2023-2024学年湖北省十堰市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年湖北省十堰市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.4的算术平方根是( )
A. 2B. −2C. ±2D. ± 2
2.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 7B. 13C. 8D. 0.5
3.下列运算中正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2⋅ 3= 5C. 2 5− 5= 5D. (−2)2=−2
4.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 若a=b，则 a2= b2B. 对顶角相等
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形D. 矩形的对角线相等
5.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是( )
A. a2+b2=c2B. a：b：c=3：4：5
C. ∠A+∠B=∠CD. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
6.在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和4，则斜边上的中线长是( )
A. 2B. 5C. 2.5D. 3
7.下列函数表达式中，y是x的正比例函数的是( )
A. y=2xB. y=x2C. y=2x2D. y2=2x
8.甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差如图所示，根据图中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
9.如图推理中，空格①②③④处可以添上条件“对角线互相垂直”的是( )
A. ①④B. ①③C. ②④D. ②③
10.新能源汽车作为一个新兴产业，摆脱了汽车对石油的依赖，而且没有废气排放，发展新能源是保障国家环境安全及能源安全重要措施.如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，电池剩余电量y(千瓦时)关于已行驶路程x(千米)的函数图象，图象由线段AB和BC组成.下列结论中错误的是( )
A. 电池剩余电量为45千瓦时时汽车已行驶的路程是200km
B. 当0≤x≤200时，每千瓦时的电量能让汽车行驶203km
C. 当汽车已行驶360千米时，电池的剩余电量是 10千瓦时
D. 该型号新能源汽车本次充满电后最大行驶里程为380km
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若二次根式 x−2有意义，则x的取值范围是______.
12.已知a=2，b=−8，c=5，则−b+ b2−4ac2a=______.
13.如图，函数y=kx+b的图象经过点P(−1,2)，则关于x的不等式kx+b>2的解集是______.
14.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点M，N分别是AB，AC与网格线的交点，则MN=______.
15.如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形ABCD中的对角线BD的长是______.
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：
(1) 18− 32+ 2；
(2)( 3− 2)2.
17.(本小题6分)
如图，▱ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
18.(本小题6分)
在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面图如图，小明据此构造出该岛的一个数学模型(如图四边形ABCD)来求岛屿的面积，其中∠B=90∘，AB=BC=3千米，CD= 2千米，AD=4千米.请求出四边形ABCD的面积.(结果保留根号)
19.(本小题8分)
某校八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛，并从其中分别随机抽取了20名学生的成绩(用x表示)，共分成四组：A(80≤x<85)，B(85≤x<90)，C(90≤x<95)，D(95≤x≤100).其中，八年级20名学生的成绩是：96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94.九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94.根据以上信息，解答下列问题：
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
(1)直接写出上述a、b、c的值：a=______，b=______，c=______.
(2)你认为这次比赛中哪个年级的竞赛成绩更好，为什么？
(3)若该校九年级共1000人参加了此次航天科普知识竞赛活动，参加此次活动成绩优秀(x≥90)的九年级学生大约有多少人？
20.(本小题8分)
(1)如图1，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，过点O的直线交AD于点M，交BC于点N，则AM与CN的数量关系是______；
(2)在▱ABCD中，AD>AB，请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下的作图(保留作图痕迹).
①如图2，点E在边AD上，且DE=CD，作∠C的平分线；
②如图3，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=CD=CF，连接DF，过点A作DF的垂线.
21.(本小题8分)
为美化校园，某学校计划购进A，B两种树苗共15棵，已知A种树苗每棵100元，B种树苗每棵80元.
(1)若购进A，B两种树苗刚好用去1400元，求购进A，B两种树苗各多少棵？
(2)若购进A种树苗x棵，所需总费用为y元.
①求y与x的函数关系式；
②若购进B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用.
22.(本小题10分)
请根据函数相关知识，对函数y=|x−1|的图象与性质进行探究，并解决相关问题：
①列表：
②描点；
③连线.
(1)表格中，m=______，n=______；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，画出函数y=|x−1|的图象；
(3)对于函数y=|x−1|的图象，下列说法中正确的是______①图象是轴对称图形；②函数的最小值是0；③当x>1时，y随x的增大而增大；
(4)若直线y=12x+b与函数y=|x−1|−2的图象有两个交点，则b的取值范围是______.
23.(本小题11分)
【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第69页有这样一个问题：
如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90∘，且EF交正方形的外角的平分线CF于点F.求证AE=EF.
(1)【思考尝试】教材有以下提示：取AB的中点G，连接EG，请在图1中补全图形，并解答这个问题.
(2)【逆向思考】小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，正方形ABCD中，点E是线段BC延长线上一动点(点E与点C不重合)，△AEF是等腰直角三角形，∠AEF=90∘，AE=EF.求证：CF平分∠DCE.请你思考并解答这个问题.
(3)【拓展迁移】小华深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的问题：如图3，正方形ABCD的边长为4，E为射线BC上一动点，以AE为边作等腰Rt△AEF，∠AEF=90∘，AE=EF，连接DF.则AE+ 22DF的最小值是______(请在横线上直接写出结果)
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，直线y=x+6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y=−2x+9于点C.
(1)求点C的坐标；
(2)如图1，点M是直线AB上一动点，过点M作MN//x轴交直线y=−2x+9于点N，连接MN，若MN<6，设点M的横坐标为m，求m的取值范围；
(3)如图2，点P为y轴正半轴上一动点，在线段AB上是否存在点D，使直线PD交x轴负半轴于点Q时，1OP+1OQ的值是定值？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：4的算术平方根是 4=2，
故选：A.
根据算术平方根的定义进行计算即可．
本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
2.【答案】A
【解析】解：A. 7是最简二次根式，符合题意；
B. 13= 33，则 13不是最简二次根式，不符合题意；
C. 8=2 2， 8不是最简二次根式，不符合题意；
D. 0.5= 22， 0.5不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A.
根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A. 2+ 3≠ 5，运算错误，不合题意；
B. 2⋅ 3= 2×3= 6≠ 5，运算错误，不合题意；
C.2 5− 5= 5，运算正确，符合题意；
D. (−2)2=|−2|=2≠−2，运算错误，不合题意；
故选：C.
根据二次根式的运算法则逐项计算，即可得出答案．
本题考查二次根式的性质及运算，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4.【答案】C
【解析】解：A、若a=b，则 a2= b2的逆命题是：若 a2= b2，则a=b，不成立，该选项不符合题意；
B、对顶角相等的逆命题是：相等的角是对顶角，不成立，该选项不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形的逆命题是：平行四边形的对边相等，成立，该选项符合题意；
D、矩形的对角线相等的逆命题是：对角线相等的四边形是矩形，不成立，该选项不符合题意；
故选：C.
判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据二次根式的性质、对顶角的概念、平行四边形的性质与判定，矩形的判定定理等判断即可．
本题考查了命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
5.【答案】D
【解析】解：A、a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、设a=3k，b=4k，c=5k，(3k)2+(4k)2=(5k)2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、由∠A+∠B=∠C，可得∠C=90∘，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、设∠A=3x∘，∠B=4x∘，∠C=5x∘，那么∠A=45∘、∠B=60∘、∠C=75∘，不能判断△ABC是直角三角形，符合题意．
故选：D.
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
6.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得到：直角三角形斜边长= 22+42=2 5，
∴直角三角形斜边上的中线长=12×2 5= 5.
故选：B.
由勾股定理求出直角三角形斜边长为2 5，由直角三角形斜边上中线的性质即可得到答案．
本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，关键是掌握勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
7.【答案】B
【解析】解：A、y=2x中分母含自变量，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、y=x2是正比例函数，故本选项符合题意；
C、y=2x2中自变量的次数为2次，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
D、y2=2x中因变量的次数为2次，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
故选：B.
形如y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的函数叫一次函数，当b=0时，函数也叫正比例函数．根据正比例函数的定义逐个判断即可．
本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数定义是解此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵乙和丁的平均数较大，
∴从乙和丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴选择丁参加比赛，
故选：D.
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
此题考查了折线统计图，算术平均数，方差，解答本题的关键要明确：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
9.【答案】A
【解析】解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
对角线互相垂直的矩形是正方形，
∴空格①②③④处可以添上条件“对角线互相垂直”的是①④，
故选：A.
根据菱形与矩形的判定方法可得答案．
本题考查的是特殊四边形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
10.【答案】C
【解析】解：由点B对应的坐标可知，电池剩余电量为45千瓦时时汽车已行驶的路程是200km，
故选项A中结论正确，不合题意；
当0≤x≤200时，每千瓦时的电量能让汽车行驶20075−45=203(km)，
故选项B中结论正确，不合题意；
设直线BC解析式为y=kx+b，将(200,45)，(300,20)代入，可得：
200k+b=45300k+b=20，
解得k=−14b=95，
将x=360代入y=−14x+95，得y=−14×360+95=5，
即当汽车已行驶360千米时，电池的剩余电量是5千瓦时，
故选项C中结论错误，符合题意；
令y=−14x+95=0，得x=380，
即该型号新能源汽车本次充满电后最大行驶里程为380km，
故选项D中结论正确，不合题意；
故选：C.
由点B对应的坐标可直接判断A选项；由AB段数据可判断B选项；求出BC段函数解析式，可判断C，D选项．
本题考查一次函数的实际应用，掌握利用待定系数法求解函数的解析式是解答本题的关键．
11.【答案】x≥2
【解析】【分析】
根据二次根式有意义的条件，可得x−2≥0，解不等式即可．
本题考查二次根式有意义的条件，只需使被开方数大于等于0即可．
【解答】
解：根据题意，使二次根式 x−2有意义，即x−2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2.
12.【答案】2+ 62
【解析】解：将a=2，b=−8，c=5代入，得：
−b+ b2−4ac2a=−(−8)+ (−8)2−4×2×52×2=8+ 64−404=2+ 62，
故答案为：2+ 62.
将a=2，b=−8，c=5代入，再利用二次根式的性质化简计算即可．
本题主要考查了解一元二次方程，二次根式的化简求值，解题的关键是理解题意正确计算．
13.【答案】x<−1
【解析】解：由图象可得：当x<−1时，kx+b>2，
所以关于x的不等式kx+b>2的解集是x<−1，
故答案为x<−1.
函数y=kx+b的图象经过点P(−1,2)，观察函数图象得到即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，理解题意，利用数形结合思想求解是解题关键．
14.【答案】 102
【解析】解：如图，标注格点，
由题意可得：AQ//CS，AQ=CS，∠ANQ=∠CNS，
∴∠QAN=∠SCN，
∴△AQN≌CSN(AAS)，
∴AN=CN，
同理可得：AM=BM，
∴MN为△ABC的中位线，
∴MN=12BC，
∵BC= 12+32= 10；
∴MN=12BC= 102，
故答案为： 102.
利用全等三角形的性质证明AN=CN，AM=BM，可得MN为△ABC的中位线，MN=12BC，再结合勾股定理可得答案．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的定义，勾股定理的应用，
15.【答案】152
【解析】解：∵两个全等的纸片是矩形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，如图，连接AC，CF=AE=6，∠E=∠F=90∘，∠ABE=∠CBF，
∴△AEB≌△CFB(AAS)，
∴AB=BC，BE=BF，
∴四边形ABCD为菱形，
设AB=BC=x，则BE=BF=8−x，
∵Rt△AEB中，AE2+BE2=AB2，
∴62+(8−x)2=x2，
解得x=254，
则AC= AE2+CE2= 62+82=10，
∵S菱形ABCD=BC⋅AE=12AC⋅BD，
∴BD=2BC⋅AEAC=2×254×610=152，
故答案为：152.
利用矩形的性质证明四边形ABCD为平行四边形，再证明△AEB≌△CFB(AAS)，进而证明四边形ABCD为菱形，设AB=BC=x，则BE=BF=8−x，利用勾股定理建立等式求解得到x，再利用等面积法即可求得对角线BD的长．
本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键．
16.【答案】解：(1) 18− 32+ 2
=3 2−4 2+ 2
=0；
(2)( 3− 2)2
=( 3)2−2 3× 2+( 2)2
=3−2 6+2
=5−2 6.
【解析】(1)先利用二次根式性质化简，再合并同类二次根式；
(2)利用完全平方公式及二次根式的性质求解．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
17.【答案】证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO
∵AE=CF，
∴AO−AE=CO−CF.
即EO=FO.
∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
【解析】本题中，在连接BD交AC于O，则可知OB=OD，OA=OC，又AE=CF，所以OE=OF，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
此题主要考查了平行四边形的判定，要求对平行四边形的所有判定都要掌握．
18.【答案】解：如图，连接AC，
∵∠B=90∘，AB=BC=3千米，
∴AC2=AB2+BC2=32+32=18(千米)，
∵AD2+CD2=42+( 2)2=18=AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12AB⋅BC+12AD⋅CD=12×3×3+12×4× 2=(92+2 2)(km2)，
即四边形ABCD的面积为(92+2 2)km2.
【解析】先用勾股定理计算出AC2，再证△ADC是直角三角形，最后利用三角形面积公式求解．
本题考查勾股定理的应用，等腰直角三角形，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决实际问题．
19.【答案】409692.5
【解析】解：(1)由题意可知，a%=1−620−10%−20%=40%，故a=40；
八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是9(6分)，故众数b=96；
九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为92、93，故中位数为c=92+932=92.5，
故答案为：40；96；92.5；
(2)九年级成绩相对更好，理由如下：
①九年级测试成绩的众数大于八年级；②九年级测试成绩的方差小于八年级；
(3)1000×70%=700(人).
答：估计参加此次活动成绩优秀(x≥90)的九年级学生人数为700人．
(1)用1分别减去其它三组所占百分比即可得出a的值，根据众数和中位数的定义即可得出b、c的值；
(2)可从平均数、众数、中位数和方差角度分析求解；
(3)利用样本估计总体即可．
本题考查了方差，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义和方差的意义是解题的关键．
20.【答案】AM=CN
【解析】解：(1)AM=CN，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AO=CO，
∴∠MAO=∠NCO，
在△AOM和△CON中，
∠MAO=∠NCOAO=CO∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON(ASA)，
∴AM=CN，
故答案为：AM=CN；
(2)连接CE，如图2，
∵AD//CD，
∴∠BCE=∠DEC，
又∵DE=CD，
∴∠DEC=∠DCE，
∴∠BCE=∠DCE，
∴CE平分∠BCD，
故如图所示，CE即为所求；
(3)连接EF、CE、AC、BD，AC、BD交于点O，连接EO延长交BC与点H，连接AH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AO=CO，
∴∠EAO=∠HCO，
∵ED//FC，DE=CF，
∴四边形EFCD是平行四边形，
又∵DE=DC，
∴平行四边形EFCD是菱形，
∴EC⊥DF，
在△AOE和△COH中，
∠EAO=∠HCOAO=CO∠AOE=∠COH，
∴△AOE≌△COH(ASA)，
∴AE=CH，
∴四边形AHCE为平行四边形，
∴AH//EC，
∴AH⊥DF，
故如图所示，AH即为所求．
(1)根据平行四边形的性质得到∠MAO=∠NCO，AO=CO，从而推出△AOM≌△CON(ASA)，即可得到答案；
(2)连接CE，根据AD//CD和DE=CD可推出∠BCE=∠DCE，故CE平分∠BCD；
(3)连接EF、CE、AC、BD，AC、BD交于点O，连接EO延长交BC与点H，连接AH，可推出四边形EFCD是菱形，得到EC⊥DF，同(1)可得AE=CH，从而推出四边形AHCE为平行四边形，得到AH//EC，即可得到AH⊥DF，故AH为所求．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设购进A种树苗a棵，则购进B种树苗(15−a)棵，
根据题意得：100a+80(15−a)=1400，
解得：a=10，
∴15−a=5，
答：购进A种树苗10棵，购进B种树苗5棵；
(2)①根据题意得：
y=100x+80(15−x)=20x+1200；
②∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，
∴15−x解得：x>152，
∴152∵20>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=8时，y最小，且最小值为20×8+1200=1360(元)，
此时15−x=7，
答：购进A种树苗8棵，B种树苗7棵时费用最省，此时费用为1360元．
【解析】(1)设购进A种树苗a棵，则购进B种树苗(15−a)棵，根据“若购进A，B两种树苗刚好用去1400元”列出方程求解即可；
(2)①根据所需总费用=A种树苗的费用+B种树苗的费用列式可得；②根据“购进B种树苗的数量少于A种树苗的数量”列出不等式，求出x的取值范围，利用一次函数的性质可得x的值，进而可得最省方案．
本题主要考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，能够根据一次函数的性质得出最省方案是解题的关键．
22.【答案】1 3 ①②③ b>−52
【解析】解：(1)当x=0时，y=|x−1|=|0−1|=1，
当x=4时，y=|x−1|=|4−1|=3，
∴m=1，n=3，
故答案为：1，3；
(2)函数y=|x−1|的图象如图1示：
(3)由(2)中图形可知，图象是轴对称图形，函数的最小值是0，当x>1时，y随x的增大而增大，因此①②③均正确，
故答案为：①②③；
(4)如图2，y=|x−1||的图象向下平移2个单位得到y=|x−1|−2的图象，最低点坐标为(1,−2)，
当y=12x+b经过点(1,−2)时，直线y=12x+b与函数y=|x−1|−2的图象有1个交点，
将(1,−2)代入y=12x+b，得12+b=−2，解得b=−52，
因此当b>−52时，直线y=12x+b与函数y=|x−1|−2的图象有两个交点，
故答案为：b>−52.
(1)将x的值代入y=|x−1|可得答案；
(2)根据表格内数据描点、连线即可；
(3)根据(2)中图形逐项判断即可；
(4)将y=|x−1||的图象向下平移2个单位得到y=|x−1|−2的图象，将新图象最低点坐标代入y=12x+b即可求解．
本题考查两条直线相交或平行问题，一次函数图象与系数的关系，轴对称图形，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
23.【答案】2 10
【解析】(1)证明：取AB的中点G，连接EG，如图1，
∵G、E分别为AB、BC的中点，
∴AG=BG=BE=CE，
∴∠BGE=45∘，
∴∠AGE=135∘，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF=45∘，
∴∠ECF=135∘，
∴∠AGE=∠ECF，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90∘，
∴∠AEB+∠FEC=90∘，
∵∠AEB+∠BAE=90∘，
∴∠FEC=∠BAE，
∴△AGE≌△ECF(ASA)，
∴AE=EF；
(2)证明：过点F作FH⊥BC交BC延长线于点H，如图2，
则∠FHE=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=∠DCH=90∘，AB=BC，
∵AE=EF，∠AEF=90∘，
∴∠2=90∘−∠1=∠3，
∵∠FHE=∠ABE=90∘，∠3=∠2，AE=EF，
∴△ABE≌△EHF(AAS)，
∴AB=EH，BE=FH，
∴BE=BC+CE=FH，CH=EH+CE=BC+CE，
∴BE=FH=CH，
∴△CHF是等腰直角三角形，
∴∠FCH=45∘，
∴∠DCF=∠DCH−∠FCH=90∘−45∘=45∘；
∴CF平分∠DCE.
(3)解：作DG⊥CF，交BC的延长线于G，交CF于O，连接AG，
由(2)知，∠DCF=45∘，
∴∠CDG=45∘，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴DC=CG=4，
∴点D与G关于CF对称，
∴DF=FG，
∴AF+DF=AF+FG≥AG，
当A，F，G三点共线时，AF+DF最小，最小值为AG的长，
∵AB=4，
∴BG=8，
由勾股定理得AG= 82+42=4 5，
∵在Rt△AEF中，AE2+EF2=AF2，
∴ 2AE=AF，
∴AE+ 22DF= 22( 2AE+DF)= 22(AF+DF)，
∴AE+ 22DF的最小值为 22AG= 22×4 5=2 10，
则AE+ 22DF的最小值是2 10，
故答案为：2 10.
(1)取AB的中点G，连接EG，利用同角的余角相等说明∠FEC=∠BAE，再根据ASA证明△AGE≌△ECF，得AE=EF；
(2)过点F作FH⊥BC交BC延长线于点H，则∠FHE=90∘，证明△ABE≌△EHF，得出AB=EH，BE=FH，从而得出BE=FH=CH，△CHF是等腰直角三角形，得出∠FCH=45∘，即可得到∠DCF=45∘；即可证出CF平分∠DCE.
(3)连接CF，作DG⊥CF，交BC的延长线于G，交CF于O，连接AG，由(2)知，∠DCF=45∘，得出△DCG是等腰直角三角形，DC=CG=4，即可得到点D与G关于CF对称，根据对称性质得到DF=FG，即可得到当A，F，G三点共线时，AF+DF最小，最小值为AG的长，由勾股定理得AG=4 5，在Rt△AEF中，由勾股定理得 2AE=AF，即可得到AE+ 22DF= 22(AF+DF)，故AE+ 22DF的最小值为 22AG=2 10.
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24.【答案】解：(1)联列两条直线的函数关系式得：
y=x+6y=−2x+9，
解得：x=1y=7，
∴点C的坐标为(1,7).
(2)设点M的坐标为(m,m+6)，
∴点N的坐标为(3−m2,m+6)，
∴MN=|3−m2−m|=|3−3m|2，
∵MN<6，
∴|3−3m|2<6，
∴m的取值范围为−3(3)存在点D.理由如下：
设点D的坐标为(s,s+6)(−60)，则OP=t，
设直线DP的解析式为y=kx+b，代入得：
ks+b=s+6b=t，
解得：k=s−t+6sb=t，
∴直线DP的解析式为y=s−t+6sx+t，
当y=0时，s−t+6sx+t=0，
解得：x=stt−s−6，
∴点Q的坐标为(stt−s−6,0)，
∴OQ=sts−t+6，
∴1OP+1OQ=1t+1sts−t+6=2s−t+6st，
故当s=−3时，1OP+1OQ=2s−t+6st=13为定值，
此时点D的坐标为(−3,3)，
故在线段AB上存在点D，使直线PD交x轴负半轴于点Q时，1OP+1OQ的值是定值13，此时点D的坐标为(−3,3).
【解析】(1)联列两个函数解析式，即可求解．
(2)设点M的横坐标为m，结合函数关系式，即可得到点M的坐标为(m,m+6)，点N的坐标为(3−m2,m+6)，即MN=|3−m2−m|=|3−3m|2，结合MN<6，即可求出m的取值范围．
(3)设点D的坐标为(s,s+6)(−60)，待定系数法可得，直线DP的解析式为y=s−t+6sx+t，将y=0代入上式，可得x的值，即点Q的坐标为(stt−s−6,0)，所以OQ=sts−t+6，故1OP+1OQ=2s−t+6st，故当s=−3时，1OP+1OQ=2s−t+6st=13为定值，此时点D的坐标为(−3,3).
本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，一元一次不等式，绝对值，一次函数和二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键．年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
90
90
b
38.7
九年级
90
c
100
38.1
x
…
−2
−1
0
1
2
3
4
y
3
2
m
0
1
2
n