2024年高考真题和模拟题数学分类汇编（全国通用）专题12 概率统计（解析版）

这是一份2024年高考真题和模拟题数学分类汇编（全国通用）专题12 概率统计（解析版），共42页。试卷主要包含了并部分整理下表等内容，欢迎下载使用。
1．（新课标全国Ⅱ卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（均在之间，单位：kg）并部分整理下表
据表中数据，结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
【答案】C
【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.
【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, ,
所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误；
对于B，亩产量不低于的频数为，
所以低于的稻田占比为，故B错误；
对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确；
对于D，由频数分布表可得，亩产量在的频数为，
所以平均值为，故D错误.
故选；C.
2．（新高考天津卷）下列图中，相关性系数最大的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由点的分布特征可直接判断
【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.
故选：A
3．（全国甲卷数学（文））甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.
【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；
当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；
于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意；
基本事件总数显然是，
根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为.
故选：B
4．（新高考上海卷）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）
A．气候温度高，海水表层温度就高
B．气候温度高，海水表层温度就低
C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
【答案】C
【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.
【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.
对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，
故C正确，D错误.
故选：C.
5．（新课标全国Ⅰ卷）（多选）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出.
【详解】依题可知，，所以，
故，C正确，D错误；
因为，所以，
因为，所以，
而，B正确，A错误，
故选：BC．
6．（新课标全国Ⅰ卷）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
【答案】/0.5
【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.
【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为.
对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率，所以.
从而.
记.
如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以；
如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以.
而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.
所以，，两式相减即得，故.
所以甲的总得分不小于2的概率为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.
7．（全国甲卷数学（理））有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与差的绝对值不超过的概率是 ．
【答案】
【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.
【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，
设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，
故，故，
故，
若，则，则为：，故有2种，
若，则，则为：，
，故有10种，
当，则，则为：
，
，
故有16种，
当，则，同理有16种，
当，则，同理有10种，
当，则，同理有2种，
共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，
故所求概率为.
故答案为：
8．（新高考天津卷）五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 ．
【答案】
【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了活动，他再选择活动的概率.
【详解】解法一：列举法
从五个活动中选三个的情况有：
,共10种情况，
其中甲选到有6种可能性：，
则甲选到得概率为：；
乙选活动有6种可能性：，
其中再选则有3种可能性：，
故乙选了活动，他再选择活动的概率为.
解法二：
设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，
则甲选到的概率为；
乙选了活动，他再选择活动的概率为
故答案为：；
9．（新高考上海卷）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
【答案】0.85
【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.
【详解】由题意知，题库的比例为：，
各占比分别为，
则根据全概率公式知所求正确率．
故答案为：0.85．
10．（新课标全国Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【答案】(1)
(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.
【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
比赛成绩不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为，则，，
则，
应该由甲参加第一阶段比赛.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.
11．（全国甲卷数学（理））某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
(1)填写如下列联表：
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）
附：
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算，并与临界值对比分析；
（2）用频率估计概率可得，根据题意计算，结合题意分析判断.
【详解】（1）根据题意可得列联表：
可得，
因为，
所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.
（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，
用频率估计概率可得，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，
则，
可知，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
12．（新高考北京卷）已知某险种的保费为万元，前3次出险每次赔付万元，第4次赔付万元
在总体中抽样100单，以频率估计概率：
(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；
(2)（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为，估计的数学期望；
（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降，已赔偿过的增加．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．
【答案】(1)
(2)(i)0.122万元 (ii)万元
【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;
（2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求.
（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求.
【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
由题设中的统计数据可得.
（2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，
由题设中的统计数据可得，
，，
，
故
故（万元）.
（ⅱ）由题设保费的变化为，
故（万元）
13．（新高考上海卷）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
(3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
（附：其中，．）
【答案】(1)
(2)
(3)有
【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；
（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；
（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.
【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，
则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．
（2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为
．
则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.
（3）由题列联表如下：
提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．
其中．
．
则零假设不成立，
即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．
一、单选题
1．（2024·山东·模拟预测）一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】D
【分析】利用对极差及中位数的概念理解，就可解得.
【详解】由已知可得极差是：，而中位数是极差的，即中位数是，
根据六个数的中位数是：，解得，
故选：D.
2．（2024·福建泉州·二模）己知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（ ）
A．B．C．2.4D．2.5
【答案】D
【分析】根据线性回归方程估计，再根据残差定义列方程，解得结果即可.
【详解】因为相应于点的残差为，所以，
所以，解得.
故选：D.
3．（2024·陕西·三模）2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】先对各题得分情况分别进行统计，再对总得分情况分析排序，根据中位数规定即可求得.
【详解】由题意得小明同学第一题得6分：
第二题选了2个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、4分和6分；
第三题选了1个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、2分和3分；
由于相同总分只记录一次，因此小明的总得分情况有：
6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8种情况，所以中位数为.
故选：C.
4．（2024·四川成都·三模）如图，由观测数据 的散点图可知， 与 的关系可以用模型 拟合，设 ，利用最小二乘法求得 关于 的回归方程 . 已知 ， ，则 （ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】利用已知数据可求得样本中心点，再利用回归方程必过样本中心点，即可求出.
【详解】由可得：，
由可得：，
由回归方程 必过样本中心点，即过点，
所以，解得，
故选：C.
5．（2024·天津·二模）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第85百分位数为（ ）分
A．84B．85C．86D．87
【答案】C
【分析】根据百分位数定义，结合数据求解即可.
【详解】由，解得：，
所以前4组频率之和为，前5组频率之和为，
设这组数据的第85百分位数为，则，解得：，
故选：C
6．（2024·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（ ）

A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天
B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3
C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时
D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时
【答案】C
【分析】利用频率分别直方图、频数、频率、中位数、众数直接求解.
【详解】对于A，该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的天数为：天，故A错误；
对于B，估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为，故B错误；
对于C，的频率为，的频率为，
则该学生每日完成作业时间的中位数为，故C正确；
对于D，估计该学生每日完成作业时间的众数为，故D错误；
故选：C
7．（2024·上海·三模）下列命题错误的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B．设，若，，则
C．线性回归直线一定经过样本点的中心
D．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，且
【答案】D
【分析】根据相关系数的表示意义、二项分布的有关性质、线性回归方程和超几何分布的定义依次判断选项即可.
【详解】A：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A正确；
B：由，得，解得，故B正确；
C：线性回归直线一定经过样本点的中心，故C正确；
D：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，
所以由超几何分布的定义知服从超几何分布，得，故D错误；
故选：D
8．（2024·湖北荆州·三模）根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得如图所示的残差图.模型误差（ ）
A．满足一元线性回归模型的所有假设
B．不满足一元线性回归模型的的假设
C．不满足一元线性回归模型的假设
D．不满足一元线性回归模型的和的假设
【答案】D
【分析】根据一元线性回归模型的有关概念即可判断.
【详解】用一元线性回归模型得到经验回归模型，
根据对应的残差图，残差的均值不可能成立，且残差图中的点分布在一条拋物线形状的弯曲带状区域上，
说明残差与坐标轴变量有二次关系，不满足一元线性回归模型，
故选：D.
9．（2024·黑龙江·二模）根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得，依据的独立性检验，结论为（ ）参考值：
A．x与y不独立
B．x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C． x与y独立
D．x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
【答案】C
【分析】利用独立性检验的基本思想即可得解.
【详解】零假设为：x与y独立，
由，依据的独立性检验，可得成立，
故可以认为x与y独立.
故选：C.
10．（2024·四川绵阳·模拟预测）袋子中有9个除颜色外完全相同的小球，其中5个红球，4个黄球．若从袋子中任取3个球，则在摸到的球颜色不同的条件下，最终摸球的结果为2红1黄的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】记摸到的球颜色不同为事件，摸到2红1黄为事件，由条件概率公式计算可得.
【详解】记摸到的球颜色不同为事件，摸到2红1黄为事件，
则，，
所以.
故选：B
11．（2024·河南·三模）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（ ）
A．286B．293C．252D．246
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性求出的概率，即可得解.
【详解】由题意得，
，
，
所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293.
故选：B.
12．（2024·河北衡水·三模）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件，三人中恰有两人命中为事件，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件，
每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件，
则，
，则.
故选：D．
13．（2024·湖南长沙·三模）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8
【答案】A
【分析】根据正态分布的对称性结合题意求解即可
【详解】根据正态曲线的对称性，由，得，
因为，
所以.
故选：A
二、多选题
14．（2024·河北·三模）根据中国报告大厅对2023年3月~10月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能发电量（单位：亿千瓦时）月度数据统计如下表：
关于2023年3月~10月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是（ ）
A．中位数是259.115B．极差是38.32
C．第85百分位数是259.33D．第25百分位数是240.59
【答案】BC
【分析】根据题意，由中位数，极差，百分位数的定义，代入计算，逐一判断，即可得到结果.
【详解】将数据从小到大排序可得，共8个数据，
所以中位数是，故A错误；
极差是，故B正确；
因为，所以第85百分位数是第7个数，即，故C正确；
因为，所以第25百分位数是，故D错误；
故选:BC
15．（2024·江西南昌·二模）为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格:
甲校样本
乙校样本
（参考公式及数据:）.
则下列判断中正确的是（ ）
A．样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例
B．样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例
C．根据甲校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
D．根据乙校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
【答案】AD
【分析】对AB，根据甲乙两校男女学生喜爱足球运动的比例大小判断即可；对CD，根据独立性检验的性质判断即可.
【详解】对A，甲校男学生喜爱足球运动的比例，乙校男学生喜爱足球运动的比例，
即甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例，故A正确；
对B，甲校女学生喜爱足球运动的比例，乙校女学生喜爱足球运动的比例，
即甲校女学生喜爱足球运动的比例低于乙校女学生喜爱足球运动的比例，故B错误；
对C，甲校中，
所以根据甲校样本没有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故C错误；
对D，乙校中，
所以根据乙校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故D正确；
故选：AD
16．（2024·湖南长沙·三模）某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，则（ ）
A．乙组同学恰好命中2次的概率为
B．甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率
C．甲组同学命中次数的方差为
D．乙组同学命中次数的数学期望为
【答案】BCD
【分析】根据题意，利用概率乘法和加法公式，可判定A错误；根据独立重复试验的概率公式，可得判定B正确，结合二项分布的方差，可判定C中，由乙组同学命中次数为随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，结合期望的公式，可判定D正确.
【详解】对于A中，设“乙组同学恰好命中2次”为事件，则，所以A错误；
对于B中，设“甲组同学恰好命中2次”为事件，则，因为，所以B正确；
对于C中，因为甲组同学每次命中的概率都为，设甲组同学命中次数为，则，可得，所以C正确；
对于D中，设乙组同学命中次数为随机变量，则的所有可能取值为，
所以，
，
，
故，所以D正确.
故选：BCD.
17．（2024·全国·二模）甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有3个红球和4个绿球；乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机获出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是（ ）
A．，是对立事件B．，是独立事件
C．D．
【答案】AD
【分析】根据对立事件的定义即可判断A；根据独立事件的定义即可判断B，利用条件概率即可判断CD.
【详解】A：由题意知，每次只摸出一个球，，，
则，所以对立，故A正确；
B：，，
则，所以不相互独立，故B错误；
C：，故C错误；
D：，，
所以，故D正确.
故选：AD
18．（2024·河南·二模）现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小
【答案】ACD
【分析】由古典概率先计算，再由条件概率计算得到A正确；由全概率计算得到B错误；由条件概率得到C正确；由古典概率得到D正确.
【详解】A：由题，，故A正确；
B：由选项A可得，故B错误；
C：因为，所以，
所以，故C正确；
D：由题该球来自的概率为，该球来自的概率为，该球来自的概率为，
所以该球来自的概率最小，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题A，C关键在于应用条件概率公式即.
19．（2024·山东日照·二模）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（ ）
A．与相互独立B．与互斥C．D．
【答案】AC
【分析】根据独立事件的定义判断A，根据互斥事件的定义判断B，根据独立事件及条件概率的概率公式判断C、D.
【详解】对于A，依题意，，，
所以事件与事件相互独立，故A正确；
对于B，由题意可知，事件与事件有可能同时发生，
例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件与事件不是互斥事件，故B错误；
对于C、D，，因为，所以，
所以，故C正确，D错误．
故选：AC．
20．（2024·福建三明·三模）假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是（ ）
A．从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为
B．从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为
C．从乙袋中取出的2个球是红球的概率为
D．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，结合古典概率公式、条件概率公式及全概率公式逐项计算判断得解.
【详解】从甲袋中取出个球有个红球的事件为，从乙袋中取出个球红球的事件为，
，，，
，，，
对于A，从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为，A正确；
对于B，从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为，B错误；
对于C，从乙袋中取出的2个球是红球的概率，C正确；
对于D，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率
，D正确.
故选：ACD
三、填空题
21．（2024·上海·三模）已知A工厂库房中的某种零件60％来自甲公司，正品率为90％；40％来自乙公司，正品率为95％，从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为
【答案】0.92
【分析】根据题意利用全概率公式直接求解即可.
【详解】因为A工厂库房中的某种零件60％来自甲公司，正品率为90％；40％来自乙公司，正品率为95％，
所以从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为，
故答案为：0.92
22．（2024·安徽安庆·三模）一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为 ．
【答案】
【分析】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，由古典概率公式求出，再由条件概率求解即可.
【详解】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，
则，，
所以，
故答案为：．
23．（2024·天津·模拟预测）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求 .
【答案】
【分析】利用古典概率公式求出，利用条件概率公式求出即可.
【详解】由题意可得，
设事件表示“在第1,2次都摸到红球”，事件表示“第3次摸到红球”，
则，
所以，
所以，
故答案为：.
24．（2024·福建厦门·模拟预测）在n维空间中（，），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中.则5维“立方体”的顶点个数是 ；定义：在n维空间中两点与的曼哈顿距离为.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则 .
【答案】 32
【分析】第一空由题意根据分步乘法原理，求解即可；第二空先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望.
【详解】（1）的可能值为0，1（，）.故五维立方体的顶点有个.
（2）依题意，样本空间的样本点记为，M，N为五维立方体的顶点
样本点总数：
当时，有k个第i维坐标值不同，有个第i维坐标值相同.
满足的样本点个数为.
所以.
故分布列为：
.
故答案为：32；.
【点睛】关键点点睛：本题第二空关键在于确定当时，有k个第i维坐标值不同，有个第i维坐标值相同，再由求出概率.
25．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次.该质点在有且仅有一次经过位置的条件下，共经过两次1位置的概率为 .
【答案】/
【分析】设事件“有且仅有一次经过”，事件“共经过两次位置1”，分1步到位为事件，3步到位为事件和5步到位为事件，三种情况讨论，结合独立事件的概率乘法公式，求得，再利用列举法求得，利用条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“共经过两次位置1”，
按到位置需要1步，3步，5步分类讨论.记向左，向右，
①若1步到位为事件，则满足要求的是，（第5步无关），，（第5步无关），所以；
②若3步到位为事件，则满足要求的是，
所以；
③若5步到位为事件，则满足要求的是，
所以，
所以
满足的情况有：，，，，,所以
所以.
故答案为：
26．（2024·广东广州·三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了号箱，用表示号箱有奖品（），用表示主持人打开号箱子（），则 ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ．
【答案】 /0.375
【分析】根据主持人可打开的箱子号码可确定；分别考虑奖品在号箱、不在号箱的情况，根据此时更改选择，结合全概率公式求解即可.
【详解】奖品在号箱，甲选择了号箱，主持人可打开号箱，则；
若奖品在号箱，其概率为，抽奖人更改了选择，则其选中奖品所在箱子的概率为；
若奖品不在号箱，其概率为，主持人随机打开不含奖品的两个箱子中的个，
若此时抽奖人更改选择，其选中奖品所在箱子的概率为；
若抽奖人更改选择，其中奖的概率为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查条件概率的求解、决策类问题，解题关键是能够根据根据奖品所在箱子号码，确定主持人可打开的箱子数，由此确定选中中奖箱子的概率.
四、解答题
27．（2024·福建泉州·二模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭．主持人知道奖品在哪个箱子里．游戏规则是：主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得．现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子．按游戏规则，主持人将随机打开甲选择之外的一个空箱子，记为X号箱．
(1)求的概率；
(2)求X的方差；
(3)若，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选3号或4号箱？
【答案】(1)
(2)
(3)甲应该改选4号或3号箱．
【分析】（1）利用全概率公式计算；
（2）由X可能的取值，求出相应的概率，得分布列，公式法求方差；
（3）计算各箱里有奖品的概率，由结果进行选择.
【详解】（1）设分别表示1，2，3，4号箱子里有奖品，
设分别表示主持人打开1，2，3，4号箱子，
则，且两两互斥．
由题意可知，事件的概率都是，，．
由全概率公式，得．
（2）依题意可得
，同理可得，
故X的分布列为：
（3）在主持人打开1号箱的条件下，4号箱、2号箱、3号箱里有奖品的概率分别为
，
，
，
通过概率大小比较，甲应该改选4号或3号箱．
28．（2024·陕西·三模）“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称．在2023年火爆“出圈”后，“村超”热度不减．2024年1月6日，万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”，为了解不同年龄的游客对“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过35周岁各200人作为样本，每位参与调查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价．设事件“游客对“村超”满意”，事件“游客年龄不超过35周岁”，据统计，．
(1)根据已知条件，填写下列列联表并说明理由；
(2)由（1）中列联表数据，分析是否有的把握认为游客对“村超”的满意度与年龄有关联？附：．
参考数据：
【答案】(1)列联表见解析
(2)没有关联
【分析】（1）根据题意可求出不超过35岁的人中，对“村超”满意的有160人，对“村超”满意的人中超过35岁的有140人，从而可完成列联表；
（2）根据列联表中的数据结合公式计算，再与临界值比较即可.
【详解】（1）因为，
所以游客年龄不超过35周岁且对“村超”满意的有人，
因为，
所以对“村超”满意的游客人数为，
所以对“村超”满意的人中超过35岁的有人，
所以列联表如下：
（2）因为，
所以没有的把握认为游客对“村超”的满意度与年龄有关联.
29．（2024·浙江杭州·二模）杭州是国家历史文化名城，为了给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景点推出了预订优惠活动，下表是该景点在某App平台10天预订票销售情况：
经计算可得：.
(1)因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App平台在第10天时系统异常，现剔除第10天数据，求关于的线性回归方程（结果中的数值用分数表示）；
(2)该景点推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品），的分布列如下：
今从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票，求该份团体票中共有3张有奖门票的概率.
附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据题意，由线性回归方程的公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由全概率公式可得恰有1张为有奖门票的概率，再结合条件概率公式代入计算，即可求解.
【详解】（1）设关于的线性回归方程：，
则，
，
所以，
所以关于的线性回归方程是.
（2）记“从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票”为事件A，
“该份团体票中共有张有奖门票”为事件，则，
，所以，
，所以，
.
所以.
则所求概率是.
30．（2024·湖南长沙·三模）如图，在数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔向左或向右移动一个单位，向右移动的概率为，共移动，设随机变量为移动后质点的坐标.
(1)求移动后质点的坐标为正数的概率；
(2)求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据题意明确质点坐标的可能结果即可求解.
（2）求出质点所有可能结果对应的概率即可求出分布列，再根据数学期望公式求解数学期望即可.
【详解】（1）设4次移动后坐标为正为事件，由题，
则，
由题，，
所以.
（2）的可能取值为，
由（1），，
又，
，
，
∴分布列为
∴.
31．（2024·北京·三模）某公司有甲、乙两条生产线生产同一种产品，该产品有两个指标．从两条产品线上各随机抽取一些产品，指标数据如下表：
假设用频率估计概率，且两条生产线相互独立．
(1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计其指标大于1且指标大于2的概率；
(2)从甲、乙生产线上各随机抽取一件产品，设X表示指标大于2的产品数，估计X的数学期望；
(3)已知产品指标之和与3的差的绝对值越小则产品越好，两条生产线各生产一件产品，甲、乙哪条生产线产品更好的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)；
(2)；
(3)甲.
【分析】（1）根据给定数表，利用列举法求出古典概率即得.
（2）分别求出甲、乙的指标大于2的产品的概率，再求出的可能值及对应的概率，进而求出期望.
（3）分别求出甲乙产品指标之和与3的差的绝对值地平均值，比较大小即得.
【详解】（1）记事件C为“从甲生产线上随机抽取一件产品，其A指标大于1且B指标大于2”，
由表知，甲生产线抽取的10件产品中，A指标大于1且B指标大于2的产品为4号、9号、10号，共3个，
因此可估计为.
（2）记事件为“从甲生产线上随机抽取一件产品，其B指标大于2”，
记事件为“从乙生产线上随机抽取一件产品，其B指标大于2”，
由表知，甲生产线抽取的10件产品中，B指标大于2的产品为1号、4号、9号、10号，共4个，
因此可估计为；
乙生产线抽取的8件产品中，B指标大于2的产品为1号、2号、3号、5号、6号、7号、8号，共7个，
因此可估计为，因此的所有可能取值为0，1，2.
，
，
，
所以的期望为.
（3）甲生产线产品指标之和与3的差的绝对值依次为：
，其平均值为；
乙生产线产品指标之和与3的差的绝对值依次为：
，其平均值为，
显然，所以甲生产线产品更好的概率估计值最大.
32．（2024·湖南衡阳·三模）现有A，B两个不透明盒子，都装有m个红球和m个白球，这些球的大小、形状、质地完全相同．
(1)若，甲、乙、丙依次从A盒中不放回的摸出一球，设X表示三人摸出的白球个数之和，求X的分布列与数学期望；
(2)若，从A、B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，求：
（i）的概率；
（ii）的分布列．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）；（ii）答案见解析
【分析】（1）解法一：X的可能取值有0，1，2，3，然后根据超几何分布的概率公式求出相应的概率，从而可求出X的分布列与数学期望；解法二：X的可能取值有0，1，2，3，然后利用古典概型的概率公式结合独立事件的概率公式求出相应的概率，从而可求出X的分布列与数学期望；
（2）（i）利用全概率公式求解即可，（ii）设，，，则由题意可得是以1为首项的常数列，是以为首项，为公比的等比数列，从而求出，进而可求出的分布列.
【详解】（1）法一：X的可能取值有0，1，2，3，
，;
; ，
所以X的分布列为：
数学期望
法二：X的可能取值为0，1，2，3，则：
，
，
，
，
所以X的分布列为：
数学期望
（2）（i），，，
,,,
所以
;
（ii）设，，，则
，所以，
所以，
因为，
所以是以1为首项的常数列，是以为首项，为公比的等比数列
所以，
所以，
，
所以，X的分布列为：
【点睛】关键点点睛：此题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查全概率公的应用，第（2）问解的关键是，，，根据题意得，化简变形构造等比数列，从而可求出，考查理解能力和计算能力，属于难题.
33．（2024·广东广州·三模）甲进行摸球跳格游戏，图上标有第1格，第2格，，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第格的概率为．
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为，求的分布列和期望；
(2)求的通项公式．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）根据超几何分布求出概率，写出分布列，根据期望计算公式求出期望即可；
（2）当时，棋子跳到第格有两种可能：第一种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色不同；第二种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色相同；结合概率求得，变形为，利用等比数列定义证明，并结合等比数列前n项和公式，利用累加法求得的通项公式.
【详解】（1）根据题意可知，的所有可能取值为0，1，2，
则，，
，
可得的分布列如下：
期望值为；
（2）依题意，当时，棋子跳到第格有两种可能：
第一种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色不同，
第二种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色相同，
又可知摸出两球颜色不同，即跳两格的概率为，
摸出两球颜色相同，即跳一格的概率为，
因此可得，，
所以，
因此可得，且，，，
即数列是首项为，公比为的等比数列，
即，
所以
，
由题意，
综上，.
34．（2024·河北衡水·模拟预测）已知甲口袋有个红球和2个白球，乙口袋有个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球.
(1)当时，
（i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；
（ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望；
(2)当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，则当为何值时，最大？
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)
【分析】（1）（i）先根据题意求出小明从甲口袋摸出一个白球的概率和从乙口袋摸出一个白球的概率，然后求出小明4次摸球中，摸出的都是红球的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得答案；（ii）的所有可能取值为，求出相应的概率，从而可求出的数学期望；
（2）由，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验，则，然后利用导数可求得其最大值.
【详解】（1）小明从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为，
从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为.
（i）设“小明4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件，则“小明4次摸球中，摸出的都是红球”为事件，且，
所以.
（ii）的所有可能取值为，
由（i），得，，
，，，
所以.
（2）由，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验，
设小明每次摸出一个红球的概率为，则.
因为，
所以当时，；当1时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，最大，
此时，解得，
故当时，最大.
【点睛】关键点点睛：此题考查对立事件的概率公式的应用，考查离散型随机变量的期望，考查独立重复试验的概率，考查导数的应用，第（2）问解题的关键是根据独立重复试验的概率公式表示出，然后利用导数可求出其结果，考查理解能力和计算能力，属于较难题.
35．（2024·湖南长沙·三模）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为 确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表:
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支 持相互独立.
(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望;
(2)在(1)中表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小.
【答案】(1)分布列见解析，
(2).
【分析】（1）记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件，根据已知条件求出，的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，从而可求得的分布列与数学期望;
（2）根据方差的性质判断即可.
【详解】（1）记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件 .
则 ，
则的可能取值为 .
所以，
，
，
所以 的分布列为:
所以 .
（2）依题意可得，
所以,
即 .
亩产量
[900，950）
[950，1000）
[1000，1050）
[1100，1150）
[1150，1200）
频数
6
12
18
24
10
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
优级品
非优级品
甲车间
26
24
乙车间
70
30
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
时间范围学业成绩
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
其他
合计
优秀
45
50
95
不优秀
177
308
485
合计
222
358
580
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
月份
3
4
5
6
发电量/亿千瓦时
242.94
230.87
240.59
259.33
月份
7
8
9
10
发电量/亿千瓦时
258.9
269.19
246.06
244.31
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
15
5
20
女性
8
12
20
合计
23
17
40
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
70
30
100
女性
45
55
100
合计
115
85
200
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
X
1
2
3
4
5
P
X
1
3
4
P
年龄
满意
不满意
合计
年龄不超过35周岁
年龄超过35周岁
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
年龄
满意
不满意
合计
年龄不超过35周岁
160
40
200
年龄超过35周岁
140
60
200
合计
300
100
400
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量（万张）
1.93
1.95
1.97
1.98
2.01
2.02
2.02
2.05
2.07
0.5
2
3
4
4
2
0
甲生产线
产品序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
指标
0.98
0.96
1.07
1.02
1.00
0.93
0.92
0.96
1.11
1.02
指标
2.01
1.97
1.96
2.03
2.03
1.98
1.95
1.99
2.07
2.02
乙生产线
产品序号
1
2
3
4
5
6
7
8
指标
1.02
0.97
0.95
0.94
1.13
0.98
0.97
1.01
指标
2.01
2.03
2.15
1.93
2.01
2.02
2.19
2.04
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
P
0
1
2
男
女
支持方案一
24
16
支持方案二
25
35
0
1
2