2021-2022学年江西省宜春市丰城九中高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年江西省宜春市丰城九中高一（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知复数为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知向量，，，，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，已知等腰三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是(    )

A. 函数的最小正周期为
B. 函数在区间上单调递增
C. 点是函数图象的一个对称中心
D. 将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象

6. 如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的是(    )
   ，，，四点共面；与异面；
   与的交点可能在直线上，也可能不在直线上；
   与的交点一定在直线上．

A.  B.  C.  D.

7. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在中，，，，，分别是边上的三等分点，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列函数周期为的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不同的直线，，是两个不同的点，下列说法正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则

11. 下列说法错误的是(    )

A. 若，，则
B. 若，则存在唯一实数使得
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
D. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

12. 下列结论正确的是(    )

A. 在中，若，则
B. 在锐角三角形中，不等式恒成立
C. 在中，若，则是直角三角形
D. 在中，若，，，则的外接圆半径为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 计算          ．
14. 已知，，，则向量与向量的夹角为______．
15. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为______ ．

16. 已知是斜三角形，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知复数，是虚数单位．
    若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；
    若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值．
18. 在长方体中，，，点是的中点．
    求证：平面；
    求异面直线和所成角的余弦值．

19. 已知，，．
    求的最小正周期及单调递减区间；
    求函数在区间上的最大值和最小值．
20. 如图所示，，，，，．
    若为中点，求；
    是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21. 在锐角中，角，，，的对边分别为，，，从条件：，条件：，条件：这三个条件中选择一个作为已知条件．
    求角的大小；
    若，求周长的取值范围．
22. 已知函数．
    Ⅰ若函数是偶函数，求的最小值；
    Ⅱ若，求的值；
    Ⅲ求函数在上的最大值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：．
根据已知条件，先对化简，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：向量，，，，
向量，垂直，
所以，解得，
故选：．
根据向量垂直代入数量积即可求得答案．
本题主要考查向量的数量积的应用，考查计算能力，属于基础题目．
 

3.【答案】 

【解析】解：是一平面图形的直观图，斜边，
直角三角形的直角边长是，
直角三角形的面积是，
原平面图形的面积是，
故选：．
根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的倍，得到结果．
本题考查平面图形的直观图，考查直观图与平面图形的面积之间的关系，考查直角三角形的面积，是一个基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查辅助角公式和诱导公式的应用，以及特殊角的三角函数值，考查运算求解能力，属于基础题．
先利用辅助角公式和诱导公式将原式化为，再由特殊角的三角函数值，得解．

【解答】

解：
．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：函数，
其图象相邻两条对称轴之间的距离为，．
直线是其中一条对称轴，，，
令，可得，
故函数的周期为，故A错误；
在区间上，，函数没有单调性，故B错误；
令，求得，可得点是函数图象的一个对称中心，故C正确；
将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象，故D错误，
故选：．
由题意利用正弦函数的图象和性质，函数的图象变换规规律，先求出函数的解析式，从而得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数图象的变换规规律，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：依题意，可得，，故FG，所以，，，四点共面，所以正确，错误；
因为，，所以四边形是梯形；
与必相交，设交点为．
因为点在上，故点在平面上，
同理，点在平面上，所以点是平面与平面的交点．
又是这两个平面的交线，
所以点一定在直线上．所以正确，错误．
故选：．
利用平面几何的性质及平行公理可得，且四边形是梯形，结合公理可得答案．
本题考查了空间中两直线的位置关系，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据已知条件，结合三角函数的诱导公式和余弦函数的二倍角公式，即可求解．
本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦函数的二倍角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，





．
故选：．
作图，根据向量三角形法用表示出，结合已知条件得答案．
本题考查平面向量数量积的运算性质，数形结合思想，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：的最小正周期为，排除；
的最小正周期为，排除；
的最小正周期为，故C满足条件；
的最小正周期为，故D满足条件，
故选：．
利用周期公式求出个选项的周期即可．
本题主要考查三角函数的周期，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中：若，，则与相交，平行或异面，故A错误；
在中：若，，则或，故B错误；
在中：若，，，根据线面平行的性质定理，则，故C正确；
在中：若，，，，则，故D正确．
故选：．
根据空间中线面、线线的位置关系一一判断即可．
本题考查了空间中直线与直线，直线与平面间的位置关系，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于：若，，则，故A错误；
对于：若，则存在唯一实数使得，故B错误；
对于：两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确；
对于：已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是，故D错误；
故选：．
直接利用向量的线性运算，向量的坐标运算，共线向量的充要条件的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的坐标运算，共线向量的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式判断、、、的结论．

【解答】

解：对于：在中，若，故，利用正弦定理：，故A正确；
对于：在锐角中，，所以，
故，所以恒成立，故B正确；
对于：在中，若，整理得：，
又，所以，即，
由于，，故，，所以，则是直角三角形，故C正确；
对于：在中，若，，三角形面积，
所以 ，解得，
所以，所以，则，故D错误；
故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数代数形式的乘法运算以及复数模的公式，需要熟练掌握公式，属于基础题．
根据已知条件，运用复数的运算法则以及复数模的公式，即可求解．

【解答】

解：，
故答案为：

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，设向量与向量的夹角为，
又由，，则，
解可得，
又由，则；
故答案为：．
根据题意，设向量与向量的夹角为，由数量积的计算公式可得，求出的值，分析可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设正四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角形底边上的高为，
则依题意有：，
因此有舍去；
故答案为：．
先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．
本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了转化思想，推理能力与计算能力，属于中档题．
由，利用正弦定理可得，于是，即可得出的值，由，，可得，由正弦定理可知，由余弦定理，联立解出，再利用三角形面积计算公式即可得出．
【解答】
解：，由正弦定理可得，
，
，
得，
，
．
又，
，
，
，
为斜三角形，
，
，由正弦定理可知，
由余弦定理，
，
由解得，，负值舍去
．
故答案为：．  

17.【答案】解：，，，
在复平面内对应的点落在第一象限，
，解得，即实数的取值范围是；
由虚数是实系数一元二次方程的根，
得，即，
整理得，
，解得．
故． 

【解析】本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
由已知结合复数代数形式的乘除运算化简，再由其实部与虚部均大于列不等式组求解的范围；
把代入实系数一元二次方程，整理后利用复数相等的条件列式求得与值．
 

18.【答案】证明：连接交于点，连接，
是中点，是中点，，
又平面，平面，
平面；
解：连接，，
在长方体中，，，
四边形是平行四边形，
，
或其补角为异面直线与所成的角，
在中，，，，
，
异面直线与所成的角的余弦值为． 

【解析】连接交于点，连接，由是中点，是中点，知，由此能证明平面．
连接，，在长方体中，由，，知四边形是平行四边形，所以或其补角为异面直线与所成的角，由此能求出异面直线与所成的角的余弦值．
本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答．
 

19.【答案】解：，，
由
，
的最小正周期，
由，
得：，
的单调递减区间为，；
由可得：
当时，函数取得最小值为
当时，函数取得最大值为
故得函数在区间上的最大值为，最小值为． 

【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
由，根据向量的数量积的运用可得的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
在上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出的最大值和最小值．
 

20.【答案】解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
因为，，，
所以，
所以，，．
因为，，所以，
又点为线段的中点，所以点为线段中点，
所以，，
所以，，
所以．
因为，，
所以，
因为，，
所以，
若，
则，
所以或，
故存在或，使得． 

【解析】本题考查向量数量积的坐标运算、向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系、向量线性运算的坐标表示，属于中档题．
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
根据点为线段的中点得到点为线段中点，分别求出、的坐标，利用向量数量积的坐标运算求出的值；
利用向量线性运算的坐标表示分别求出、的坐标，根据结合向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系求出的值．
 

21.【答案】解：选条件：因为，所以，即，
又因为为锐角三角形，所以，
，所以；
选条件：因为，所以，所以，
又因为，所以；
选条件：由正弦定理可得，
即，
又因为，所以，
，所以；

，
，，
所以，即
又，
周长的取值范围为． 

【解析】选条件切化弦，得解；选条件等价转换得解；选条件由正弦定理，边化角得，再根据诱导公式等价转化得解；
由正弦定理，边化角得，结合的范围求解．
本题考查了诱导公式和正弦定理的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ函数，
因为函数是偶函数，且，
令，，解得，，
所以时取得最小值为；
Ⅱ因为，所以，
因为，所以，若，，不合题意，舍去；
所以，所以，
所以；
Ⅲ时，，
所以；
设，，
则，其中，
当，即时，函数；
当，即时，函数；
所以的最大值为． 

【解析】Ⅰ化函数为正弦型函数，根据三角函数的奇偶性即可求出的最小值；
Ⅱ根据题意确定的取值范围，利用三角恒等变换与同角的三角函数关系，即可求出的值；
Ⅲ求出时的取值范围，利用换元法，即可求出的最大值．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力和转化思想，是中档题．