初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习二次函数中的动点有关的综合问题

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习二次函数中的动点有关的综合问题，共31页。试卷主要包含了如图，已知直线AB与抛物线C等内容，欢迎下载使用。

（1）求点B的坐标（结果可以含参数m）；
（2）连接CA、CB，若C（0，3m），求tan∠ACB的值；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l：x＝2，点P是抛物线上的一个动点，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）B（3m，0）；（2）tan∠ACB＝；
（3）点P的坐标是：（）或（）或（）或（）．
【解析】
解：（1）令y＝0，则有ax2﹣4amx+3am2＝0，
解得：x1＝m，x2＝3m，
∵m＞0，A在B的左边，
∴B（3m，0）；
（2）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，
由（1）可知B（3m，0），则△BOC为等腰直角三角形，
∵OC＝OB＝3m，
∴BC＝3m，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝2m，
∴m，CD＝2m，
∴tan∠ACB＝；
（3）∵由题意知x＝2为对称轴，
∴2m＝2，
即m＝1，
∵在（2）的条件下有（0，3m），
∴3m＝3am2，
解得m＝，即a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，
①当P在对称轴的左边，如图2，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF，
易得△OMP≌△PNF，
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
解得：m＝或，
∴P的坐标为（，）或（）；
②当P在对称轴的右边，
如图3，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
解得：x＝或；
P的坐标为（）或（）；
综上所述，点P的坐标是：（）或（）或（）或（）．
2、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x−ax−4a<0与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.
（1）若D点坐标为32,254，求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点M为抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为a，点N为抛物线在x轴上方一点，若以C、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求a的值；
（3）直线y=2x+b与（1）中的抛物线交于点D、E（如图2），将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移，平移后抛物线的顶点为D'，与直线的另一个交点为E，与x轴的交点为B'，在平移的过程中，求D'E'的长度；当∠E'D'B'=90°时，求点B'的坐标.
【答案】（1）y=−x2+3x+4;C0,4;（2）a=−2±213； a1=−2−213，a2=6−2213;（3）B'−1,0
【解析】
（1）依题意得：254=−32−a32−4
解得a=−1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-4）或y=−x2+3x+4
∴C0,4
（2）由题意可知Aa,0、B4,0、C0,−4a
对称轴为直线x=a+42，则Ma+42,a
①MN//BC，且MN=BC，根据点的平移特征可知Na−42,−3a
则−3a=−a−42−a⋅a−42−4，
解得：a=−2±213（舍去正值）；
②当BC为对角线时，设Nx,y，根据平行四边形的对角线互相平分可得
a+42+x=4a+y=−4a，
解得x=4−a2y=−5a，
则−5a=−4−a2−a⋅4−a2−4
解得：a=6±2213
∴a1=−2−213，a2=6−2213
（3）联立y=2x+134y=−x2+3x+4
解得：x1=32y1=254(舍去)，x2=−12y2=94
则DE=25，根据抛物线的平移规律，
则平移后的线段D'E'始终等于25
设平移后的D'm,2m+134，则E'm−2,2m−34
平移后的抛物线解析式为：y=−x−m2+2m+134
则D'B'：y=−12x+n过m,2m+134，
∴y=−12x+52m+134，则B'5m+132,0
抛物线y=−x−m2+2m+134过B'5m+132,0
解得m1=−32，m2=−138
∴B1'−1,0，B2'−138,0（与D'重合，舍去）
∴B'−1,0
3、如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1) y＝x2+x﹣3；(2)见解析.
【思路引导】
（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PD=|m²+4m|，∵PD∥AO，则当PD=OA=3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，即PD=|m²+4m|=3，即可求解．
【解析】
解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣3；
（2）存在，理由：
同理直线AB的表达式为：y＝x﹣3，
设点P（m，m2+m﹣3），点D（m， m﹣3）（m＜0），则PD＝|m2+4m|，
∵PD∥AO，则当PD＝OA＝3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，
即PD＝|m2+4m|＝3，
①当m2+4m＝3时，
解得：m＝﹣2±（舍去正值），
即m2+m﹣3＝1﹣，故点P（﹣2﹣，﹣1﹣），
②当m2+4m＝﹣3时，解得：m＝﹣1或﹣3，
同理可得：点P（﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）；
综上，点P（﹣2﹣，﹣1﹣）或(﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）．
【方法总结】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、平行四边形性质等，要注意分类讨论思想的运用．
4、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）如图1，设E（m，0）为x正半轴上的一个动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE=S△CGO，求点E的坐标；
（3）如图2，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；y=3x+3；（2）点E的坐标为：（1,0）或（-7,0）；（3）存在，t的值为或或．
【思路引导】
（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．
（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．
（3）设M的坐标（e，3e＋3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t的值．
【解析】
解：（1）将点A（-1，0），B（3，0），点C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c得，
，解得，
∴，
设直线AC的解析式为y=kx+n，
将点A（-1，0），点C（0，3）代入得：，解得：k=3，n=3
∴直线AC的解析式为：y=3x+3
（2）延长GC交x轴于点F，过点G作GH⊥x轴于点H，
∵
∴G（1,4），GH=4，
∴，
若S△CGE=S△CGO，
则S△CGE=S△CGO=，
①若点E在x轴的正半轴，
设直线CG为，将G（1,4）代入得
∴，
∴直线CG的解析式为y=x+3，
∴当y=0时，x=-3，即F(-3,0)
∵E（m,0）
∴EF=m-(-3)=m+3
∴
=
=
=
=
∴，解得：m=1
∴E的坐标为（1,0）
②若点E在x轴的负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1,0）到直线CG的距离相等，
即点E到点F的距离等于点（1,0）到点F的距离，
∴EF=-3-m=1-(-3)=4
∴m=-7，即E（-7,0）
综上所述，点E的坐标为：（1,0）或（-7,0）
（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，
设M（e,3e+3），e＞-1，则，
①如图2，若∠MPN=90°，PM=PN，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，过N作NR⊥x轴于点R，
∵MN∥x轴
∴MQ＝NR＝3e＋3
∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL）
∴PQ＝PR，∠MPQ＝∠NPR＝45°
∴MQ＝PQ＝PR＝NR＝3e＋3
∴xN＝xM＋3e＋3＋3e＋3＝7e＋6，即N（7e＋6，3e＋3）
∵N在抛物线上
∴−（7e＋6）2＋2（7e＋6）＋3＝3e＋3，
解得：（舍去），
∵AP＝t，OP＝t−1，OP＋OQ＝PQ
∴t−1−e＝3e＋3
∴t＝4e＋4＝，
②如图3，若∠PMN＝90°，PM＝MN，
∴MN＝PM＝3e＋3
∴xN＝xM＋3e＋3＝4e＋3，即N（4e＋3，3e＋3）
∴−（4e＋3）2＋2（4e＋3）＋3＝3e＋3
解得：e1＝−1（舍去），e2＝，
∴t＝AP＝e−（−1）＝，
③如图4，若∠PNM＝90°，PN＝MN，
∴MN＝PN＝3e＋3，N（4e＋3，3e＋3）
解得：e＝
∴t＝AP＝OA＋OP＝1＋4e＋3＝
综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．
【方法总结】
本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．
5、如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A(﹣1，0)和点B(2，3)两点．
(1)求抛物线C函数表达式；
(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求此时的面积S及点M的坐标．
【答案】(1) y＝﹣x2+2x+3；(2) △MAB的面积最大值是，M(，)
【解析】
(1)由题意把点(﹣1，0)、(2，3)代入y＝ax2+2x+c，
得，解得，
∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
(2)如图，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，
将点(﹣1，0)、(2，3)代入y＝kx+b中，
得，解得，
∴yAB＝x+1，
设点M(x，﹣x2+2x+3)，则K(x，x+1)，则MK＝﹣x2+2x+3﹣(x+1)＝﹣x2+x+2，
∴S△MAB
＝S△AMK+S△BMK
＝MK•(xM﹣xA)+ MK•(xB﹣xM)
＝MK•(xB﹣xA)
＝×(-x2+x+2)×3
＝，
∵，当x＝时，S△MAB最大=，此时，
∴△MAB的面积最大值是，M(，)．
6、如图，直线y＝34x+a与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝34x2+bx+c经过点A，B．点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB及抛物线于点P，N．
（1）填空：点B的坐标为 ，抛物线的解析式为 ；
（2）当点M在线段OA上运动时（不与点O，A重合），
①当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值；
②求出使△BPN为直角三角形时m的值；
（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，请直接写出此时由点O，B，N，P构成的四边形的面积．
【答案】（1）（0，﹣3），y＝34x2﹣94x﹣3；（2）①是3，②3或119；（3）6或6+62或62﹣6．
【解析】
解：（1）把点A坐标代入直线表达式y＝34x+a，
解得：a＝﹣3，则：直线表达式为：y═34x﹣3，令x＝0，则：y＝﹣3，
则点B坐标为（0，﹣3），
将点B的坐标代入二次函数表达式得：c＝﹣3，
把点A的坐标代入二次函数表达式得：34×16+4b﹣3＝0，
解得：b＝﹣94，
故抛物线的解析式为：y＝34x2﹣94x﹣3，
（2）①∵M（m，0）在线段OA上，且MN⊥x轴，
∴点P（m，34m﹣3），N（m，34m2﹣94m﹣3），
∴PN＝34m﹣3﹣（34m2﹣94m﹣3）＝﹣34（m﹣2）2+3，
∵a＝﹣34＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当m＝2时，PN有最大值是3，
②当∠BNP＝90°时，点N的纵坐标为﹣3，
把y＝﹣3代入抛物线的表达式得：﹣3＝34m2﹣94m﹣3，解得：m＝3或0（舍去m＝0），
∴m＝3；
当∠NBP＝90°时，∵BN⊥AB，两直线垂直，其k值相乘为﹣1，
设：直线BN的表达式为：y＝﹣43x+n，
把点B的坐标代入上式，解得：n＝﹣3，则：直线BN的表达式为：y＝﹣43x﹣3，
将上式与抛物线的表达式联立并解得：m＝119或0（舍去m＝0），
当∠BPN＝90°时，不合题意舍去，
故：使△BPN为直角三角形时m的值为3或43；
（3）∵OA＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，tanα＝43，则：csα＝35，sinα＝45，
∵PM∥y轴，
∴∠BPN＝∠ABO＝α，
若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，
则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个．
当过点N的直线与抛物线有一个交点N，
点M的坐标为（m，0），设：点N坐标为：（m，n），
则：n＝34m2﹣94m﹣3，过点N作AB的平行线，
则点N所在的直线表达式为：y＝34x+b，将点N坐标代入，
解得：过N点直线表达式为：y＝34x+（n﹣34m），
将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x2﹣12x﹣12+3m﹣4n＝0，
△＝144﹣3×4×（﹣12+3m﹣4n）＝0，
将n＝34m2﹣94m﹣3代入上式并整理得：m2﹣4m+4＝0，
解得：m＝2，则点N的坐标为（2，﹣92），
则：点P坐标为（2，﹣32），
则：PN＝3，
∵OB＝3，PN∥OB，
∴四边形OBNP为平行四边形，则点O到直线AB的距离等于点N到直线AB的距离，
即：过点O与AB平行的直线与抛物线的交点为另外两个N点，即：N′、N″，
直线ON的表达式为：y＝34x，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：
x2﹣4x﹣4＝0，解得：x＝2±22，
则点N′、N″的横坐标分别为2+22，2﹣22，
作NH⊥AB交直线AB于点H，
则h＝NH＝NPsinα＝125，
作N′P′⊥x轴，交x轴于点P′，则：∠ON′P′＝α，ON′＝OP'sinα＝54（2+22），
S四边形OBPN＝BP•h＝52×125＝6，
则：S四边形OBP′N′＝S△OP′N′+S△OBP′＝6+62，
同理：S四边形OBN″P″＝62﹣6，
故：点O，B，N，P构成的四边形的面积为：6或6+62或62﹣6．
7、在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴交于点B，与抛物线的对称轴交于点．
（1）求m的值；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）是线段AB上一动点，过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点，（点P在点Q的左侧）．若恒成立，结合函数的图象，求a的取值范围．
【答案】（1）1；（2）．（3）．
【解析】
解：（1）∵ 经过点，
∴将点的坐标代入 ，即 ，得．
∵直线 与抛物线 的对称轴交于点 ，
∴将点代入，得 ．
(2)∵抛物线 的对称轴为，
∴ ，即．
∴
．
∴抛物线的顶点坐标为 ．
(3)当时，如图，
若拋物线过点 ，则 ．
结合函数图象可得 ．
当时，不符合题意．
综上所述，的取值范围是．
8、如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．
（1）填空：b＝ ，c＝ ；
（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；
（3）点M在抛物线上，且△AOM的面积与△AOC的面积相等，求出点M的坐标。
【答案】（1），4；（2）不可能是直角三角形，见解析；（3）M(1,4)或M(,-4）或M(,-4）
【思路引导】
(1)设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-4）．将a=-代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；
（2）先求得点C的坐标，依据勾股定理可求得AC=5，则PC=5-t，AQ=3+t,再判断当△APQ是直角三角形时，则∠APQ＝90°，从而得出△AOC∽△APQ，得到比例式列方程求解即可；
(3)根据点M在抛物线上，设出点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），再根据△AOM的面积与△AOC的面积相等，从而得出﹣m2+m+4=，解方程即可．
【解析】
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣4）．将a＝﹣代入得：y＝﹣x2+x+4，
∴b＝，c＝4．
（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．
理由如下：∵在点P、Q运动过程中，∠PAQ、∠PQA始终为锐角，
∴当△APQ是直角三角形时，则∠APQ＝90°．
将x＝0代入抛物线的解析式得：y＝4，
∴C（0，4）．∵点A的坐标为（﹣3，0），
∴在Rt△AOC中，依据勾股定理得：AC＝5，
∵AP＝OQ＝t，∴AQ=3+t，
∵∠OAC＝∠PAQ，∠APQ＝∠AOC
∴△AOC∽△APQ
∴AP:AO=AQ:AC
∴= ∴t=4.5．
∵由题意可知：0≤t≤4，
∴t＝4.5不合题意，即△APQ不可能是直角三角形．
(3 )设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4）
∵△AOM的面积与△AOC的面积相等，且底都为AO，C（0，4）．
∴﹣m2+m+4=
当﹣m2+m+4=-4时，解得：m=或,
当﹣m2+m+4=4时，解得：m=1或0
∵当m=0时，与C重合，∴m=或或1
∴ M(1,4)或M(,-4）或M(,-4）
【方法总结】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，灵活运用相关的知识是解题的关键．
9、如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【解析】
解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
10、如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等．
（1）求实数的值；
（2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）t=， ；（3）Q（-1，），见解析.
【解析】
解：（1）∵在抛物线上
∴代入得c=
∵x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等，
∴顶点横坐标,
,
又∵A（-3，0）在抛物线上，
∴9a−3b+=0
由以上二式得;
（2）由（1）,
∴B（1，0），
连接BP交MN于点O1，根据折叠的性质可得：O1也为PB中点．
设t秒后有,
设P（x，y），B（1，0）
∵O1为P、B的中点可得，即,
∵A，C点坐标知AC：，P点也在直线AC上代入得t=,
即；
（3）假设成立；
①若有△ACB∽△QNB，则有∠ABC=∠QBN，
∴Q点在x轴上，AC∥QN但由题中A，C，Q，N坐标知直线的一次项系数为：，
则△ACB不与△QNB相似．
②若有△ACB∽△QBN，则有
设，
则，
代入（1）得，
或，
当时有Q（-1，）则不满足相似舍去；
当y=有Q（-1，）则，
∴存在点Q（-1，）使△ACB∽△QBN．
综上可得：Q（-1，）.
11、已知，如图1，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+3对称．
（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；
（2）求二次函数解析式；
（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两个动点，连接CN，MM、MD，求CN+NM+MD的最小值．
【答案】(1) 点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），直线l的表达式为：y＝33x+3;(2) 二次函数解析式为：y＝﹣32x2﹣3x+332；(3)8.
【解析】
解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣1或3，
即点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），
点A坐标代入y＝kx+3得：0＝﹣3k+3，解得：k=33,
即直线l的表达式为：y=33x+3.①，
同理可得直线AC的表达式为： y=3x+33.
直线BD的表达式为：y=3x−3.②，
联立①②并解得：x＝3，在点D的坐标为（3，23）；
（2）设点C的坐标为（﹣1，m），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+3对称得AC2＝AB2，
即：（﹣3+1）2+m2＝16，解得：m=±23（舍去负值），点C（1，23），
将点C的坐标代入二次函数并解得：a=−32.
故二次函数解析式为： y=−32x2−3x+332；
（3）连接BC，则CN+MN的最小值为MB（即：M、N、B三点共线），
作D点关于直线AC的对称点Q交y轴于点E，则MB+MD的最小值为BQ（即：B、M、Q三点共线），
则CN+MN+MD的最小值＝MB+MD的最小值＝BQ，
∵DQ⊥AC，AC∥BD，∴∠QDB＝90°，
作DF⊥x轴交于点F，
DF＝ADsin∠DAF=43×12=23,
∵B、C关于直线l对称，即直线l是∠EAF的平分线，
∴ED＝FD＝23，
则QD＝43，BD＝4，
∴BQ=432+42=8.
即CN+NM+MD的最小值为8．
12、如图，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B与点C关于原点对称，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点B，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）求二次函数的表达式；
（2）动点P从点A到点D，同时动点Q从点C到点A都以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒．
①当t为何值时，有PQ丄AC？
②当t为何值时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）①当t＝秒时，PQ⊥AC，②当t＝时，四边形PDCQ的面积最小，最小面积为
【解析】
解：（1）当x＝0，y＝﹣x+3＝3，则点A（0，3），
当y＝0，﹣x+3＝0，解得x＝4，则点C（4，0），
∵点B与点C关于原点对称，
∴点B（﹣4，0），BC＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥x轴，AD＝BC＝8，
∴D（8，3），
将点B（﹣4，0），点D（8，3）代入二次函数y＝x2+bx+c得，解得，
∴二次函数表达式y＝x2﹣x﹣3；
（2）①∵A（0，3），C（4，0），
∴AC＝＝5，
，当点P运动了t秒时，则AP＝t，CQ
②作QH⊥AD于H，如图，
∵∠HAQ＝∠OCA，
∴△AQH∽△CAO，
∴，即，解得QH＝（5﹣t），
∴S四边形PDCQ＝S△ACD﹣S△AQP
＝•3•8﹣t•（5﹣t）
＝t2﹣t+12
＝（t﹣）2+，
∴当t＝时，四边形PDCQ的面积最小，最小面积为．
13、如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设P（x，y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．
①若点P在第一象限内．试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
②求以BC为底边的等腰△BPC的面积．
【答案】（1）所求函数关系式为y=﹣x2+2x+3；
（2）①线段PN的长度的最大值为．
②或，
【解析】
（1）由于直线y=﹣x+3经过B、C两点，
令y=0得x=3；令x=0，得y=3，
∴B（3，0），C（0，3），
∵点B、C在抛物线y=﹣x2+bx+c上，于是得，
解得b=2，c=3，
∴所求函数关系式为y=﹣x2+2x+3；
（2）①∵点P（x，y）在抛物线y=﹣x2+2x+3上，
且PN⊥x轴，
∴设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），
同理可设点N的坐标为（x，﹣x+3），
又点P在第一象限，
∴PN=PM﹣NM，
=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3），
=﹣x2+3x，
=—，
∴当时，
线段PN的长度的最大值为．
②解：
由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，
又由①知，OB=OC，
∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，
∴设点P的坐标为（a，a），
又点P在抛物线y=﹣x2+2x+3上，于是有a=﹣a2+2a+3，
∴a2﹣a﹣3=0，
解得，，
∴点P的坐标为：或，
若点P的坐标为，此时点P在第一象限，
在Rt△OMP和Rt△BOC中，MP=OM=，
OB=OC=3，
S△BPC=S四边形BOCP﹣S△BOC=2S△BOP﹣S△BOC，
=，
若点P的坐标为，此时点P在第三象限，
则S△BPC=S△BOP+S△COP+S△BOC=，
=，
14、如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值．
【答案】（1）y＝x2x+2；（2）l=+，最大值为.
【解析】
（1）∵矩形OBDC的边CD＝1，
∴OB＝1，
由AB＝4，得OA＝3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，
∴a+b+2=0，9a－3b+2=0，
解得：a=，b=，
∴抛物线解析式为y＝x2x+2；
（2）在y＝x2x+2中，
当y＝2时，x＝0或x＝﹣2，
∴E（﹣2，2），
∴直线OE解析式为y＝﹣x，∠PGH＝∠COE＝45°，
∵P（m，m2m+2），PG∥y轴，
∴G（m，﹣m），
∴PG＝m2m+2﹣（﹣m）
＝+，
∵∠PGH＝∠COE＝45°，
∴l＝PG
＝+，
∴当m＝时，l有最大值，最大值为.