2025高考数学一轮复习-7.4-空间直线、平面的垂直-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.4-空间直线、平面的垂直-专项训练【含答案】，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是( )
A．a∥α，b∥β，a⊥b
B．α⊥γ，β⊥γ
C．a∥α，a⊥β
D．α∩β＝a，a⊥b，b⊂β
2．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是( )
A．平面ABCD B．平面PBC
C．平面PAD D．平面PAB
3．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
4．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，F是PB上一点，则下列判断错误的是( )
A．BC⊥平面PAC
B．AE⊥EF
C．AC⊥PB
D．平面AEF⊥平面PBC
5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列选项不正确的是( )
A．直线A1B与B1C所成的角为60°
B．A1B⊥DB1
C．DB1⊥平面ACD1
D．B1C⊥B1D
6．已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝22，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )
A．存在某个位置，使得直线BD与直线AC垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线BC与直线AD垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”“CD与AB”“AD与BC”均不垂直
二、多项选择题
7．已知平面α∩平面β＝l，B，D是l上两点，直线AB⊂α且AB∩l＝B，直线CD⊂β且CD∩l＝D.下列结论中，错误的有( )
A．若AB⊥l，CD⊥l，且AB＝CD，则四边形ABCD是平行四边形
B．若M是AB的中点，N是CD的中点，则MN∥AC
C．若α⊥β，AB⊥l，AC⊥l，则CD在α上的射影是BD
D．直线AB，CD所成角的大小与二面角α-l-β的大小相等
8．已知正方体ABCD -A1B1C1D1，则( )
A．直线BC1与DA1所成的角为90°
B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
三、填空题
9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
10．如图，△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角 A-BD-C的余弦值为_________．
11．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么点P到平面ABC的距离为________.
12．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为邪田，两畔CD，AB分别为1，3，正广AD为23，PD⊥平面ABCD，则邪田ABCD的邪长为________；邪所在直线与平面PAD所成角的大小为________．
四、解答题
13．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高．
14．在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P-BCDE.
(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P-BCDE的体积；
(2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE.
参考答案
1．C [对于A，a∥α，b∥β，a⊥b时，α∥β也可能满足，如图1，故A错误；
对于B，α⊥γ，β⊥γ时，α∥β也可能满足，如图2，故B错误；
对于C，a∥α，a⊥β时，一定有α⊥β，故C正确；
对于D，α∩β＝a，a⊥b，b⊂β时，α⊥β不一定成立，如图3，故D错误．
故选C.]
2．C [因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD，
由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，
因为PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD.
又CD⊂平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAD.
故选C.]
3．A [由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.
因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.
所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．故选A.]
4．C [对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而BC⊂底面圆面，则PA⊥BC，
又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC，所以A正确；
对于B，由A选项可知BC⊥AE，
由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PCB，所以AE⊥平面PCB，而EF⊂平面PCB，
所以AE⊥EF，所以B正确；
对于C，由B选项可知AE⊥平面PCB，因而AC与平面PCB不垂直，所以AC⊥PB不成立，所以C错误；
对于D，由B选项可知，AE⊥平面PCB，AE⊂平面AEF，由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC.所以D正确．故选C.]
5．D [正方体ABCD-A1B1C1D1，如图所示，
∵A1B∥D1C，∴直线D1C与B1C所成的角即为直线A1B与B1C所成的角．
又△B1CD1为等边三角形，
∴∠D1CB1＝60°，
故A正确；
∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC.
∵BD⊂平面BB1D1D，BB1⊂平面BB1D1D，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D.
又B1D⊂平面BB1D1D，∴AC⊥DB1.
同理AD1⊥DB1，
又AC⊂平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，AC∩AD1＝A，
∴DB1⊥平面ACD1，∴DB1⊥D1C.
又A1B∥D1C，∴DB1⊥A1B，故B，C正确；
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
则DC＝1，B1C＝2，DB1＝3，cs ∠CB1D＝22+32−122×2×3＝63，故D错误．
故选D.]
6．B [矩形在翻折前和翻折后的图形如图1，图2所示．
在图1中，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F，
由边AB，BC不相等可知点E，F不重合；
在图2中，连接CE.
若AC⊥BD，又知BD⊥AE，AE∩AC＝A，所以BD⊥平面ACE，
所以BD⊥CE，与点E，F不重合相矛盾，A错误；
若AB⊥CD，又知AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，所以AB⊥AC，
由ABAB，所以不存在这样的直角三角形，C错误；
由以上可知D错误．

故选B.]
7．ABD [由题意，AB，CD为异面直线，所以四边形ABCD为空间四边形，不能为平行四边形，A错误；
取BC的中点H，连接HM，则HM是△ABC的中位线，所以HM∥AC，
因为HM与MN相交，所以MN与AC不平行，B错误；
若AB⊥l，AC⊥l，所以由线面垂直的判定定理可得l⊥平面ABC，所以l⊥BC，
由α⊥β结合面面垂直的性质可得BC⊥α，所以点C在平面α内的投影为点B，
所以CD在平面α内的射影为BD，C正确；
由二面角的定义可得当且仅当AB⊥l，CD⊥l时，直线AB，CD所成的角或其补角才为二面角的大小，D错误．
故选ABD.]
8．ABD [如图，连接B1C，BC1，因为DA1∥B1C ，所以直线BC1与B1C所成的角即为直线BC1与DA1所成的角，
因为四边形BB1C1C为正方形，则B1C⊥BC1，故直线BC1与DA1所成的角为90°，A正确；
连接A1C，因为A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，则A1B1⊥BC1 ，
因为B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1C，又A1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，B正确；
连接A1C1，B1D1，设A1C1∩B1D1＝O，连接BO，
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，C1O⊂平面A1B1C1D1，则C1O⊥B1B，因为C1O⊥B1D1, B1D1∩B1B＝B1，所以C1O⊥平面BB1D1D，
所以∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，
设正方体棱长为1，则C1O＝22，BC1＝2，sin∠C1BO＝C1OBC1＝12，
所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，C错误；
因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠C1BC＝45°，D正确．故选ABD.]
9．DM⊥PC(或BM⊥PC等) [∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC(图略)，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]
10．－55 [过A作AE⊥CB，交CB的延长线于点E，连接DE，
∵平面ABC⊥平面BCD，∴ AE⊥平面BCD，
∴点E即为点A在平面BCD内的射影，
∴△EBD为△ABD在平面BCD内的射影，
设AB ＝a，则AE＝DE ＝ABsin 60°＝32a，
∴AD＝62a，cs ∠ABD＝14，∴sin ∠ABD＝154，
∴S△ABD＝12a2×154＝158a2,
又BE＝12a，
∴S△BDE＝12×32a×12a＝38a2，
设θ为射影面与原面所成的二面角的平面角，
∴cs θ＝S△BDES△ABD＝55.
∵所求的角θ是二面角A-BD-E，而二面角A-BD-C与A-BD-E互补，
∴二面角A-BD-C的余弦值为－55.]
11．2 [如图，过点P作PO⊥平面ABC于点O，则PO为点P到平面ABC的距离．
再过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，
连接PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.
又PE＝PF＝3，所以OE＝OF，
所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.
在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝3，所以CE＝1，
所以OE＝1，所以PO＝PE2−OE2＝32−12＝2.]
12．4 30° [过点C作CE⊥AB，垂足为点E，延长AD，BC，使得AD∩BC＝F，如图所示．由题意可得CE＝23，BE＝2，则BC＝12+4＝4．即邪田ABCD的邪长BC为4．由题意知AB⊥AD，CD∥AB，所以DFAF＝CDAB＝13，所以DF＝3.因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AB，又AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，则∠AFB是直线BC与平面PAD所成角的平面角，
tan ∠AFB＝ABAF＝333＝33，所以∠AFB＝30°.即邪所在直线与平面PAD所成角的大小为30°.]
13．解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，
因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，
又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1，
又BC⊂平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
(2)如图，过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H，由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，
又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，
A1H⊂平面ACC1A1，所以A1H⊥平面BB1C1C，
即四棱锥A1-BB1C1C的高为A1H.
由题意知AB＝A1B，BC＝BC，∠A1CB＝∠ACB＝90°，则△ACB≌△A1CB，故CA＝CA1.
又AA1＝2，∠ACA1＝90°，
所以A1C1＝CA1＝2.
法一：由S△CA1C1＝12·CA1·A1C1＝12·A1H·CC1，得A1H＝CA1·A1C1CC1＝2×22＝1，
故四棱锥A1-BB1C1C的高为1.
法二：在等腰直角三角形CA1C1中，A1H为斜边中线，所以A1H＝12CC1＝1，
故四棱锥A1-BB1C1C的高为1.
14．解：(1)如图所示，取DE的中点M，连接PM，由题意知，PD＝PE，∴PM⊥DE，
又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM⊂平面PDE，∴PM⊥平面BCDE，即PM为四棱锥P-BCDE的高．
在等腰直角三角形PDE中，PE＝PD＝AD＝2，
∴PM＝12DE＝2，
而梯形BCDE的面积S＝12(BE＋CD)·BC＝12×(2＋4)×2＝6，
∴四棱锥P-BCDE的体积V＝13PM·S＝13×2×6＝22.
(2)证明：取BC的中点N，连接PN，MN，则BC⊥MN，
∵PB＝PC，∴BC⊥PN，
∵MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面PMN，∴BC⊥平面PMN，
∵PM⊂平面PMN，∴BC⊥PM，由(1)知，PM⊥DE，
又BC，DE⊂平面BCDE，且BC与DE是相交的，
∴PM⊥平面BCDE，
∵PM⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE