数学第十章 概率10.3 频率与概率综合训练题

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1．频率与概率
(1)频率与概率的区别
(2)频率的特点
随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频
率有以下特点.
①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又
具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势.
②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可
能性会减小.
③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数
之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映.
(3)频率的稳定性(用频率估计概率)
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着
试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率(A)会逐渐稳定于事件A发生的
概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率(A)估计概率P(A).
2．生活中的概率
(1)游戏的公平性
在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判
员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的.
(2)天气预报的概率解释
天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天
气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样.
另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨.
3．随机数的产生
(1) 随机数的定义
随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等.
(2)产生随机数的方法
①利用抽签法产生随机数
要产生1n(n∈)之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，，n放入一
个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数.
②利用计算机或计算器产生伪随机数
计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数
的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数.
(3)用随机模拟法估计概率
①随机模拟法产生的必要性
用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，
因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复.
②随机模拟法估计概率的思想
随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每
次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.
③随机模拟法的优点
不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域
中去.
④随机模拟法的步骤
建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果.
【题型1 频率与概率的区别与特点】
【方法点拨】
根据频率与概率的区别，频率的稳定性等基础知识，进行求解即可.
【例1】（2023·高一课时练习）以下说法正确的是（ ）
A．概率与试验次数有关B．在试验前无法确定概率
C．频率与试验次数无关D．频率是在试验后得到的
【解题思路】根据频率和概率的特征判断即可.
【解答过程】概率本身是一个在0,1内的确定值，不随试验结果的改变而改变，故AB错误；
频率本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同条件下做同样次数的重复试验，
得到的事件的频率值也可能会不同，故C错误，D正确.
故选：D.
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）下列四个命题中真命题的个数为（ ）个
①有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品；
②抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51；
③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率；
④掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2.
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】由频率和概率的概念与意义进行辨析即可.
【解答过程】对于①，一批产品的次品率即出现次品的概率，它表示的是产品中出现次品的可能性的大小，并非表示200件产品中必有10件次品，故①不是真命题；
对于②，抛100次硬币，结果51次出现正面，可知出现正面的频率是0.51，而非概率，故②不是真命题；
对于③，随机事件发生的概率不随试验次数的多少而发生变化，是事件的一种固有属性，而随机事件发生的频率，会发生变化，随着试验次数的增加，频率会稳定于概率，但频率只是概率的近似值，并不表示概率就是频率，故③不是真命题；
对于④，掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，即100次试验中，“出现6点”这一事件发生了20次，则出现6点的频率为20100=0.2，故④为真命题.
综上所述，真命题个数为1个.
故选：A.
【变式1-2】（2022秋·河北保定·高二阶段练习）抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（ ）
A．正面向上的概率为0.48B．反面向上的概率是0.48
C．正面向上的频率为0.48D．反面向上的频率是0.48
【解题思路】根据频率和概率的定义逐项判定可得答案.
【解答过程】对于A，正面向上的概率为0.5，是固定不变的，故错误；
对于B，反面向上的概率也是0.5，是固定不变的，故错误；
对于C，抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，根据频率的定义可知，正面向上的频率为0.48，正确；
对于D，抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，反面向上的次数为52次，根据频率的定义可知，反面向上的频率是0.52，故错误.
故选：C.
【变式1-3】（2022·上海·高二专题练习）考虑掷硬币试验，设事件A=“正面朝上”，则下列论述正确的是（ ）
A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为13
B．掷8次硬币，事件A发生的次数一定是4
C．重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率
D．当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5
【解题思路】根据随机事件的性质可判断A，B；根据频率与概率的关系可判断C，D.
【解答过程】掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率P=12×12×2=12，A错误；
掷8次硬币，事件A发生的次数是随机的，B错误；
重复掷硬币，事件A发生的频率无限接近于事件A发生的概率，C错误；
当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5，D正确.
故选：D.
【题型2 频率估计概率在统计中的应用】
【方法点拨】
此类题目的解题方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率，然后根据频率与概率的关系估计事
件发生的概率，据此得出统计推断.
【例2】（2022秋·陕西榆林·高二阶段练习）从某高校随机抽样100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：0,2,2,4,4,6，6,8,8,10,10,12,12,14．
(1)求这100名学生中该周课外阅读时间在8,10范围内的学生人数；
(2)估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率．
【解题思路】（1）根据频率之和为1，求出周课外阅读时间在8,10的频率，即可求解；
（2）根据频率分布直方图，求出每周课外阅读时间超过6小时的频率之和，即可得出结论.
【解答过程】（1）由图易知，该周课外阅读时间在8,10的频率为：
1−2×0.025+0.050+0.075+0.150+0.075+0.025=0.200，
∴这100名学生中该周课外阅读时间在8,10范围内的学生人数为100×0.200=20人．
（2）每周课外阅读时间超过6小时的频率为2×0.150+0.2002+0.075+0.025=0.7，
∴估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率为0.7．
【变式2-1】（2022·全国·高一专题练习）某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按0,10，10,20，20,30，30,40，40,50分组，得到频率分布直方图如下，假设甲、乙两种酸奶的日销售量相互独立.
（1）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s12，s22，试比较s12与s22的大小；（只需写出结论）
（2）用频率估计概率，求在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱的概率.
【解题思路】（1）根据频率之和为1求得a，根据数据的集中程度可比较方差；
（2）分别求出未来的某一天，甲、乙种酸奶的销售量不高于20箱的概率即可求出.
【解答过程】（1）根据频率分布直方图（甲）可得：0.02+0.01+0.03+a+0.025×10=1，解得a=0.015，
根据两个频率分布直方图可得，乙种酸奶日销售量数据更集中，所以s12>s22；
（2）设事件A：在未来的某一天，甲种酸奶的销售量不高于20箱，
事件B：在未来的某一天，乙种酸奶的销售量不高于20箱，
事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱，
则PA=0.2+0.1=0.3，PB=0.1+0.2=0.3，
所以PC=PAPB+PAPB=0.42.
【变式2-2】（2023·高一课时练习）某校高三分为四个班.调研测试后，随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计，各班被抽取的学生数依次为22，22+d，22+2d，22+3d人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示，其中120~130（包括120分但不包括130分）的频率为0.05，此分数段的人数为5人.
(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人？
(2)在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分的概率．
【解题思路】（1）由频率分布条形图知抽取的学生总数，各班被抽取的学生人数成等差数列，设公差为d，则4×22+4×32d=100求出d可得答案；
（2）任取一名学生，分数不低于90分的概率等于1减去分数低于90分的概率，结合频率分布直方图可得答案.
【解答过程】（1）由频率等于频数除以总数知，抽取的学生总数为50.05=100人，又各班被抽取的学生人数成等差数列，人数最少的班被抽取了22人，则首项为22.设公差为d，则4×22+4×32d=100，∴d=2，因此各班被抽取的人数分别是22人，24人，26人，28人；
（2）在抽取的所有学生中，任取一名学生，分数不低于90分的概率等于1减去分数低于90分的概率，而分数低于90分的概率等于0.05+0.20=0.25，因此所求概率为1−0.25=0.75.
【变式2-3】（2023秋·北京平谷·高二期末）某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20,30，30,40，…，80,90，并整理得到频率分布直方图如图所示．
(1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40,50内的人数；
(3)估计随机抽取的100名学生分数的众数，估计测评成绩的75%分位数；
(4)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【解题思路】（1）由对立事件结合频率分布直方图先得出数不小于60的频率，即可得出分数小于60的频率，则可得出总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计值；
（2）先由频率分布直方图可得分数不小于50的频率，即可得出分数不小于50的人数，在集合题意即可得出总体中分数在区间40,50内的人数；
（3）总数为频率分布直方图中频率最高的分数区间的中间值，测评成绩的75%分位数先得出从前到后的频率之和为0.75时在那个区间，在通过频率求出；
（4）先由频率分布直方图可得分数不小于70的学生人数，在通过已知得出样本中的男女生比例，即可得出总体中男女生的比例估计.
【解答过程】（1）由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：0.02+0.04+0.02×10=0.8，
则分数小于60的频率为：1−0.8=0.2，
故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.2；
（2）由频率分布直方图可得分数不小于50的频率为：0.01+0.02+0.04+0.02×10=0.9，
则分数在区间40,50内的人数为：100−100×0.9−5=5人，
则总体中分数在区间40,50内的人数为：500×5100=25人；
（3）由频率分布直方图可得分数在区间70,80的频率最高，
则随机抽取的100名学生分数的众数估计为75，
由频率分布直方图可得分数小于70的频率为0.4，分数小于80的频率为0.8，
则测评成绩的75%分位数落在区间70,80上，
则测评成绩的75%分位数为70+10×；
（4）由频率分布直方图可得分数不小于70的学生人数为0.02+0.04×10×100=60人，
因为样本中分数不小于70的男女生人数相等
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×12=30人，
又因为样本中有一半男生的分数不小于70，
所以样本中的男生共有30×2=60人，
则样本中的女生共有100−60=40人，
所以总体中男生和女生人数的比例估计为60:40=3:2.
【题型3 游戏公平性的判断】
【方法点拨】
无论是怎样的游戏，游戏公平与否就是看参与游戏的每个个体获胜的概率是否相同，相同则公平，不相同
则不公平.
【例3】（2022·全国·高一专题练习）甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【解题思路】运用古典概型的概率计算公式，分别计算A，B，C，D中的概率，结合题意，即可得到所求结论．
【解答过程】解：A项，P（点数为奇数）＝P（点数为偶数）＝12；
B项，P（点数之和大于7）＝1536=512，P（点数之和小于等于7）＝2136=712；
C项，P（牌色为红）＝P（牌色为黑）＝12；
D项，P（同奇或同偶）＝P（奇偶不同）＝24=12．
故选：B.
【变式3-1】（2022·高二课时练习）张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是( )
①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜;
②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜;
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜;
④张明、张华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜.
A．①②B．②C．②③④D．①②③④
【解题思路】分别计算①、②、③、④中的概率，结合题意，即可得到所求结论．
【解答过程】①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数和偶数是等可能的，均为12，所以公平；
②中,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)两种情况,而两枚都正面向上仅为(正,正),因此②中游戏不公平.
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色和黑色是等可能的，均为12，所以公平；
④张明、张华两人各写一个数字6或8,一共四种情况(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)，两人写的数字相同和不同是等可能的，均为12，所以公平；.
故选B.
【变式3-2】（2022·高二课时练习）下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球．
其中不公平的游戏是（ ）
A．游戏1；B．游戏1和游戏3；C．游戏2；D．游戏3．
【解题思路】依次求出每个游戏中甲胜的概率，然后可得答案，
【解答过程】游戏1中，取2个球的所有可能情况为：（黑1，黑2）、（黑1，黑3）、（黑2，黑3）、（黑1，白）、（黑2，白）、（黑3，白），
所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；
游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；
游戏3中，取2个球的所有可能情况为：（黑1，黑2）、（黑1，白1）、（黑1，白2）、（黑2，白1）、（黑2，白2）、（白1，白2），
所以甲胜的可能性为13，游戏是不公平的．
故选：D．
【变式3-3】（2022·高一课时练习）甲、乙两人做游戏,下列游戏不公平的是( )
A．抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则甲获胜,向上的点数为偶数则乙获胜
B．同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则甲获胜,两枚都正面向上则乙获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则甲获胜,扑克牌是黑色的则乙获胜
D．甲、乙两人各写一个数字1或2,如果两人写的数字相同甲获胜,否则乙获胜
【解题思路】分别计算各选项中的概率，结合题意，即可得到所求结论．
【解答过程】对于A：抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数的概率为12，向上的点数为偶数的概率为12故A公平；
对于B中同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上的概率为12，两枚都正面向上的概率为14 所以对乙不公平
对于C：从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的概率为12，扑克牌是黑色的概率为12，所以公平；
对于D：甲、乙两人各写一个数字1或2,如果两人写的数字相同的概率为12，数字不同的概率为12，所以公平；
故选B.
【题型4 概率模拟问题】
【方法点拨】
求解概率模拟问题的注意点
(1)选择适当的替代物，因为替代物的选取是否合理决定了试验结果的可信度，因此在用替代物模拟试验中，
要求必须在相同条件下进行.
(2)用计算机(器)模拟试验时对随机数范围的确定.例如，有20张大小相同的卡片，分别写有1~20的数，从
中随机抽取一张，求结果是5的倍数的概率，在这种情况下，随机数的范围应是1~20内的整数.
【例4】（2023·全国·高一专题练习）气象台预报“本市未来三天降雨的概率都为30%”，现采用随机模拟的方法估计未来三天降雨的情况：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三个随机数为一组，代表三天降雨的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 815 458 569 683
431 257 393 027 556 481 730 113 537 989
据此估计，未来三天恰有一天降雨的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【解题思路】由随机数组确定表示降雨的随机数组后可得概率．
【解答过程】表示未来三天恰有一天降雨的有：925，815，683，257，027，481，730，537共8个，
概率为820=0.4，
故选：C．
【变式4-1】（2022秋·湖北·高二期中）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（ ）.
A．0.25B．0.4C．0.6D．0.75
【解题思路】根据题意分析随机数中没有1，2，3，4中的数的个数，再根据对立事件的概率求解即可
【解答过程】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率为520=0.25，则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为1−0.25=0.75，
故选：D.
【变式4-2】（2023秋·陕西榆林·高二期末）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A．35B．25C．12D．710
【解题思路】根据题意，计算随机数中每组数中有2个数字在集合1,2,3,4,5,6中判断即可
【解答过程】由题意，随机数中417，386，196，206表示这三天中恰有两天下雨，故估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为410=25
故选：B.
【变式4-3】（2022·全国·高一专题练习）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【解题思路】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.
【解答过程】解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，
故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为210=0.2.
故选：A.
频率
本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同.
概率
本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变.
举例辨析
例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数，
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和1个白球
1个黑球和1个白球
2个黑球和2个白球
取1个球，再取1个球
取1个球
取1个球，再取1个球
取出两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜