河北省石家庄市十八县部分学校2024届九年级下学期5月中考模拟数学试卷(含解析)

这是一份河北省石家庄市十八县部分学校2024届九年级下学期5月中考模拟数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，数轴上的点，，，表示的数与互为相反数的是( )
A.
B.
C.
D.
2.把弯曲的公路改直，能够缩短行程，这样做的道理是( )
A. 两点之间，线段最短B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，射线最短D. 两点之间，直线最短
3.由个大小相同的小正方体组成的几何体如图所示，若添加一个相同的小正方体，使组成的新几何体的主视图和左视图完全一样，则添加的小正方体应放在哪个位置上( )
A.
B.
C.
D.
4.下列运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
5.若一次函数的函数值随的增大而减小，则值可能是( )
A. B. C. D.
6.如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它南偏东的方向上，海岛在它北偏东方向上则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
7.一组数据：，，，，，若去掉一个数据，则下列统计量中发生变化的是( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
8.如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为( )
A. B. C. D.
9.如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度与河岸垂直，测量得，两点间距离为米，，则河宽的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，的半径为，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D. 都不对
11.如图，点为反比例函数的图象上一点，轴于点，点是轴正半轴上一点，连接，交轴于点，若，则的值为( )
A. B. C. D.
12.如图，，为的两条弦，、分别为，的中点，的半径为若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
13.如图，，以点为圆心，长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，，则长为( )
A.
B.
C.
D.
14.如图，已知是的外心，、分别是、的中点，连接、交于点、，若，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
15.下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：
则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是( )
A. 图象的顶点在第一象限
B. 有最小值
C. 当时，二次函数的图象与有个交点
D. 当时，
16.我们知道，五边形具有不稳定性，正五边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，在轴负半轴上，固定边，将正五边形向右推，使点，，共线，且点落在轴上，如图所示，此时的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.比较大小：______．
18.如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积的最大值为______．
19.如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由绣球花、祥云两种图案组合而成，因制作工艺不同，、两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型的成本元，造型的成本元，则造型的成本为______元；若王先生选定了一个造型作为中心图形，个造型分别位于中心图形的四周，其余部分用个造型填补空缺，若整个画面中，图案个数不多于图案数的倍，且王先生的整体设计费用不超过元，写出一个满足条件的值______．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
在小学，我们学习过交换律、结合律以及乘法分配律，利用这些运算律可以使一些数学问题简化例如：，请利用运算律解决下列问题：
计算：；
如图，点是线段上任意一点，点是的中点，点是的中点，若，计算线段的长度．
21.本小题分
图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图形状拼成一个正方形．
图中阴影部分的正方形的边长是______；用含、的式子表示
观察图，用一个等式表示下列三个整式：、、之间的等量关系；
根据问中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
22.本小题分
“书香润沈城，阅读向未来”，沈阳市第十五届全民读书季启动之际某中学准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查问卷设置了五种选项：“艺术类”，“文学类”，“科普类”，“体育类”，“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
此次被调查的学生人数为______名；
请直接补全条形统计图；
在扇形统计图中，“艺术类”所对应的圆心角度数是______度；
根据抽样调查结果，请你估计该校名学生中，有多少名学生最喜爱“科普类”图书．
23.本小题分
在平面直角坐标系中，已知直线：与轴交于点，矩形的顶点坐标分别为，，．
若点在直线上，求的值；
若直线将矩形面积分成相等的两部分，求直线的函数表达式；
若直线与矩形有交点含边界，直接写出的取值范围．
24.本小题分
如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图所示的以为直径的半圆，为台面截线，半圆与相切于点，连接与相交于点水面截线，，．

如图求水深；
将图中的老碗先沿台面向左作无滑动的滚动到如图的位置，使得、重合，求此时最高点和最低点之间的距离的长；
将碗从中的位置开始向右边滚动到图所示时停止，若此时，求滚动过程中圆心运动的路径长．
25.本小题分
【发现问题】：小明和小强做弹球游戏，如图，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜．
【提出问题】：小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？
【分析问题】：小强以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜．
【解决问题】：
求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式；
求乒乓球第一次落地点距斜坡低端的距离；
小强将木板立在距斜坡底端多远的范围内，才能确保自己获胜？
26.本小题分
【问题发现】
如图，在中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，易知∽，则线段与的数量关系是______；
【拓展研究】
在的条件下，将正方形绕点旋转至如图所示的位置，连接，，请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论；
【结论运用】
在的条件下，若的面积为时，当正方形旋转到、、三点共线时，请直接写出线段的长．
答案和解析
1.
解析：解：的相反数是，
表示的数与互为相反数的是点．
故选：．
根据相反数的定义和数轴的定义即可得出答案．
本题主要考查了相反数和数轴，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
2.
解析：解：把弯曲的公路改直，能够缩短行程，这样做的道理是：两点之间，线段最短．
故选：．
依据线段的性质即可得出结论．
本题主要考查了线段的性质．解题的关键是能灵活应用线段的性质．
3.
解析：解：在的位置上再摆放一个小正方体，新组合体的主视图与左视图相同，如下图：
故选：．
根据简单组合体的三视图的画法画出它的主视图、左视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．
4.
解析：解：、与不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、，故该项不正确，不符合题意；
C、，故该项不正确，不符合题意；
D、，故该项正确，符合题意；
故选：．
根据同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方、零指数幂法则以及合并同类项的方法进行解题即可．
本题考查同底数幂的除法、合并同类项，幂的乘方与积的乘方、零指数幂、算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.
解析：解：一次函数的函数值随着的增大而减小，
，
解得．
所以的值可以是，
故选：．
根据比例系数小于时，一次函数的函数值随的增大而减小列出不等式求解即可．
本题考查了一次函数的性质，在一次函数中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
6.
解析：解：由题意得，．
故选：．
用平角减去两个角的和即可求解．
本题考查了方向角，根据题目的已知条件找出相应的角是解题的关键．
7.
解析：解：原数据，，，，的平均数为，中位数为，众数为，
方差为；
新数据，，，的平均数为，中位数为，众数为，
方差为；
故选：．
根据众数，中位数，平均数，方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
8.
解析：解：图中是含有角的直角三角尺，，
，
，
，
，
故选：．
根据含有角的直角三角尺，得到的值，再利用平行线的性质得到的值，然后即可计算出的度数．
本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
9.
解析：解：由题意得：
，
，
在中，米，，
米，
河宽的长度是米，
故选：．
根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10.
解析：解：是函数的图象，是函数的图象，
两函数图象关于轴对称，
阴影部分面积即是半圆面积，
阴影部分的面积．
故选：．
不规则图形面积通过对称转化为可求的图形面积．
此题主要考查了二次函数的对称性，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键．
11.
解析：解：轴于点，，
四边形是平行四边形，
过点作轴，
丨丨，
反比例函数图象在第二象限，
．
故选：．
根据反比例函数值的几何意义进行解答即可．
本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握值的几何意义是解答本题的关键．
12.
解析：解：如图，连接、、，
，
，
的半径为，
，
，
点、分别是、的中点，
．
故选：．
先根据圆周角定理得到，则可判断为等腰直角三角形，然后根据勾股定理可得，再根据三角形的中位线定理可得．
此题主要考查了三角形的中位线定理，以及勾股定理，圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13.
解析：解：由作法得，
四边形为菱形，
，，
，
，
在中，，
，
，
．
故选：．
利用基本作图得，则可判断四边形为菱形，利用菱形的性质得到，，，然后利用含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质．
14.
解析：解：连接，，
是的外心，、分别是、的中点，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
解：连接，，由题意得出，，可证得，根据三角形的面积公式可得出答案．
本题考查了三角形的外接圆和外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了直角三角形的性质和勾股定理的逆定理，三角形的面积．
15.
解析：解：由题意，设二次函数为，结合表格数据可得，
，
．
二次函数为．
顶点为在第四象限，故A错误，不合题意．
又当时，取最小值为，
B错误，不合题意．
又令，
，其时，方程有两个不等的实数根，
即时，方程有两个不等的实数根．
当时，二次函数的图象与有个交点，故C正确，符合题意．
令，
或．
又抛物线开口向上，
当时，或，故D错误，不合题意．
故选：．
依据题意，设二次函数为，结合表格数据可得，，从而可得二次函数为，再结合二次函数的性质即可逐个判断得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
16.
解析：解：正五边形，
，
如图，在中，，
，
连接，则，
四边形是菱形，
，
．
故选：．
根据正多边形的性质，直角三角形的性质以及菱形的判定和性质进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，菱形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质，菱形的判定和性质以及正多边形的性质是正确解答的关键．
17.
解析：解：，，
，
故答案为：．
把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较的应用，注意：当时，．
18.
解析：解：根据题意有：，，
，，
，
，
，，
，
故关于的函数解析式为；
，
，
当时，的面积有最大值．
故答案为：．
根据题意得到，，则，有三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质即可求得的面积的最大值．
本题主要考查动点在线段上运动的规律，二次函数图象与性质等知识，理解动点运动中时间与的面积关系是解题的关键．
19.
解析：解：设种图案成本为了元，种图案成本为了元，根据题意，得
，
解得：，
元，
即造型的成本为元；
根据题意得：，
解得：，
为整数，
，，，
故答案为：，答案不唯一，，，均可．
设种图案成本为了元，种图案成本为了元，根据造型的成本元，造型的成本元，列方程组，出、的值，则由造型的成本为元；再根据图案的个数不多于图案个数的倍，且整体设计费用不超过元，列不等式组，求得，然后由为整数，得出的值即可．
本题考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，理解题意，列出方程组与不等式组是解题的关键．
20.解：


；
点是的中点，点是的中点，
，
．
解析：根据有理数的乘法运算律求解即可；
根据线段中点的概念求解即可．
此题考查了有理数的乘法运算律，有关线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
21.
解析：解：由拼图可知，阴影部分是边长为的正方形，
故答案为：；
图整体是边长为的正方形，因此面积为，图各个部分的面积和为，
所以有，
答：、、之间的等量关系为；
，，
，
．
根据拼图可直接得出答案；
用代数式表示图形中各个部分的面积，根据各个部分面积之间的关系得出结论；
利用进行计算即可．
本题考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
22.解：；
补全条形统计图如下：
；
名，
答：估计该校名学生中，大约有名学生最喜爱“科普类”图书．
解析：解：此次被调查的学生人数为：名，
故答案为：；
类的人数为：名，
补全条形统计图如下：
在扇形统计图中，“艺术类”所对应的圆心角度数是：，
故答案为：；
见答案．
用的人数除以对应百分比可得样本容量；
用样本容量减去其它四类的人数可得类的人数，进而补全条形统计图；
用乘“艺术类”所占百分比可得对应的圆心角度数；
用总人数乘样本中类所占百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23.解：由题意可知：点，
将点代入直线：中，，
解得：．
矩形是中心对称图形，直线将矩形分成面积相等的两部分．
直线一定经过矩形的对称中心；
矩形顶点，，
其对称中心的坐标为，
代入直线：中，解得，
直线的函数表达式为．
如图：

，，
直线：经过时，，
解得，
当直线：经过经过时，，
解得，
由图象可知，的取值范围是或．
解析：根据矩形的性质得到点，代入，即得求得的值；
当直线经过矩形的对称中心时，直线把矩形分成两部分的面积相等，由点，，得其对称中心的坐标为，用待定系数法即得，即可求得；
当直线：经过时，解得，当直线：经过时，解得，即得当或时，直线与矩形有交点．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．矩形中心对称性，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出直线经过相关顶点时的值，利用数形结合得到的范围．
24.解：连接，如图所示：

半圆与相切于点，
，
，
，
，
在中，由勾股定理可得，
；
如图，连接，过点作，与的延长线相交于点，

，
，
在和中，
，
≌，
由知，，
，，
，
在中，由勾股定理可得，
如图所示：

由可知，，
在中，，
，
，
由题意可得，圆心运动的路径长为弧的长度．
解析：连接，由垂径定理及勾股定理求解即可得到答案；
连接，过点作，与的延长线相交于点，利用三角形全等的判定与性质，结合勾股定理求解即可得到答案；
根据题意可知，滚动过程中圆心运动的路径长为弧的长度，求弧出弧对的圆心角代入公式求解即可得到答案．
本题考查圆的实际应用，涉及垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、弧长公式等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键．
25.解：根据题意知，乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为，过点，
设乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线解析式为，
代入得：，
解得，
乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线解析式为；
令，则，
解得舍，
，
乒乓球第一次落地点距斜坡底端的距离为；
乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为，
设乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为，
把代入解析式得：，
解得舍，
乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为；
当时，则，
解得，舍；
当时，则，
解得，舍．
当时，小强确保获胜．
解析：根据已知条件设出抛物线的顶点式解析式，再把点坐标代入解析式求出即可；
令中解析式的，解方程求出即可；
用待定系数法求出乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线解析式，再令和，解方程求出的取值范围．
本题考查二次函数的应用，关键是求出乒乓球第一次、第二次弹起运行路线的抛物线解析式．
26.
解析：解：四边形是正方形，
，，
，
，点与点重合，
，
故答案为：；
，理由如下：
在中，，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
∽，
，
；
在中，，，的面积为，
，则负值舍去，
，
由知，，
设，则，
、、三点共线，
有两种情况：
如图，
在中，，，
由得，
解得负值舍去；
如图，
在中，，，
由得，
解得负值舍去；
综上，满足条件的线段值为或．
根据正方形的性质和勾股定理得到即可求解；
根据等腰直角三角形和正方形的性质证得，，进而可证得∽，利用相似三角形的性质可得结论；
先利用等腰直角三角形的性质求得，，进而，设，则，根据题意分两种情况，利用勾股定理求解即可．
本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质，以及分类讨论和方程的思想的运用是解答的关键．