2025届高考数学一轮复习专练48 利用空间向量研究距离问题（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)已知平面α的一个法向量为n=-1,-2,2,点A0,1,0为α内一点,则点P1,0,1到平面α的距离为( )
A.4B.3C.2D.1
【解析】选D.因为AP=1,-1,1,n=-1,-2,2,所以AP·n=-1+2+2=3,n=1+4+4=3,
则点P到平面α的距离d=AP·nn=1.
2.(5分)如图是一棱长为1的正方体,则异面直线A1B与B1D1之间的距离为( )
A.3B.33C.12D.22
【解析】选B.分别以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图空间直角坐标系,
则D1B1=(1,1,0),A1B=(0,1,-1),
设n=(x,y,z)与D1B1和A1B都垂直,
则D1B1·n=0A1B·n=0,即x+y=0y-z=0,
取n=(1,-1,-1),
又因为D1A1=(1,0,0),
所以异面直线D1B1和A1B间的距离为
d=|D1A1·n|n=13=33.
3.(5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O为正方形ADD1A1的中心,若P为平面OD1B内的一个动点,则P到直线A1B1的距离的最小值为( )
A.22 B.12 C.64 D.33
【解析】选A.如图,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则有B(1,1,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),B1(1,1,1),因为O为正方形ADD1A1的中心,得O(12,0,12),
A1B1=(0,1,0),OB=(12,1,-12),D1B=(1,1,-1),
设平面OBD1的法向量为n=(x,y,z),
利用OB·n=0D1B·n=0,则12x+y-12z=0x+y-z=0,
取x=1,解得n=(1,0,1),有A1B1·n=0,且A1B1⊄平面OD1B,则直线A1B1∥平面OD1B,
设直线A1B1到平面OD1B的距离为d,取直线上一点B1,与平面OD1B上一点B,则BB1=(0,0,1),
利用空间中点面距离公式有d=BB1·nn=22.
4.(5分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是线段AA1的中点,点Q是线段DB1上的动点(包括端点),则PQ的最小值为( )
A.12 B. 22 C. 32 D. 1
【解析】选B.分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则点P的坐标为1,0,12,
设点Q的坐标为λ,λ,λ0≤λ≤1,
则PQ=(λ-1)2+λ2+λ-122
=3λ2-3λ+54=3λ-122+12≥22,
当且仅当λ=12时,不等式取等号,
即PQ的最小值为22.
5.(5分)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离( )
A.等于55a
B.和EF的长度有关
C.等于23a
D.和点Q的位置有关
【解析】选A.取B1C1的中点G,连接PG,CG,DP,则PG∥CD,
所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离,与EF的长度无关,B错.
又A1B1∥平面PGCD,
所以点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离,即点Q到平面PEF的距离,与点Q的位置无关,D错.
如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系,
则C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),P(a2,0,a),所以DC=(0,a,0),DA1=(a,0,a),DP=a2,0,a,
设n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,则由n·DP=0,n·DC=0,得a2x+az=0,ay=0,
令z=1,则x=-2,y=0,所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一个法向量.
设点Q到平面PEF的距离为d,则d=DA1·nn=-2a+a5=5a5,A对,C错.
6.(5分)(多选题)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是棱AB上一动点,则P到平面A1C1D的距离可能是( )
A.33B.3C.423D.22
【解析】选BC.如图,以D1为坐标原点,以D1A1,D1C1,D1D的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A1(2,0,0),B(2,2,2),P(2,λ,2)(0≤λ≤2),D(0,0,2),C1(0,2,0),
故A1C1=(-2,2,0),A1D=(-2,0,2),
设平面A1C1D的法向量n=(x,y,z),
由n·A1C1=-2x+2y=0n·A1D=-2x+2z=0,
取x=1,则n=(1,1,1)为平面A1C1D的一个法向量,A1P=(0,λ,2),
所以P到平面A1C1D的距离d=A1P·nn=λ+23.
因为0≤λ≤2,所以d∈233,433,而222-4332=83>0,即BC选项的数值才符合.
7.(5分)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C与平面A1C1D的距离d是( )
A.36B.33C.233D.32
【解析】选B.如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,连接BD1,BD,BD交AC于点E,则B(1,1,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),E(12,12,0).
因为DD1⊥AC,AC⊥BD,BD∩DD1=D,
所以AC⊥平面D1DB,所以BD1⊥AC.
同理可证BD1⊥AB1.因为AC∩AB1=A,所以BD1⊥平面AB1C,即BD1是平面AB1C的一个法向量.
因为平面AB1C∥平面A1C1D,所以点D到平面AB1C的距离即为两平面之间的距离.因为DE=12,12,0,BD1=(-1,-1,1),
所以d=|DE·BD1||BD1|=12×(-1)+12×(-1)+0×11+1+1=33.
8.(5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AB=2,CC1=22,E为B1C1的中点,F为C1D1的中点,则直线BD与EF之间的距离为________.
【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),B(2,2,0),E(1,2,22),F(0,1,22),
所以DF=(0,1,22),EF=(-1,-1,0),DB=(2,2,0).
因为EF=-12DB,所以EF∥DB,所以直线BD与EF之间的距离d即为点D到直线EF的距离d.
设=θ,
则cs θ=DF·EF|DF||EF|=-26,
所以sin θ=346,
所以所求距离为d=|DF|sin θ=3×346=342.
答案:342
9.(10分)如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=23,求点A到平面MBC的距离.
【解析】如图,取CD的中点O,连接OB,OM,因为△BCD与△MCD均为正三角形,所以OB⊥CD,OM⊥CD,又平面MCD⊥平面BCD,平面MCD∩平面BCD=CD,OM⊂平面MCD,所以MO⊥平面BCD.
以O为坐标原点,直线OC,BO,OM分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz.
因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,所以OB=OM=3,
则O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0,3),
B(0,-3,0),A(0,-3,23),
所以BC=(1,3,0),BM=(0,3,3).
设平面MBC的法向量为n=(x,y,z),
由n⊥BCn⊥BM,得n·BC=0n·BM=0,
即x+3y=03y+3z=0,
取x=3,可得平面MBC的一个法向量为n=(3,-1,1).
又BA=(0,0,23),
所以所求距离为d=|BA·n||n|=2155.
【能力提升练】
10.(5分)(多选题)如图所示,三棱锥S-ABC中,△ABC为等边三角形,SA⊥平面ABC,SA=3,AB=2.点D在线段SC上,且SD=13SC,点E为线段SB的中点,以线段BC的中点O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x,y轴,过点O作SA的平行线为z轴,建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是( )
A.直线CE的一个方向向量为12,32,32
B.点D到直线CE的距离为8721
C.平面ACE的一个法向量为3,3,-2
D.点D到平面ACE的距离为1
【解析】选ABD.依题意,S(3,0,3),A(3,0,0),B(0,1,0),C0,-1,0,E(32,12,32),
因为SD=13SC,则D(233,-13,2),
则CE=(32,32,32),
因为CE=3(12,32,32),故A正确;
CD=(233,23,2),AC=(-3,-1,0),AE=(-32,12,32),故点D到直线CE的距离d=CD2-CD·CECE2=8721 ,故B正确;
设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则AC·n=0AE·n=0,即-3x-y=0-32x+12y+32z=0,
令y=3,则n=(-3,3,-2)为平面ACE的一个法向量,故C错误;
而CD=(233,23,2),故点D到平面ACE的距离d1=CD·nn=1,故D正确.
11.(5分)如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到BD的距离为________.
【解析】如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),所以PB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0).
设=φ,
所以cs φ=BD·PB|BD||PB|=-91050,
所以sin φ=131050,
所以点P到BD的距离d=|PB|·sin φ=135.
答案:135
12.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4, M, N, E, F分别为A1D1, A1B1, C1D1, B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD之间的距离为______.
【解析】以D为原点,DA, DC, DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则A(4, 0, 0), M(2, 0, 4), D(0, 0, 0), B(4, 4, 0), E(0, 2, 4), F(2, 4, 4), N(4, 2, 4),从而EF=(2, 2, 0), MN=(2, 2, 0),
AM=(-2, 0, 4), BF=(-2, 0, 4),
所以EF=MN,AM=BF,
所以EF∥MN, AM∥BF,
所以平面AMN∥平面EFBD.
设n=(x, y, z)是平面EFBD的一个法向量,
从而n·EF=2x+2y=0n·BF=-2x+4z=0,
解得x=2zy=-2z,
取z=1,得n=(2, -2, 1).
因为AB=(0, 4, 0),
所以点A到平面EFBD的距离为|n·AB||n|=83,即平面AMN与平面EFBD之间的距离为83.
答案:83
13.(10分)如图,边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直,A1C=3AC1,M为线段AC的中点.
(1)求证:平面BMC1⊥平面A1BC1;
【解析】(1)因为四边形A1ACC1为菱形,所以A1C⊥AC1.
又因为A1C=3AC1,所以∠ACC1=60°,
即△ACC1为等边三角形.
因为AC1=CC1,M为线段AC的中点,
所以AC⊥C1M.
因为AB=BC,M为线段AC的中点,
所以AC⊥BM.
又因为C1M∩BM=M,所以AC⊥平面BMC1.
又因为AC∥A1C1,所以A1C1⊥平面BMC1.
又A1C1⊂平面A1BC1,所以平面BMC1⊥平面A1BC1.
13.(10分)如图,边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直,A1C=3AC1,M为线段AC的中点.
(2)求点C到平面A1BC1的距离.
【解析】(2)因为平面A1ACC1⊥平面ABC,交线是AC,且C1M⊥AC,
所以C1M⊥平面ABC.
以M为原点,MB,MC,MC1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示:
C(0,1,0),B(3,0,0),C1(0,0,3),A1(0,-2,3),
则A1C1=(0,2,0),BC1=(-3,0,3),CC1=(0,-1,3),
设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),
则n·A1C1=2y=0n·BC1=-3x+3z=0,
令x=1,则n=(1,0,1),
所以点C到平面A1BC1的距离d=|CC1·n||n|=32=62.
14.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, M, N分别是BB1, B1C1的中点.
(1) 求直线MN到平面ACD1的距离;
【解析】(1) 建立如图所示的空间直角坐标系,则知点A(1, 0, 0), D1(0, 0, 1), C(0, 1, 0), M(1,1,12), N(12,1,1),
所以AD1=(-1, 0, 1), MN=(-12,0,12),
所以MN=12AD1.
因为直线MN与AD1不重合,所以MN∥AD1.
又因为MN⊄平面ACD1,AD1⊂平面ACD1,
所以MN∥平面ACD1.故直线MN到平面ACD1的距离等于点M到平面ACD1的距离.AC=(-1, 1, 0), AD1=(-1, 0, 1).
设平面ACD1的一个法向量为m=(x, y, z),
所以m·AD1=0m·AC=0,即-x+z=0-x+y=0,
令x=1,得y=z=1,所以m=(1, 1, 1).
因为AM=0,1,12,
所以|AM|=1+14=52.而|m|=3,
所以点M到平面ACD1的距离为|m·AM||m|=1+123=32,即直线MN到平面ACD1的距离为32.
14.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, M, N分别是BB1, B1C1的中点.
(2) 若G是A1B1的中点,求平面MNG与平面ACD1的距离.
【解析】(2)连接A1C1,因为G, N分别为A1B1,B1C1的中点,所以GN∥A1C1.又因为A1C1∥AC,所以GN∥AC.
因为GN⊄平面ACD1,AC⊂平面ACD1,
所以GN∥平面ACD1.
同理可得MN∥平面ACD1.
因为MN∩GN=N, MN, GN⊂平面MNG,
所以平面MNG∥平面ACD1,
所以平面MNG与平面ACD1的距离即为直线MN到平面ACD1的距离,由(1)知两平面间的距离为32.
【加练备选】
如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均为4,N是CC1的中点.
(1)求点N到直线AB的距离;
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(23,2,0),C(0,4,0),C1(0,4,4),
因为N是CC1的中点,所以N(0,4,2).
(1)AN=(0,4,2),AB=(23,2,0),
则|AN|=25,|AB|=4.
设点N到直线AB的距离为d1,
则d1=|AN|2-(AN·AB|AB|) 2=20-4=4.
如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均为4,N是CC1的中点.
(2)求点C1到平面ABN的距离.
【解析】(2)设平面ABN的法向量为n=(x,y,z),
则由n⊥AB,n⊥AN,得
n·AB=23x+2y=0n·AN=4y+2z=0,
令z=2,则y=-1,x=33,
即n=33,-1,2.
易知C1N=(0,0,-2),
设点C1到平面ABN的距离为d2,
则d2=|C1N·n||n|=|-4|433=3.
【素养创新练】
15.(5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为3,点H在棱AA1上,且HA1=1,在侧面BCC1B1内作边长为1的正方形EFGC1,P是侧面BCC1B1内一动点,且点P到平面CDD1C1的距离等于线段PF的长,则当点P运动时,|HP|2的最小值是( )
A.21B.22C.23D.13
【解析】选D.根据题意,以D为原点建立空间直角坐标系如图所示,作HM⊥BB1交BB1于M,连接PM,则HM⊥PM,作PN⊥CC1交CC1于N,则PN即为点P到平面CDD1C1的距离.设Px,3,z,
则F1,3,2,M3,3,2,
N0,3,z,0≤x≤3,0≤z≤3
因为点P到平面CDD1C1的距离等于线段PF的长,所以PN=PF.
由两点间距离公式可得x=x-12+z-22,
化简得2x-1=z-22,则2x-1≥0,解不等式可得x≥12
综上可得12≤x≤3
则在Rt△HMP中,HP2=HM2+MP2=32+x-32+z-22=32+x-32+2x-1=x-22+1312≤x≤3,
所以HP2≥13(当x=2时取等号).