[数学][期末]江西省宜春市2023-2024学年高一下学期期末联考试题(解析版)

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，，所以.
故选：D.
2. “”是“为第一象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，则，，为第一象限或第三象限角，
反过来，若为第一象限角，则，
所以“”是“为第一象限角”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 已知向量，若，则实数（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】C
【解析】向量，则，解得.
故选：C.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由可得，
.
故选：D.
5. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】B
【解析】原不等式即为，解得，
故原不等式的解集为.
故选：B.
6. 若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，
所以且，则，
所以，则.
故选：D．
7. 一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】从标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，则所有可能结果有，，，，，，
选到3号球有两种可能：第二次摸出的为3号球，或第一次摸出2号球，第二次摸出1号球，
则满足第二次摸出的为3号球的有，，所以第二次摸出的为3号球的概率；
第一次摸出2号球，第二次摸出1号球概率；
所以选到3号球的概率.
故选：C.
8. 古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系，
由题意得，则，，，，，，．
因为，所以
解得所以．
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】CD
【解析】对于A，的定义域为的定义域为，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数，故A错误；
对于B，的定义域为的定义域为，两函数的定义域相同，
因为，所以两函数的对应关系不相同，所以两函数不是同一个函数，故B错误；
对于C，的定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同，
所以是同一个函数，故C正确；
对于D，的定义域为的定义域为，两函数的定义域相同，而且两函数的对应关系相同，所以两函数是同一个函数，故D正确.
故选：CD.
10. 已知复数，则（ ）
A. 的虚部为
B. 是纯虚数
C. 的模是
D. 在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】AC
【解析】对A：由虚部定义知的虚部为，故A正确；
对B：纯虚数要求实部为0，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误.
故选：AC.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（ ）
A. 的面积为定值
B.
C. 点A到直线的距离为定值
D. 三棱锥的体积不为定值
【答案】ABC
【解析】对于A，因为在中，高为到的距离，即的长度，为定值，
底边为的长度，也为定值，所以的面积为定值，故A正确；
对于B，因为在上，，所以，即，
故B正确；
对于C，A到直线的距离等于A到的距离，为定值，故C正确；
对于D，的面积为，而A到平面的距离，
即A到平面的距离，为，
因此，为定值，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，其中是实数，则__________.
【答案】0
【解析】因为，所以，解得，
所以.
故答案为：0.
13. 函数的定义域为______.
【答案】.
【解析】由函数，则满足，
解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14. 已知平面内三点不共线，且点满足，则是的__________心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”）
【答案】垂
【解析】由，
知，
，
故，，从而为的垂心.
故答案为：垂.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知正四棱锥中，，.
（1）求四棱锥的表面积；
（2）求四棱锥的体积.
解：（1）连接相交于，连接
过点作于点，连接，则是斜高，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
，
．
所以正四棱锥的表面积为84．
（2），
所以正四棱锥的体积为.
16. 已知角的终边经过点.
（1）求的值；
（2）求值.
解：（1）由条件知，
.
（2）.
17. 为了促进五一假期期间全区餐饮服务质量的提升，某市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度.为此该部门随机调查了500名游客，把这500名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中的值和评分的中位数；
（2）若游客的“认可系数”（认可系数）不低于0.85，餐饮服务工作按原方案继续实施，否则需进一步整改，根据所学的统计知识，结合“认可系数”，判断餐饮服务工作是否需要进一步整改，并说明理由.
解：（1）由图可知：，解得，
因为内的频率为，
的频率为，
所以中位数位于区间内，设中位数为，
则，解得，
所以评分的中位数为.
（2）由图可知，认可程度平均分为：
，
则游客的“认可系数”为，
所以餐饮服务工作需要进一步整改.
18. 在中，角的对边分别为，已知．
（1）求和的值；
（2）求面积．
解：（1）在中，由，可得．
又由及，可得．
由余弦定理得，得，
由，解得．
所以．
（2）由（1）知，，
所以的面积．
19. 如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，点E，F分别是线段，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点C到平面的距离.
解：（1）∵，，，∴，
又为等边三角形，∴，
在中，由余弦定理得，
解得，∴，即．
∵，，平面，
∴平面.
（2）取中点，连接，
∵为等边三角形，∴，
又由（1）可知平面，平面，∴，
又∵，且平面，∴平面.
∵为的中点，∴点到平面的距离等于点到平面的距离．
在中，可知，在中，可知，
∵是的中位线，∴，
可得的面积
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，
又的面积，
点E到平面的距离为，
∴三棱锥的体积.
由，得，即点到平面的距离为.