2022年全国统一高考数学试卷（新高考ⅰ卷）（含解析）

这是一份2022年全国统一高考数学试卷（新高考ⅰ卷）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若集合，，则
A．B．C．D．
2．若，则
A．B．C．1D．2
3．在中，点在边上，．记，，则
A．B．C．D．
4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为
A．B．C．D．
5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为
A．B．C．D．
6．记函数的最小正周期为．若，且的图像关于点，中心对称，则
A．1B．C．D．3
7．设，，，则
A．B．C．D．
8．已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知正方体，则
A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面所成的角为
10．已知函数，则
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
11．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则
A．的准线为B．直线与相切
C．D．
12．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则
A．B．C．（4）D．（2）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的系数为 （用数字作答）．
14．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
15．若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
16．已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
18．（12分）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
19．（12分）如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为．
（1）求到平面的距离；
（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
（1）能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事件“选到的人患有该疾病”， 与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出的估计值．
附：．
21．（12分）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．
22．（12分）已知函数和有相同的最小值．
（1）求；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，，则
A．B．C．D．
【思路分析】分别求解不等式化简与，再由交集运算得答案．
【解析】由，得，，
由，得，，
．
故选：．
【试题评价】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
2．若，则
A．B．C．1D．2
【思路分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，再求出．
【解析】由，得，
，则，．故选：．
【试题评价】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．在中，点在边上，．记，，则
A．B．C．D．
【思路分析】直接利用平面向量的线性运算可得，进而得解．
【解析】【解法一】(向量回路)：如图，
，
，即．故选：．
【解法二】（南京王安寓补解） (向量减法+方程)：∵BD=2DA，∴，∴ QUOTE ，解得=3n−2m.
【解法三】(王安寓补解) (特殊化建系)：取C为直角，并以C为原点，CA、CB所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设A(3a,0),B(0,3b)，由BD=2DA知D为靠近A的三等分点，从而D(2a,b)，∴。
【解法四】(王安寓补解) (待定系数)：设，则，
与条件=2()对比，得1−x=y=−2，解得x=3，y=−2，故．
【试题评价】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为
A．B．C．D．
【思路分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．
【解析】【解法一】(统一m)，，
根据题意，增加的水量约为
．故选：．
【解法二】(王安寓补解) (统一km)：
V棱台=×(140+180+ QUOTE )×(0.1575−0.1485)=0.03(320+60)≈1.437 km3≈1.4×109 m3。
【试题评价】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．
5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为
A．B．C．D．
【思路分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．
【解析】【解法一】(枚举法)从2至8的7个整数中任取两个数共有种方式，
其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，
故所求概率为．
【解法二】(王安寓补解)(正难则反)：从2至8的7个整数中任取两个数共有种方式，
其中不互质的有：2，4，6，8中任取2个和3，6这1个，计+1=7个，故所求概率为1−。故选：．
【试题评价】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．
6．记函数的最小正周期为．若，且的图像关于点，中心对称，则
A．1B．C．D．3
【思路分析】由周期范围求得的范围，由对称中心求解与值，可得函数解析式，则可求．
【解析】【解法一】(取值试验)函数的最小正周期为，
则，由，得，，
的图像关于点，中心对称，，
且，则，．
，，取，可得．
，则．故选：．
【解法二】(王安寓补解)(解不等式)：仿法一得2