2023-2024学年湖北省武汉市江岸区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市江岸区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.二次根式 x−3有意义的条件是( )
A. x≤3B. x<3C. x≥3D. x>3
2.下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是( )
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 4，5，6
3.下列图象中不能表示y是x的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
4.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 3− 3=2C. 2× 3= 6D. 8÷ 2= 2
5.将直线y=2x−2向上平移4个单位长度后所得的直线的解析式为( )
A. y=2xB. y=2x−4C. y=2x+2D. y=2x−6
6.对甲、乙、丙、丁四名选手进行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为9.5环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
7.如图，函数y=kx+b的图象与函数y=mx+n的图象交于点P(−2,3)，其中k，b，m，n为常数，k>0>m.则关于x的不等式kx+b≤mx+n的解集是( )
A. x>−2
B. x≥−2
C. x<−2
D. x≤−2
8.《九章算术》记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺.问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺，在墙头种一株瓜，瓜蔓沿墙向下每天长7寸(1尺=10寸)；同时地上种着瓠沿墙向上每天长1尺，问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？小李绘制如图的函数模型解决了此问题.图中h(单位：尺)表示瓜蔓与弧蔓离地面的高度，x(单位：天)表示生长时间.根据小李的模型，点P的横坐标为( )
A. 98B. 9017C. 917D. 173
9.如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，AB=5，AD=8.然后向左扭动框架，得到新的四边形BCEF(点E在BC的上方).若在扭动后四边形面积减少了8，点P和Q分别为四边形ABCD和四边形BCEF对角线的交点，则PQ的长为( )
A. 102B. 52C. 2D. 2
10.1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线.如图，已知△OAB的三个顶点分别为O(0,0)，A(2,4)，B(6,0)，则△OAB的欧拉线的解析式为( )
A. y=2x−2B. y=x3C. y=−x+4D. y=−2x+203
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算： 16=______.
12.一次函数y=3x−2的图象不经过第______象限．
13.小明在课间活动中进行了8次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为160，163，160，157，160，161，162，165.则160，163，160，157，160，161，162，165这8个数的众数为______.
14.如图，点E为正方形ABCD对角线AC上一点，∠ADE=20∘，点F在边AB上，ED=BF，则∠FED=______.
15.已知一次函数y=kx+k+4(k为常数)，其图象为直线l.下列四个结论：
①无论k取何值，直线l都过点A(−1,4)；
②一次函数y=2x的图象与直线l没有公共点，则k=2；
③直线l不经过第三象限，则−4≤k<0；
④点B(x1,y1)和C(x2,y2)在直线l上，若(x1−x2)(y1−y2)<0，则k>−1；
其中正确的是______.(填序号)
16.如图，点O为等边△ABC边CB的中点.以BC为斜边作Rt△DBC(点A与点D在BC同侧且点D在△ABC外)，点F为线段OD上一点，延长AF到点E使EF=AF，∠ABD=∠DBE，若OF=2，CE=5，则BE=______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算
(1) 18− 2+ 32；
(2)(2 2+ 6)(2 2− 6).
18.(本小题8分)
根据下列条件分别确定函数y=kx+b(k,b为常数)的解析式：
(1)y与x成正比例，当x=2时，y=4；
(2)直线y=kx+b经过点(3,6)与点(1,0).
19.(本小题8分)
为了积极倡导“绿色出行，低碳生活”，某市积极构建公共绿色交通体系，公共自行车的投入使用给市民的出行带来很多便利.某学校研究性学习小组为了解某小区一周内公共自行车的使用情况，随机调查了该小区部分居民一周内平均每天使用公共自行车的骑车时间t(单位：分钟)，并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图，如图所示.请你根据图表提供的信息解答下列问题：
平均每天骑车时间统计表
(1)m=______，n=______；
(2)随机抽取的这部分居民平均每天骑车时间的中位数落在______组(填组别字母)；
(3)若该小区居民总数为2400人，试估计该小区一周内平均每天使用公共自行车的骑车时间t>20(分钟)的人数.
20.(本小题8分)
如图，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE//BD，过点D作DE//AC，CE与DE相交于点E.
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积.
21.(本小题8分)
如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点.A，B，C，E，F都是格点，N在AB上，M在EF上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.
(1)在图(1)中，先以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，再在CD上画点H，使得DH=AN；
(2)在图(2)中，先画点F关于AE的对称点P，再过点M作AE的平行线l.
22.(本小题10分)
某网络公司给出A，B两种上网的月收费方式(如下表)
设上网时间为t(单位：h)，0(1)请写出B种方式上网费用y(单位：元)关于上网时间t(单位：h)的函数解析式；
(2)若a=3，选取B种方式的上网费用低于A种方式时，求上网时间t的取值范围；
(3)若a<2.9，当上网时间为m时，A方式和B方式的上网费用相同，若m的值存在两个，直接写出a的取值范围______.
23.(本小题10分)
问题提出
如图1，点F是正方形ABCD边DC上一点，∠BAF的角平分线交边BC于点E，探究线段BE，DF和AF之间的数量关系.
问题探究
(1)先将图1问题特殊化，如图2，若AB=4，BE=EC，直接写出下列线段的长度，BE=______，DF=______，AF=______；
(2)如图1，再探究一般情形中线段BE，DF和AF的数量关系，并证明你的结论；
问题拓展
(3)如图3，四边形ABDC中，BA=AC=CD=6，AC//DB，∠B=60∘，点F在CD的延长线上，AE平分∠BAF交BD于点E，BE=4.2，直接写出FD的长度.
24.(本小题12分)
在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程.
问题呈现过点C(a,b)的直线y=kx+c(k,c为常数且k≠0)分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B，探究并说明aOA+bOB是定值.
(1)特例探究如图1，过点C(2,2)的直线y=−2x+6分别交x轴和y轴于点A和B，求1OA+1OB的值；
(2)一般证明①a=b=2时，直接写出1OA+1OB=______；a=2，b=3时，直接写出2OA+3OB=______；
②求出aOA+bOB的值；
(3)类比推广如图2，已知H(−4,0)，T(0,2)，点M在x轴的正半轴上，过M且不与y轴平行的直线l交直线HT于第一象限点N，若总有4HM+ 5HN=1，请探究：直线l是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据二次根式有意义，得：x−3≥0，
解得：x≥3.
故选C.
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】C
【解析】解：因为32+42=2552=25，所以32+42=52，所以能构成直角三角形的是C.
故选C.
根据勾股定理的逆定理得到答案．
本题考查了直角三角形的判定的运用．
3.【答案】A
【解析】解：A选项中，每取一个x的值对应一个或两个y的值，不能表示y是x的函数，故A选项符合题意；
B选项中，每取一个x的值对应一个y的值，能表示y是x的函数，故B不选项符合题意；
C选项中，每取一个x的值对应一个y的值，能表示y是x的函数，故C选项不符合题意；
D选项中，每取一个x的值对应一个y的值，能表示y是x的函数，故D选项不符合题意；
故选：A.
可根据“在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么称y是x的函数，x叫做自变量”进行求解即可．
本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解： 2与 5不能合并，故A错误，不符合题意；
2 3− 3= 3，故B错误，不符合题意；
2× 3= 6，故C正确，符合题意；
8÷ 2= 4=2，故D错误，不符合题意；
故选：C.
根据二次根式的运算法则，逐项判断即可．
本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
5.【答案】C
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y=2x−2向上平移4个单位长度后所得的直线的解析式为：y=2x−2+4，即y=2x+2.
故选：C.
直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象“上加下减，左加右减”的平移法则是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵2.56>1.34>0.21>0.16，
∴乙的方差最小，
∴成绩最稳定的是乙，
故选：B.
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7.【答案】D
【解析】解：由所给函数图象可知，
当x≤−2时，一次函数y=kx+b的图象不在一次函数y=mx+n图象的上方，即kx+b≤mx+n，
所以关于x的不等式kx+b≤mx+n的解集是：x≤−2.
故选：D.
根据所给图形，利用数形结合的数学思想即可解决问题．
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设瓜蔓、瓠蔓经过x天相遇．
根据题意，当瓜蔓、瓠蔓相遇时，得7x+10x=90，
解得x=9017，
∴点P的横坐标为9017.
故选：B.
设瓜蔓、瓠蔓经过x天相遇，根据相遇时“瓜蔓生长的长度+瓠蔓生长的长度=墙头的高度”列方程并求解即可．
本题考查一次函数的应用，根据题意列方程并求解是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：连接CF、CA、AF，
∵点P和Q分别为四边形ABCD和四边形BCEF对角线的交点，
∴CF过点Q，CA过点P，
∴点Q是CF的中点，点P是CA的中点，
∴PQ是△CAF的中位线，
∴PQ=12AF，
在矩形框架ABCD中，AB=5，AD=8，
∴矩形ABCD的面积为5×8=40，BC=AD=8，∠ABC=90∘，
由题意得，BC=EF，CE=BF，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴EF//BC，
∴∠BHF=∠AHF=90∘，
∵扭动后四边形面积减少了8，
∴四边形BCEF的面积为40−8=32，
∴8BH=32，
∴BH=4，
∴AH=AB−BH=5−4=1，
∵BF=CE=AB=5，
∴由勾股定理得，FH= BF2−BH2= 52−42=3，
在Rt△AHF中，由勾股定理得，AF= AH2+FH2= 12+32= 10，
∴PQ=12AF= 102，
故选：A.
连接CF、CA、AF，先证PQ是△CAF的中位线，得出PQ=12AF，再证四边形BCEF是平行四边形，根据矩形的面积得出平行四边形BCEF的面积，即可求出BH的长，进一步求出AH、FH的长，根据勾股定理即可求出AF的长，从而求出PQ的长．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：作△ABC的中线OD，AE交于点G，作△ABC的高ON，AM交于点H，则直线HG为欧拉线，如图所示：
设直线AB的解析式为：y=mx+n，
将点A(2,4)，B(6,0)代入y=mx+n，得：2m+n=46m+n=0，解得：m=−1n=6，
∴直线AB的解析式为：y=−x+6，
∴直线ON的解析式为：y=x，
∵点A(2,4)，
∴点H的横坐标为2，
对于y=x，当x=2时，y=2，
∴点H(2,2)，
∵点O(0,0)，A(2,4)，B(6,0)，点D，E分别为AB，OB的中点，
∴点D(4,2)，点E(3,0)，
设直线OD的解析式为：y=cx，
将点D(4,2)代入y=cx，得：4c=2，解得：c=12，
∴直线OD的解析式为：y=12x，
设直线AE的解析式为：y=px+q，
将点A(2,4)，点E(3,0)代入y=px+q，得：2p+q=43p+q=0，解得：p=−4q=12，
∴直线AE的解析式为：y=−4x+12，
解方程组y=12xy=−4x+12，得：x=8/3，yx=83y=43，
∴点G的坐标为(83,43)，
设直线HG的解析式为：y=kx+b，
将点H(2,2)，G(83,43)代入y=kx+b，得：2k+b=283k+b=43，解得：k=−1b=4，
∴直线HG的解析式为：y=−x+4，
即△OAB的欧拉线的解析式为：y=−x+4.
故选：C.
作△ABC的中线OD，AE交于点G，作△ABC的高ON，AM交于点H，则直线HG为欧拉线，先求出直线AB的解析式为：y=−x+6，进而得直线ON的解析式为y=x，由此可求出点H(2,2)，再分别求出点D(4,2)，点E(3,0)，进而再求出直线OD的解析式为y=1/2x，直线AE的解析式为：y=−4x+12，由此可得点G(8/3,4/3)，由此即可求出即△OAB的欧拉线的解析式．
此题主要考查了三角形的重心，三角形中线和高，线段垂直平分线，一次函数，理解三角形的重心，三角形中线和高，线段垂直平分线，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式是解决问题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：∵42=16，
∴ 16=4，
故答案为：4.
一个正数x的平方等于a，则这个正数x即为a的算术平方根，记作x= a，据此即可得出答案．
本题考查算术平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】二
【解析】解：∵k=3>0，b=−2<0，
∴一次函数图象在一、三、四象限，
即一次函数图象不经过第在二象限．
故答案为二．
根据一次函数与系数的关系得到一次函数图象在第一、三、四象限，即可得到不经过的象限．
本题考查了一次函数与系数的关系：由于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
13.【答案】160
【解析】解：这组数据中，出现最多的数据是160，
∴这组数据的众数是：160，
故答案为：160.
根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，来进行解答即可
本题考查了众数，解题的关键是根据众数的定义来进行解答．
14.【答案】150∘
【解析】解：连接EB，
由正方形ABCD对角线AC是对称轴，∠ADE=20∘，ED=BF，
得BE=ED=BF，∠ABE=∠ADE=20∘，
得∠BFE=∠BEF=(180−20)÷2=80∘，
得∠AEF=∠BFE−∠BAC=80−45=35∘，
由∠AED=∠AEB=180−∠BAC−∠ABE=180−45−20=115∘，
得∠FED=35+115=150∘.
故答案为：150∘.
连接EB，由正方形ABCD对角线AC是对称轴，∠ADE=20∘，ED=BF，得BE=ED=BF，∠ABE=∠ADE=20∘，得∠BFE=∠BEF=(180−20)÷2=80∘，得∠AEF=∠BFE−∠BAC=80−45=35∘，由∠AED=∠AEB=180−∠BAC−∠ABE=180−45−20=115∘，即可得∠FED=35+115=150∘.
本题主要考查了正方形的性质，解题关键是正确作出辅助线．
15.【答案】①②③
【解析】解：∵y=kx+k+4=k(x+1)+4，
∴x=−1时，y=4，
∴无论k取何值，直线l都过点A(−1,4)，
∴①正确．
∵一次函数y=2x的图象与直线l没有公共点，
∴直线l平行于直线y=2x，
∴k=2，
∴②正确．
∵直线l不经过第三象限，
∴k<0，
当直线l经过原点时，k+4=0，解得k=−4，
∴直线l不经过第三象限，则−4≤k<0；
∴③正确．
∵直线l上有两点B(x1,y1)和C(x2,y2)，且(x1−x2)(y1−y2)<0，
∴y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴④错误．
故答案为：①②③．
利用一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质依次判断即可．
本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
16.【答案】9
【解析】解：延长CD至N，使DN=CD，连接BN，CF，并延长CF交BN于M，连接AM在BE上截取BG=BM，连接CG，
∵CD=DN，∠BDC=∠BDN=90∘，BD=BD，
∴△BDN≌△BDC(SAS)，
∴∠CBD=∠NBD，
∵OD=DN，O为BC中点，
∴OD//BN，
∴F为CM中点，
∴BM=2OF=4，CF=FM，
∵AF=EF，∠AFM=∠CFM，
∴△AFM≌△EFC(SAS)，
∴AM=CE=5，∠FAM=∠CEF，
∴AM//CE，
∴∠MAC+∠ACE=180∘，
∴∠BAC−∠BAM+∠ACB+∠BCG+∠GCE=180∘，
∵∠BAC=∠ACB=60∘，
∴∠BCG+∠GCE−∠BAM=60∘，
∵∠ABD=∠DBE，∠NBD=∠CBD，
∴∠ABD−∠NBD=∠DBE−∠CBD，
即∠CBE=∠ABN，
∵AB=BC，BG=BM，
∴△ABM≌△CBG(SAS)，
∴AM=CG，∠BAM=∠BCG，
∵CE=AM，
∴CG=CE，
∵∠BCG+∠GCE−∠BAM=60∘，
∴∠GCE=60∘，
∴△GCE为等边三角形，
∴EG=EC=5，
∴BE=BG+EG=9.
故答案为：9.
延长CD至N，使DN=CD，连接BN，CF，并延长CF交BN于M，连接AM在BE上截取BG=BM，连接CG，证明△AFM≌△EFC(SAS)，△ABM≌△CBG(SAS)，即可求解．
本题考查了三角形的性质，解题关键在于熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．
17.【答案】解：(1) 18− 2+ 32
=3 2− 2+4 2
=6 2；
(2)(2 2+ 6)(2 2− 6)
=8−6
=2.
【解析】(1)先化简，然后合并同类二次根式即可；
(2)根据平方差公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
18.【答案】解：(1)设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，
将x=2，y=4代入正比例函数y=kx(k≠0)，得4=2k，
∴k=2，
∴函数的表达式为y=2x；
(2)根据题意，得3k+b=6k+b=0，
解得k=3b=−3
∴函数的解析式为y=3x−3.
【解析】(1)将x=2，y=4代入正比例函数y=kx(k≠0)进行计算即可；
(2)把点(3,6)和点(1,0)代入一次函数的解析式，列出方程组，求出未知数便可求出其解析式．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
19.【答案】32 20 B
【解析】解：(1)28÷35%=80(人)，
∴m=80−16−28−4=32(人)，
n%=1680=20%，
故答案为：32；20.
(2)将骑车时间按从小到大的顺序排列，可知居民平均每天骑车时间的中位数落在B组，
故答案为：B.
(3)2400×28+480=960(人)，
答：估计该小区一周内平均每天使用公共自行车的骑车时间t>20(分钟)的人数为960人．
(1)先计算出总抽取人数为：28÷35%=80(人)，则m=80−16−28−4=32(人)，n%=1680=20%；
(2)根据中位数的定义即可求出结果；
(3)估计该小区一周内平均每天使用公共自行车的骑车时间t>20(分钟)的人数为：2400×28+480，计算即可．
本题考查的是扇形统计图，用样本估计总体，算术平均数，中位数和频数分布表，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=CO，BO=DO，
∴OD=OC=OA=OB，
∴四边形CODE是菱形；
(2)解：∵AB=6，BC=8，
∴S矩形ABCD=AB⋅BC=6×8=48，
∴S△OCD=14S矩形ABCD=12，
∴S四边形CODE=2S△OCD=24.
【解析】(1)由题意可证四边形OCED是平行四边形，由矩形的性质可得OD=OC=OA=OB，可得结论；
(2)首先求得矩形的面积，然后求得△OCD的面积，最后求的菱形的面积即可．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图1中，四边形ABDC，点H即为所求；
(2)如图2中，点P，直线l即为所求．
【解析】(1)根据平行四边形的判定画出图形，连接AD，BC交于点O，连接NO，延长NO交CD一点H，点H即为所求(证明△ANO≌△DHO，推出AN=DH)；
(2)根据轴对称变化的性质求出点F的对应点P，取格点T，连接MT交PF于点J，连接EJ，延长EJ交FT于点K，作直线MK即可(△EFT是等腰三角形，证明△MET≌△KTM，推出ME=KT，可得结论).
本题考查作图-轴对称变换，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】0.75【解析】解：(1)当0∴B种方式上网费用y关于上网时间t的函数解析式为y=45(0(2)对于A种上网方式，当0∴A种方式上网费用y关于上网时间t的函数解析式为y=30(0A、B两种方式上网费用y关于上网时间t的函数图象如图所示：
当两图象相交时，得y=3t−60y=45，
解得x=35y=45，
∴两图象交点坐标为(35,45)，
由图象可知，当B种方式的上网费用低于A种方式时，上网时间t的取值范围为35(3)对于A种上网方式，当0∴A种方式上网费用y关于上网时间t的函数解析式为y=30(0如图，当30当图象PM经过坐标(720,2055)时，得720a+30(1−a)=2055，解得a≈2.93；
当图象PN经过坐标(50,45)时，得50a+30(1−a)=45，解得a=0.75；
∴若m的值存在两个，a的取值范围为0.75故答案为：0.75(1)根据“当0(2)根据(1)的方法写出A种方式上网费用y关于上网时间t的函数解析式，在同一坐标系中作出A、B两种方式上网费用y关于上网时间t的函数图象，根据图象作答即可；
(3)求出超时费为a元/h时A种方式上网费用y关于上网时间t的函数解析式，在上面的坐标系数中分析两图象交点情况，从而求出a的取值范围．
本题考查一次函数的应用等，理解题意、写出函数关系式并画出其图象是解题的关键．
23.【答案】2 3 5
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=4，
∴BE=EC=12BC=2，
过E作EH⊥AF于点H，
∵AE平分∠BAF，
∴EH=BE=2，
∵AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AHE(HL)，
∴AH=AB=4，
∵EF=EF，
∴Rt△EHF≌Rt△ECF(HL)，
∴CF=FH，
设DF=x，则CF=CH=4−x，
∴AF=8−x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，
∴42+x2=(8−x)2，
解得x=3，
∴DF=3，AF=5，
故答案为：2，3，5.
(2)AF=DF+BE，理由如下：
延长CB至点Q，使BQ=DF，连接AQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABE=∠ABQ=90∘，AB=AD，
在△ADF和△ABQ中，
AD=AB∠D=∠ABQDF=BQ，
∴△ADF≌△ABQ(SAS)，
∴AF=AQ，∠DAF=∠BAQ，
∵AE平分∠BAF，
∴∠FAE=∠BAE，
∴∠DAF+∠FAE=∠BAE+∠BAQ，
即∠DAE=∠QAE，
又∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEQ，
∴∠AEQ=∠QAE，
∴QA=QE=QB+BE，
∴AF=DF+BE.
(3)延长EB至点G，使BG=CF，练接AG，
∵BA=CD，AC//DB，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∵∠B=60∘，
∴∠C=120∘，∠ABC=120∘，
∵AB=AC，BG=CF，
∴△ABG≌△ACF(SAS)，
同(2)中方法可得AG=EG=AF，
设DF=a，则CF=a+6，AF=AG=EG=a+6+4.2=a+10.2，
过F作FM⊥AC交AC延长线于点M，
∵∠ACF=120∘，
∴∠FCM=60∘，∠MFC=30∘，
∴CM=12CF=12a+3，
∴FM= 32(a+6)，
∴AM=AC+CM=12a+9，
在Rt△AMF中，AM2+FM2=AF2，
即(12a+9)2+34(a+6)2=(a+10.2)2，
解得a=1.65，
即FD=1.65.
(1)由中点可得BE=EC=2，再根据角平分线得到两组全等三角形Rt△EHF≌Rt△ECF、Rt△EHF≌Rt△ECF，最后利用勾股定理建立方程即可；
(2)延长CB至点Q，使BQ=DF，先证△ADF≌△ABQ，再证∠DAE=∠QAE，最后证出∠AEQ=∠QAE即可得证；
(3)同第(2)问构造全等得到AG=EG=AF，再利用∠ACD=120∘构造特殊直角三角形，最后利用勾股定理求解即可．
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题的关键．
24.【答案】12 1
【解析】解：(1)直线y=−2x+6分别交x轴和y轴于点A和B，则点A、B的坐标分别为：(3,0)、(0,6)，
则AO=3，OB=6，
则1AO+1BO=13+16=12；
(2)①将点C的坐标代入一次函数表达式得：b=ak+c，
则点A、B的坐标分别为：(−ck,0)、(0,c)，
当a=b=2时，即2=2k+c，则1−k=12c，
则OA=−ck，OB=c，则1AO+1OB=1−kc=12；
当=2，b=3时，同理可得：2OA+3OB=1，
故答案为：12，1；
②由①知，b=ak+c，OA=−ck，OB=c，
则aAO+bOB=−akc+bc=cc=1；
(3)由点H、T的坐标得，直线HT的表达式为：y=12x+2，设直线l的表达式为：y=mx+n，
联立上述两式得：12x+2=mx+n，
解得：x=2n−41−2m，则点N(2n−41−2m,n−4m1−2m)，
由点H、N的坐标得，NH2=(2n−41−2m+4)2+(n−4m1−2m)2=5(n−4m)2(1−2m)2，则HN= 5(n−4m)1−2m，
由直线l的表达式知，点M(−nm,0)，则HM=−nm−(−4)=4m−nm，
∵4HM+ 5HN=1，即4m4m−n+1−2mn−4m=1，
解得：n=1−2m，
则y=mx+n=m(x−2)+1，
当x=2时，y=1，
即直线l过定点(2,1).
(1)AO=3，OB=6，则1AO+1BO=13+16=12；
(2)①点A、B的坐标分别为：(−ck,0)、(0,c)，即可求解；
②由①知，b=ak+c，OA=−ck，OB=c，则aAO+bOB=−akc+bc=cc=1；
(3)求出HN= 5(n−4m)1−2m，HM=−nm−(−4)=4m−nm，即可求解．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数的图象和性质，函数表达式的求解等，按题设的顺序逐次求解是解题的关键．选手
甲
乙
丙
丁
方差
1.34
0.16
2.56
0.21
组别
骑车时间t(分钟)
人数(频数)
A
t≤10
16
B
10m
C
2028
D
t>30
4
收费方式
月使用费/元
包时上网时间/h
超时费/(元/h)
A
30
30
a(a>0)
B
45
50
3