2023-2024学年江西省宜春市高一下学期6月期末联考数学试题（含解析）

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这是一份2023-2024学年江西省宜春市高一下学期6月期末联考数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈N|x≤2}，B={x|−2A. {0,1,2}B. {1,2}C. {0,1}D. {1}
2.“tanα>0”是“α为第一象限角”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量a=(2,m)，b=(m,3)，若a⋅b=5，则实数m=
A. − 2B. 0C. 1D. 43
4.已知sinα−2csα=0，则csα−4sinαsinα+csα=
A. 49B. −53C. 34D. −73
5.不等式(x−2)(1−2x)≥0的解集为
A. xx>12B. x12≤x≤2
C. xx≤12或x≥2D. xx≤12
6.若函数f(x)=x2+ax+1是定义在(−b,2b−2)上的偶函数，则fb2=
A. 14B. 54C. 74D. 2
7.一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为
A. 16B. 13C. 12D. 23
8.古希腊数学家特埃特图斯(Tℎeaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知AB=BC=CD=2，AB⊥BC，AC⊥CD，若DB=λAB+μAC，则λ+μ=
A. − 22B. 22C. 2+12D. 2−12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，表示同一个函数的是( )
A. y=x与y=x2−xx−1B. y=x−2与y= (x−2)2
C. y=x0与y=1x≠0D. fx=x2与St=t2
10.已知复数z=2+ 3i，则
A. z的虚部为 3B. z是纯虚数
C. z的模是 7D. z在复平面内对应的点位于第四象限
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=13，则
A. △BEF的面积为定值B. EF⊥AC
C. 点A到直线EF的距离为定值D. 三棱锥E−AFB的体积不为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知2−ix=4+yi，其中x,y是实数，则x+y= ．
13.函数f(x)=tan2x+π5的定义域为_________．
14.已知平面内A，B，C三点不共线，且点O满足OA⋅OB=OB⋅OC=OA⋅OC，则O是△ABC的_________心．(填“重”或“垂”或“内”或“外”)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，已知在正四棱锥S−ABCD中，SA=5，AB=6．
(1)求四棱锥S−ABCD的表面积；
(2)求四棱锥S−ABCD的体积．
16.(本小题15分)
已知角α的终边经过点(1,2)．
(1)求csα−π2−sin3π2+α2sin(α+π)+cs(2π−α)的值；
(2)求2sin2α+sinαcsα的值．
17.(本小题15分)
为了促进五一假期期间全区餐饮服务质量的提升，某市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了500名游客，把这500名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中x的值和评分的中位数；
(2)若游客的“认可系数”认可系数=认可程度平均分100不低于0.85，餐饮服务工作按原方案继续实施，否则需进一步整改，根据所学的统计知识，结合“认可系数”，判断餐饮服务工作是否需要进一步整改，并说明理由．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b= 2，c=2，csC=− 33．
(1)求sinB和a的值；
(2)求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
如图，在三棱锥A−BCD中，∠DBC=90°，BD=3，BC=4，△ABC为等边三角形，cs∠ACD=25，点E，F分别是线段AD，CD的中点．
(1)证明：BD⊥平面ABC；
(2)求点C到平面BEF的距离．
答案解析
1.A
【解析】解：∵集合A={x∈N|x≤2}，B={x|−2∴A∩B={0,1,2}．
故选：A．
2.B
【解析】
解：若tanα>0，则角α是第一象限的角或角α是第三象限的角，所以充分性不成立．
反之，α是第一象限角，则tan α>0，所以必要性成立，
故选B．
3.C
【解析】解：向量a=(2,m)，b=(m,3)，
则 a⋅b=2m+3m=5m=5 ，解得 m=1 ，
所以实数m等于1 ．
4.D
【解析】解：由 sinα−2csα=0 可得 tanα=2 ，
csα−4sinαsinα+csα=1−4tanαtanα+1=1−82+1=−73 ．
故选：D．
5.B
【解析】原不等式即为(x−2)(2x−1)≤0，
解得12≤x≤2，
故原不等式的解集为{x|12≤x≤2}.故选B．
6.D
【解析】解：函数 f(x)=x2+ax+1 是定义在 (−b,2b−2) 上的偶函数，
所以 −b+2b−2=0a=0 ，则 a=0b=2 ，
所以 f(x)=x2+1 ，则 fb2=f(1)=12+1=2 ．
故选：D．
7.C
【解析】
解：选到3号球有两种可能：第二次摸出的为3号球，或第一次2号球，第二次1号球，则“选到3号球”的概率P=23×12+13×12=12.故选C．
8.B
【解析】解：以C为坐标原点，CD，CA所在直线分别为x，y轴建立如图所示的坐标系，
由题意得AC=2 2，则A(0,2 2),B( 2, 2),C(0,0),D(−2,0),AB=( 2,− 2),AC=(0,−2 2)，DB=( 2+2, 2)，所以 2+2= 2λ 2=− 2λ−2 2μ，
解得λ= 2+1μ=−1− 22，所以λ+μ= 22．
故选：B．
首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算求出结果．
本题考察的知识点：向量的坐标运算，平面直角坐标系，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
9.CD
【解析】
解：对于选项A，y=x的定义域为R,y=x2−xx−1的定义域为x∣x≠1，
两函数的定义域不相同，
所以不是同一个函数，故选项A错误；
对于选项B，y=x−2的定义域为R,y= (x−2)2的定义域为R，
两函数的定义域相同，但因为y= (x−2)2=x−2，所以两函数的对应关系不相同，
所以两函数不是同一个函数，故选项B错误；
对于选项C，y=x0=1的定义域为−∞,0∪0,+∞，
两函数的定义域相同，对应关系也相同，
所以是同一个函数，故选项C正确；
对于选项D，fx=x2的定义域为R,St=t2的定义域为R，
两函数的定义域相同，而且两函数的对应关系相同，
所以两函数是同一个函数，故选项D正确．
故选：CD．
10.AC
【解析】
解：对于A，由虚部定义知z的虚部为 3，故A正确;
对于B，纯虚数要求实部为0，故B错误;
对于C，|z|= 22+( 3)2= 7，故C正确;
对于D，z在复平面内对应的点为(2, 3)，位于第一象限，故D错误．
故选AC．
11.ABC
【解析】解：对于A，因为在△BEF中，高为B到EF的距离，即BB1的长度，为定值，
底边为EF的长度，也为定值，所以△BEF的面积为定值，故A正确；
对于B，因为EF在B1D1上，B1D1//BD，BD⊥AC，所以B1D1⊥AC，即EF⊥AC，故B正确；
对于C，点A到直线EF的距离等于点A到D1B1的距离，为定值，故C正确；
对于D，ΔBEF面积始终不变，三角形S△BEF=12×13×1=16，
因为AO⊥面BEF，而点A到平面BEF的距离即点A到平面BB1D1D的距离，为 22，
因此V三棱锥E−AFB=V三棱锥A−BEF=13×16× 22= 236，为定值，故D错误．
故选：ABC．
12.0
【解析】
解：因为2−ix=2x−xi=4+yi，
所以2x=4−x=y,
解得：x=2,y=−2，
所以x+y=0．
故答案为：0
13.{x|x≠kπ2+3π20,k∈Z}
【解析】解：令，
解得，
所以函数的定义域为
故答案为{x|x≠kπ2+3π20,k∈Z}．
14.垂
【解析】解：因为OA⋅OB=OB⋅OC⇔OB⋅(OA−OC)=0⇔OB⋅CA=0⇔OB⊥CA，
同理OA⊥CB，OC⊥AB，
故O为△ABC的垂心．
15.解：(1)连接AC，BD相交于O，连接SO，
过点S作SE⊥BC于点E，连接OE，则SE是斜高，
在直角三角形SOB中，SO= SB2−OB2= 52−(6 22)2= 7，
在直角三角形SOE中，SE= SO2+12AB2= ( 7)2+(62)2=4，
S△BCS=12BC⋅SE=12×6×4=12，
S表=S侧+S底=4S△BCS+62=48+36=84．
所以正四棱锥S−ABCD的表面积为84．
(2)V=13SABCD⋅SO=13×(6×6)× 7=12 7，
所以正四棱锥S−ABCD的体积为12 7;

【解析】本题考查正棱锥的结构特征及表面积的求解、体积的求解，属于中档题．
(1)根据棱锥的表面积公式即可求解，
(2)根据棱锥的体积公式即可求解．
16.解：由条件知tanα=21=2，
(1)cs(α−π2)−sin(3π2+α)2sin(α+π)+cs(2π−α)=sin α+cs α−2sin α+cs α=tan α+1−2tan α+1=2+1−2×2+1=−1；
(2)2sin2α+sinαcsα=2sin2 α+sin αcs αcs2 α+sin2 α=2tan2 α+tan α1+tan2 α=2×22+21+22=2．
【解析】本题主要考查诱导公式，同角三角的基本关系式，属于基础题．
(1)由任意角正切的定义得tanα=2，利用诱导公式、同角三角的基本关系式求得正确答案；
(2)利用同角三角的基本关系式求得正确答案．
17.解：(1)由图可知：10×(x+0.015+0.02+0.03+0.025)=1，解得x=0.01．
因为[50,80)内的频率为0.1+0.15+0.2=0.45<0.5，
所以中位数位于区间[80,90)内，设中位数为m，
则0.45+(m−80)×0.030=0.5，解得m=2453，
所以评分的中位数为2453．
(2)由图可知，认可程度平均分为：
x=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5<0.85×100=85，
所以餐饮服务工作需要进一步整改．
【解析】本题考查频率分布直方图、中位数及平均值，属基础题．
(1)由频率分布直方图中所有频率和为1可求得x，再求评分的中位数即可；
(2)由频率分布直方图求出认可程度平均分后即可．
18.解：(1)在△ABC中，由csC=− 33，可得sinC= 1−cs2C= 63．
又由csinC=bsinB及b= 2，c=2，可得sinB= 33．
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC，得3a2+2 6a−6=0，
因为a>0，故解得a= 63．
所以sinB= 33，a= 63．
(2)由(1)知，a= 63，sinC= 63，
所以△ABC的面积S△ABC=12absinC=12× 63× 2× 63= 23．
【解析】本题考查正余弦定理及三角形面积，属于基础题．
(1)先求出sinC，由正弦定理得出sinB，再由余弦定理求出a；
(2)由(1)及三角形面积公式求解即可．
19.(1)证明：∵∠DBC=90∘，BD=3，BC=4，∴CD=5，
又△ABC为等边三角形，∴AC=BC=4，
在△ACD中，由余弦定理得cs∠ACD=AC2+CD2−AD22AC⋅CD=42+52−AD22×4×5=25，解得AD=5，
∴AB2+BD2=AD2，即BD⊥BA．
∵BD⊥BC，BA∩BC=B，BA，BC⊂平面ABC，
∴BD⊥平面ABC．
(2)解：取BC中点O，连接AO，∵△ABC为等边三角形，∴AO⊥BC，
又由(1)可知BD⊥平面ABC，AO⊂平面ABC，∴BD⊥AO，
又∵BD∩BC=B，且BD，BC⊂平面BCD，∴AO⊥平面BCD．
∵F为CD的中点，
∴点C到平面BEF的距离等于点D到平面BEF的距离．
在Rt△BCD中，可知BF=CD2=52，
在Rt△ABD中，可知BE=AD2=52，
∵EF是△ACD的中位线，
∴EF=AC2=2，
可得△BEF的面积S△BEF=12×2× (52)2−12= 212．
设点D到平面BEF的距离为d，则三棱锥D−BEF的体积V三棱锥D−BEF= 216d，
又△DBF的面积S△DBF=12×3×4×12=3，
点E到平面DBF的距离为OA2= AC2−OC22= 42−(12×4)22= 3，
∴三棱锥E−DBF的体积V三棱锥E−DBF=13×3× 3= 3，
由 216d= 3，得d=6 77，即点C到平面BEF的距离为6 77．

【解析】本题主要考查线面垂直的判定和点到面的距离的求解，属于中档题．
(1)利用线面垂直的判定定理证明即可
(2)利用等体积法可求出点C到平面BEF的距离．

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