：．
由已知结合向量平行的坐标表示即可求解．
本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：集合，
，
．
故选：．
求出集合，，由此能求出．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，
在上单调递减，
在上恒成立，
在上恒成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，显然，
函数在上是减函数，
，解得，则；
综上所述，的取值范围为．
故选：．
由题意得，根据在上单调递减，可得在上恒成立，则，函数在上是减函数，故，求解即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：椭圆长轴、短轴的一个端点分别为，，为椭圆的一个焦点，
若为直角三角形，则只有，
，
不妨取为右顶点，为上顶点，则为左焦点，
则，即，
，两边同除以，得，
舍负．
故选：．
由题意可得，不妨取为右顶点，为上顶点，则为左焦点，再由斜率关系列式求解．
本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的化简求值，主要考查了同角三角函数关系、两角和差公式、诱导公式、二倍角公式的应用，考查了运算能力，属于中档题．
利用两角和差公式将已知式子展开，然后再两边同平方，即可得到的值，从而确定，的符号，再利用完全平方式求出，将所求式子利用二倍角公式以及诱导公式化简求解即可．

【解答】

解：，
，
将两边同时平方得，
则，
，
，，
，
．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：如图，由题意，正三角形的边长为，

设的内切圆的圆心为，半径为，
则，解得，
再设球心为，则，
到底面的高的最大值为，
则四面体体积的最大值为．
故选：．
由题意画出图形，利用等面积法求出三角形内切圆的半径，再求出球心到底面的距离，得到到底面距离的最大值，代入棱锥体积公式求解．
本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：令，，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，，，
由，所以，
即．
故选：．
令，利用导数判断函数的单调性，从而可比较，，的大小．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：将函数的图象的横坐标伸长为原来的倍后，可得的图象；
再向左平移个单位长度，可得的图象，
则，故A错误．
，故B正确．
，为最大值，是图象的一条对称轴，故C正确．
，，在上单调递增，故D错误．
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律得到的解析式，再根据正弦函数的性质得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，因为圆心在直线上，所以，解得，A正确；
对于，因为直线：恒过点，且，
即点在圆内，所以与圆相交，B错误；
对于，因为，则，
故与之间的距离，所以，C正确；
对于，时，直线：，即，
因为圆心到直线的距离，
所以，D错误，
故选：．
将圆心代入直线的方程，求得，判断；求得直线过圆内一定点，判断；利用平行线间的距离公式可判断；根据圆的几何性质可求得，判断．
本题考查直线与圆的位置关系，化归转化思想，方程思想，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由得：，，
对于，，，即，A正确；
对于，，B错误；
对于，，C错误；
对于，，D正确．
故选：．
根据指对互化可得，，结合对数运算法则和基本不等式依次判断各个选项即可．
本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，平面截勒洛四面体所得截面如图甲，

它的面积为三个半径为，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积，
即，故A正确；
对于，如图乙，取中点，

在中，，记该勒洛四面体上以，为球心的两球交线为弧，
则该弧是以的中点为圆心，以为半径的圆弧，
设圆心角为，则，可知，
所以弧长不等于，故B错误；
对于，如图丙，设弧的中点是，线段的中点是，设弧的中点是，线段的中点是，

则根据图形的对称性，四点，，，共线且过正四面体的中心，则，
，
即勒洛四面体表面上任意两点间距离可能大于，最大值为，故C错误；
对于，勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图乙，其中点为该球与勒洛四面体的一个切点，
由对称性可知为该球的球心，内半径为，连接，易知三点共线，
设正四面体的外接球半径为，如图丁，

则由题意得：正四面体的高，，
则，解得：，所以，内半径，故D正确．
故选：．
对于，平面截勒洛四面体所得截面面积为三个半径为，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积；对于，求出弧所对的中心角，根据弧长公式求得结果进行判断；对于，设弧的中点是，线段的中点是，设弧的中点是，线段的中点是，则根据图形的对称性，四点，，，共线，计算即可判断；对于，设点为该球与勒洛四面体的一个切点，先求出正四面的外接球半径，则内切球半径为．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
 展开式中的系数为
．
故答案为：．
根据二项展开式的通项公式，结合多项式系数的特征，求出结果即可．
本题考查了二项式定理的应用问题，重点是二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，是基础题目．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
根据题意，将爷爷与奶奶看成一个整体，将爸爸妈妈和小明看成一个整体，先分析两个整体内的排法，再分类讨论整体之间的排法，由分步计数原理计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，将爷爷与奶奶看成一个整体，将爸爸妈妈和小明看成一个整体，
爷爷与奶奶之间有且只有一个空位，则两人之间有种排法，
小明只能在爸爸妈妈中间且与他俩各间隔一个空位，则三人之间有种排法，
若两个整体之间有个空位，有种排法，
若两个整体之间有个空位，有种排法，
故有种不同的就座方案，
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】解：设三棱台的上底面面积为，
因为，所以下底面面积为，再设棱台的高为，
所以，
所以，
所以剩余部分的体积为，
由，得，
所以剩余部分的体积为
故答案为：
设三棱台的上底面面积为，由题意知下底面面积为，设棱台的高为，求出棱台体积与棱锥的体积，作差求得剩余部分的体积．
本题考查了多面体体积的求法与应用问题，也考查了空间想象能力与运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了双曲线的标准方程与简单性质的知识，属于中档题．
通过，得到，结合双曲线的定义求出，，利用，设，求出的坐标，把点的坐标代入双曲线方程转化求解渐近线方程．

【解答】

解：，分别为双曲线的两个焦点，
不妨设双曲线的焦点坐标为、，

，，
又，
，，
双曲线上的点到原点的距离为，
，
，，
，
过作，垂足为，
，，
设，，，
把点的坐标代入双曲线方程可得，
即，
该双曲线的渐近线方程
故答案为：

17.【答案】解：由正弦定理得，
又，代入上式可得，
又，，，又，
．
由题意得，，，
即，整理得．
在中，由余弦定理得，即，
联立解得，
． 

【解析】利用正弦定理边化角，求出角．
利用中线的向量公式和余弦定理分别得出，的等量关系，解方程组得，代入面积公式即可．
本题考查正弦定理，内角和定理，余弦定理，中线的向量公式，三角形面积公式，属于中档题．
 

18.【答案】解：当时，，
当时，，
，
数列的通项公式为；
证明：为等差数列，公差为，
，，则，
，
设，
的前项和为，
，，
． 

【解析】利用进行化简即可得到结果．
利用裂项相消求和后即可得到证明．
本题考查了数列的递推关系式以及裂项相消法求和，属于基础题．
 

19.【答案】解：易知，，两两互相垂直，如图所示：

以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
从而，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，
所以平面的一个法向量为，
此时，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为；
设，则，
则，，
由得，，
化简得，，该方程无解，
所以，棱上不存在一点满足． 

【解析】本题考查了空间向量的应用，线面角的计算，属于中档题．
以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出，平面的法向量，即可求与平面所成角的正弦值；
假设存在符合条件，设，则由得，，列出方程，判定方程在上是否有解即可得出结论．
 

20.【答案】解：易知所有可能的取值为，，，
此时，，，
所以的分布列为：

则；
根据频率分布直方图可知，每天对甲类生活物资的需求平均值为，
则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为，
从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为，
若从小区随机抽取户，且抽到户为“迫切需求户”，
此时，
若户的可能性最大，
此时，，，，，
因为，
所以，
即，
解得，
因为，
所以． 

【解析】由题意，得到随机变量所有可能的取值，求出相对应的概率，列出分布类，代入期望公式中即可求解；
根据频率分布直方图中所给信息得到每天对甲类物资的购买量平均值，求出从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为，此时，设户的可能性最大，列出不等式组，求解即可．
本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力．
 

21.【答案】解：Ⅰ，
，
，
令，，
在上单调递增，在上单调递减，
所以时，，
即时，，
所以函数在上单调递减．
Ⅱ由条件可知，，
，
在上单调递减，在上单调递增，
要使函数有两个零点，则，．
证明：由上可知，，，
构造函数，
则，
所以即
又在上单调递减，
所以，即． 

【解析】Ⅰ求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
Ⅱ根据函数的单调性求出函数的最小值，求出的范围，构造函数，
则，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ由题意可知，解得，，
所以椭圆的方程为．
Ⅱ设直线的方程为，
联立，得，
设，，
所以，，
直线的方程为，
令得，同理可得，
所以
．
．
当且仅当，或，时等号成立． 

【解析】Ⅰ由点是椭圆上一点，离心率为，列方程组，解得，，进而得出答案．
Ⅱ设，，直线的方程为，联立椭圆的方程，解得韦达定理可得，，写出直线的方程，令，解得，同理可得，再计算，即可得出答案．
，利用基本不等式，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属难题．