还剩23页未读，
继续阅读
所属成套资源：人教版七年级数学下册同步讲义专题（教师版）+（学生版）
成套系列资料，整套一键下载
人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第18课 实际问题与二元一次方程组（教师版）
展开
这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第18课 实际问题与二元一次方程组（教师版），共26页。试卷主要包含了和差倍分问题，产品配套问题，工程问题，利润问题等内容，欢迎下载使用。
目标导航
知识精讲
知识点01 常见的一些等量关系（一）
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .
知识点02 实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
注意：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
知识点03 常见的一些等量关系（二）
行程问题
速度×时间=路程.
顺水速度=静水速度+水流速度.
逆水速度=静水速度-水流速度.
2．存贷款问题
利息=本金×利率×期数.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .
年利率＝月利率×12.
月利率＝年利率×.
3.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
4．方案问题
在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
注意：
方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案．
知识点04 实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思路
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
注意：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
能力拓展
考法01 和差倍分问题
【典例1】在一次数学测验中，甲、乙两校各有100名同学参加测试．测试结果显示，甲校男生的优分率为60％，女生的优分率为40％，全校的优分率为49.6％；乙校男生的优分率为57％，女生的优分率为37％．
(男(女)生优分率＝，全校优分率＝)
(1)求甲校参加测试的男、女生人数各是多少?
(2)从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率，但最终的统计结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低，请举例说明原因．
【分析】 (1)求甲校参加测试的男、女生人数需设两个未知数，故可建立二元一次方程组求解．(2)由于甲校男、女生的优分率相应高于乙校的男、女生的优分率，要使乙校的全校优分率比甲校的全校优分率高，此时，只有乙校的男生较多时，才能提高全校的优分率．
【答案与解析】
解：(1)设甲校参加测试的男生人数是x人，女生人数是y人．
由题意可列方程组：
解之得：．
答：甲校参加测试的男生有48人，女生有52人．
(2)如：乙校男生有70人，女生有30人，则乙校的全校优分率为
．51％＞49.6％
(说明：只要所举例子中男生人数多于63人，且女生优分率合适，即可得全分．)
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题的第（2）问也可以用不等式求出甲乙两校男生人数满足什么关系时，才满足甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低．
【即学即练】为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30％和25%．
(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台?
(2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？
【答案】
解：(1)设政策出台前一个月销售的手动型汽车为x辆，自动型汽车为y辆，
由题意可得：
解之得：．
答：政策出台前一个月销售的手动型汽车为560辆，自动型汽车为400辆．
(2)[560×(1+30％)×8+400×(1+25％)×9]×5％＝516.2(万元)
答：政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了516.2万元．
考法02 配套问题
【典例2】某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？
【答案与解析】
解：设女生人，男生人，由题意得：
解得：
答：这个班的男生有32人，女生有21人.
【点睛】两人抬土需要一根扁担，一只筐；一人挑土需要一根扁担，两只筐．题中的等量关系是：参加劳动的同学一共用去箩筐68个和40根扁担，从而列出方程组，解出即可．
【即学即练】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？
【答案】
解：设分配x人生产螺栓，y人生产螺母，则根据题意可得：
答：应分配25人生产螺栓，35人生产螺母.
考法03 工程问题
【典例3】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
（3）若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论）
【分析】（1）本题的等量关系是：甲做8天需要的费用+乙作8天需要的费用=3520元．
甲组6天需付的费用+乙做12天需付的费用=3480元，由此可得出方程组求出解．
（2）根据（1）得出的甲乙每工作一天，商店需付的费用，然后分别计算出甲单独做12天需要的费用，乙单独做24天需要的费用，让两者进行比较即可．
（3）本题可将每种施工方法的施工费加上施工期间商店损失的费用，然后将不同方案计算出的结果进行比较，损失最少的方案就是最有利商店的方案．
【答案与解析】
解：（1）设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元．
由题意得
解得
答：甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元．
（2）单独请甲组需要的费用：300×12=3600元．
单独请乙组需要的费用：24×140=3360元．
答：单独请乙组需要的费用少．
（3）请两组同时装修，理由：
甲单独做，需费用3600元，少赢利200×12=2400元，相当于损失6000元；
乙单独做，需费用3360元，少赢利200×24=4800元，相当于损失8160元；
甲乙合作，需费用3520元，少赢利200×8=1600元，相当于损失5120元；
因为5120＜6000＜8160，
所以甲乙合作损失费用最少．
答：甲乙合作施工更有利于商店．
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：甲做8天需要的费用+乙作8天需要的费用=3520元．列出方程组，再求解．
考法04 利润问题
【典例4】甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按定价的9折出售，这样商店共获利157元．求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
【分析】设甲服装的成本是x元，则乙服装的成本是y元，根据“甲、乙两件服装共获利157元、将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，两件服装均按定价的9折出售，这样商店共获利157元”，列方程组解决问题．
【答案与解析】
解：设甲服装的成本是x元，则乙服装的成本是y元，依题意有
解得：
答：甲服装的成本为300元，乙服装的成本为200元．
【点睛】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组，再求解．
【即学即练】为处理甲、乙两种积压服装，商场决定打折销售，已知甲、乙两种服装的原单价共位880元，现将甲服装打八折，乙服装打七五折，结果两种服装的单价共为684元，则甲、乙两种服装的原单价分别是多少？
【答案】
解：设甲、乙两种服装的原单价分别是x元、y元．
根据题意，得：，
解得：，
即：甲、乙两种服装的原单价分别是480元、400元．
考法05 行程问题
【典例5】A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出．
(1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度；
(2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?
【分析】这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解．
(1)“同时开出相向而行”可用下图表示．
“同时开出同向而行”可用下图表示．
(2)慢车先开出1小时，两车相向而行，仿照（1）用示意图表示出来，并用等式表示出来．
【答案与解析】
解：(1)设快车和慢车的速度分别为x千米/时和y千米/时．
根据题意，得，
解得
答：快车和慢车的速度分别为100千米/时和60千米/时．
(2)设快车开出x小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时，
根据题意，得60(x+1)+100x＝480．
解得．
答：快车开出小时两车相遇．
【点睛】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词．
【即学即练】两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；若第一列火车比第二列火车先出发9h，则第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？
【答案】
解：设这两列火车的速度分别为km/h，km/m．
由题意得，
答：这两列火车的速度分别为45 km/h和 36 km/h．
考法06 存贷款问题
【典例6】蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，徐先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？
【分析】本题的等量关系：甲种贷款+乙种贷款＝13万元；甲种贷款的年利息+乙种贷款的年利息＝6075元.
【答案与解析】
解：设甲，乙两种贷款分别是x，y元，根据题意得：
解得：
答：甲，乙两种贷款分别是61000元和69000元．
【点睛】利息＝贷款金额×利息率.
考法07 数字问题
【典例7】一个两位数的数字之和为11，若把十位数字与个位数字对调，所得的两位数比原来大63，则原来两位数为（ ）
A．92B．38 C．47 D．29
【分析】设这个两位数十位为x，个位为y，根据个位数字与十位数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，列方程组求解．
【答案】D．
【解析】解：设这个两位数十位为x，个位为y，
由题意得，，
解得：，
则这个两位数为：29．
故选：D．
【点睛】对于两位数、三位数的数字问题，关键是明确它们与各数位上的数字之间的关系：两位数＝十位数字×10+个位数字；三位数＝百位数字×100+十位数字×10+个位数字．
【即学即练】一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（ ）
A．16B．25C．52D．61
【答案】A
解：设个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数是（10b+a），
由题意，得，
解得．
所以这个两位数是：10×1+6=16．
考法08 方案选择问题
【典例8】某种饮料有大箱和小箱两种包装，已知3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶．求：
①2大箱、5小箱分别有饮料多少瓶？
②若一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，且两种包装的饮料质量完全相同，请问购买哪种包装的饮料更合算？
【分析】①设大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，根据3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶即可列出二元一次方程组求出即可；
②利用①中所求分别求出平均每瓶的价格进而得出答案．
【答案与解析】
解：①设大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，
根据题意可知3大箱、2小箱共92瓶，
可列式为3x+2y=92，
又知5大箱、3小箱共150瓶，
故可列式为5x+3y=150，
即列方程组为，
解得：，
故2大箱有24×2=48（瓶）、5小箱有饮料：10×5=50（瓶），
答：2大箱有48瓶、5小箱有饮料50瓶；
②∵一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，
∴大箱平均每瓶：48÷24=2（元），
小箱平均每瓶：25÷10=2.5（元），
所以买大箱合算．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是要读懂题意，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
【即学即练】某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.
【答案】
解：(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐.则根据题意可得：
解得：
答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐.
∴能供全校的5300名学生就餐.
分层提分
题组A 基础过关练
1．甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【详解】
根据题意可得，顺水速度为：，逆水速度为：，所以根据所走的路程可列方程组为，故选A．
2．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】
设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：．
故选A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】
设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得：，
故选D．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
4．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
根据平角和直角定义，得方程x+y=90；根据∠1比∠2的度数大50°，得方程x=y+50．可列方程组为，故选C．
考点：1．由实际问题抽象出二元一次方程组；2．余角和补角．
5． 20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：要列方程（组），首先要根据题意找出存在的等量关系.本题等量关系为：
①男女生共20人；
②男女生共植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵.
据此列出方程组：.
故选D．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组.
6．小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟，假设小颖上坡路的平均速度是3千米/小时，下坡路的平均速度是5千米/小时，若设小颖上坡用了，下坡用了，根据题意可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据路程=时间乘以速度得到方程，再根据总时间是16分钟即可列出方程组.
【详解】
∵她去学校共用了16分钟，
∴x+y=16，
∵小颖家离学校1200米，
∴，
∴，
故选：B.
【点睛】
此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组，注意时间单位，这是解题中容易出现错误的地方.
7．夏季来临，某超市试销、两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，型风扇每台200元，型风扇每台150元，问、两种型号的风扇分别销售了多少台？若设型风扇销售了台，型风扇销售了台，则根据题意列出方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：直接利用两周内共销售30台，销售收入5300元，分别得出等式进而得出答案．
详解：设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为：．
故选C．
点睛：本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题的关键．
8．某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有个，小房间有个.下列方程正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【详解】
【分析】大房间有个，小房间有个，根据等量关系：大小共70个房间，共住480人，列方程组即可.
【详解】大房间有个，小房间有个，
由题意得：，
故选A.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是解此类问题的关键.
9．如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．35B．45C．55D．65
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的面积公式计算列方程组计算即可.
【详解】
解：设小矩形的长为a，宽为b，可得方程组：
a+2b=15，a=3b，
可得解：a=9，b=3，
故阴影部分的面积：，
故选B.
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用，根据图形列出方程组是解题的关键.
10．利用两块长方体测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．73cmB．74cmC．75cmD．76cm
【答案】D
【解析】
【详解】
设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=79，由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=73，两个方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=152，解得：h=76cm．故选D．
题组B 能力提升练
11．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问安排______名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套．
【答案】25
【解析】
【详解】
设需安排x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工小齿轮，由题意得：
，解得：．
即安排25名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套．
故答案为25．
【点睛】
本题考查理解题意能力，关键是能准确得知2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，根据此正确列出方程．
12．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状，大小相同的长方形（即空白的长方形），AD＝12cm，FG＝4cm，则图中阴影部分的总面积是 __________.
【答案】48
【解析】
【详解】
解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，根据图形可得，
①－②得4y＝8，所以y＝2，代入②得x＝6，
因此阴影部分总面积＝12×10－6×2×6＝48.
故答案：48.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解决问题的关键.
13．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是_____．
【答案】95
【解析】
【详解】
设十位数字为x，个位数字为y，根据题意所述的等量关系可得出方程组，求解即可得，即这个两位数为95．
故答案为95.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，注意掌握二位数的表示方法．
14．某人步行5小时，先沿平坦道路走，然后上山，再沿来的路线返回，若在平坦道路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，那么这5小时共走了路程____________千米．
【答案】20
【解析】
【分析】
设平路有x千米，上坡路有y千米，根据平路用时+上坡用时+下坡用时+平路用时=5，即可得解．注意求得x+y的值即为总路程．
【详解】
设平路有x千米，上坡路有y千米，根据题意，得:
＋＋＋＝5，即＋＝5，则x＋y＝10(千米)，
这5小时共走的路程＝2×10＝20(千米)．
故答案是：20.
【点睛】
考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．注意可以通过间接方式得解．
15．一家快餐店销售三种套餐，其中套餐包含一荤两素，套餐包含两荤一素，套餐包含两荤两素，每份套餐中一荤的成本相同，一素的成本也相同，已知一份套餐的售价是一份套餐和一份套餐售价之和的一天下来，店长发现套餐和套餐的销量相同，且套餐的利润和是套餐利润的两倍，当天的总利润率是．第二天店内搞活动，套餐的售价打五折，套餐的售价均不变，当三种套餐的销量相同时，总利润率为________．
【答案】28%
【解析】
【分析】
设荤菜的成本为m元，素菜的成本为n元，荤菜的利润率为x，素菜的利润率为y，A套餐和B套餐的数量为a份，C套餐的数量为b份，根据套餐的利润和是套餐利润的两倍得到，再根据当天的总利润率是可求得mx＋ny＝0.6(m＋n)，进而求出一份A、B、C的售价，设三种套餐的销量都为t份，根据新的售价列出总利润率的代数式，将代数式化简即可求得答案．
【详解】
解：设一份荤菜的成本为m元，一份素菜的成本为n元，一份荤菜的利润率为x，一份素菜的利润率为y，A套餐和B套餐的数量为a份，C套餐的数量为b份，
∵套餐的利润和是套餐利润的两倍，
∴3(mx＋ny)·a＝2×2(mx＋ny)·b，
整理得：，
∵当天的总利润率是，
∴3(mx＋ny)·a＋2(mx＋ny)·b＝60%·[3(m＋n)·a＋2(m＋n)·b]，
整理得mx＋ny＝0.6(m＋n)，
∴一份套餐和一份套餐售价之和为元，
∵一份套餐的售价是一份套餐和一份套餐售价之和的
∴一份套餐的售价为元，
∵第二天店内搞活动，套餐的售价打五折，套餐的售价均不变，
∴第二天的一份套餐和一份套餐售价之和为元，一份套餐的售价为元，
∵三种套餐的销量相同 ，
∴设三种套餐的销量都为t份，
则总利润率为：
=
=
=0.28
=28%，
故答案为：28%．
【点睛】
本题综合性较强，考查了营销问题中的利润问题，用利润的基本等量关系列出关系式，设出相应的未知数，根据利润率＝利润÷成本=售价÷成本－1是解决本题的关键．
16．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55 cm， 此时木桶中水的深度是_______cm．
【答案】20
【解析】
【详解】
试题分析：考查方程思想及观察图形提取信息的能力．
解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．
因为两根铁棒之和为55cm，故可列x+y=55，
又知两棒未露出水面的长度相等，故可知x=y，
据此可列：，
解得：，
因此木桶中水的深度为30×=20cm．
故填20．
考点：二元一次方程组的应用．
题组C 培优拔尖练
17．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．
（1）求该店有客房多少间？房客多少人？
（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？
【答案】（1）该店有客房8间，房客63人；（2）诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算．
【解析】
【分析】
（1）设该店有客房x间，房客y人；根据题意得出方程组，解方程组即可；
（2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性定客房18间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论．
【详解】
解：（1）设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，解得：．
答：该店有客房8间，房客63人；
（2）若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16=320钱
若一次性定客房18间，则需付费20×18×0.8=288钱＜320钱；
答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算．
“点睛”本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
18．已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货l8吨，某物流公刊现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)l辆A型车和l辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若A型车每辆需租金200元／次，B型车每辆需租金240元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1) A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货3吨、4吨;(2) 最省钱的租车方案是方案一：A型车8辆，B型车2辆，最少租车费为2080元.
【解析】
【分析】
（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，根据题目中的等量关系：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货l8吨，列方程组求解即可；
（2）由题意得出3a+4b=35，然后由a、b为整数解，得到三中租车方案；
（3）根据（2）中的所求方案，利用A型车每辆需租金200元／次，B型车每辆需租金240元／次，分别求出租车费用即可.
【详解】
解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
依题意列方程组为：
解得
答：1辆A型车辆装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨.
（2）结合题意，和（1）可得3a+4b=35
∴a=
∵a、b都是整数
∴或或
答：有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车2辆；
方案二：A型车5辆，B型车5辆；
方案三：A型车1辆，B型车8辆．
（3）∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，
∴方案一需租金：9×200+2×240=2280（元）
方案二需租金：5×200+5×240=2200（元）
方案三需租金：1×200+8×240=2120（元）
∵2280＞2200＞2120
∴最省钱的租车方案是方案一：A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元.
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的解法，关键是明确二元一次方程有无数解，但在解与实际问题有关的二元一次方程组时，要结合未知数的实际意义求解.
19．食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A，B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A，B两种饮料共100瓶，问A，B两种饮料各生产了多少别瓶？
【答案】A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶.
【解析】
【分析】
根据题意设出未知数，再根据题目中“270添加剂恰好生产了A，B两种饮料共100”得出等量关系列出方程，求出结果即可．
【详解】
设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了瓶.
根据题意得．
解方程，得．
（瓶）.
答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶.
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，在解题时要能根据题意得出等量关系，列出方程是本题的关键．
20．已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨.用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆,一次运完，且每辆车都满载货物.根据以上信息解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车载满货物一次分别可运货物多少吨？
（2）请帮助物流公司设计租车方案
（3）若A型车每辆车租金每次100元，B型车每辆车租金每次120元.请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费.
【答案】(1)1辆A型车载满货物每次可运货物3吨，1辆B型车载满货物一次可运货物4吨;(2) 有三种租车方案：方案一,租用A型车9辆，B型车1辆， 方案二,租用A型车5辆，B型车4辆，方案三,租用A型车1辆，B型车7辆.（3）选择方案三最省钱，最少的租车费为940元.
【解析】
【详解】
（1）设A、B型车都装满货物一次每辆车装吨、吨
则
解得：
（2）结合题意和上一问得：3a+4b=31
∴a=
因为a，b都是正整数，
∴或或
有三种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆；
方案二：A型车5辆，B型车4辆；
方案三：A型车1辆，B型车7辆；
（3）A型车每辆车租金每次100元，B型车每辆车租金每次120元，
方案一：9100+1120=1020；；
方案二：5100+4120=980；
方案三：1100+7120=940；
∵1020＞980＞940
∴方案三最省钱，费用为940元．
21．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
【答案】（1）打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．（2）打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．
【解析】
【分析】
（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数-打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数．
【详解】
（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，
根据题意得：
，
解得：．
答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．
（2）80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3640（元）．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．
22．为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元（2）共有4种进货方案（3）当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元
【解析】
【详解】
解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，
根据题意得方程组得：，
解方程组得：，
∴购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元；
（2）设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（100﹣x）个，
∴，
解得：50≤x≤53，
∵x 为正整数，
∴共有4种进货方案；
（3）因为B种纪念品利润较高，故B种数量越多总利润越高，
因此选择购A种50件，B种50件．
总利润=50×20+50×30=2500（元）
∴当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元．课程标准
1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；
2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题．
3．熟悉行程、方案、数字等问题的解决方法；
4. 进一步研究用二元一次方程组解决实际问题．
目标导航
知识精讲
知识点01 常见的一些等量关系（一）
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .
知识点02 实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
注意：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
知识点03 常见的一些等量关系（二）
行程问题
速度×时间=路程.
顺水速度=静水速度+水流速度.
逆水速度=静水速度-水流速度.
2．存贷款问题
利息=本金×利率×期数.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .
年利率＝月利率×12.
月利率＝年利率×.
3.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
4．方案问题
在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
注意：
方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案．
知识点04 实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思路
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
注意：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
能力拓展
考法01 和差倍分问题
【典例1】在一次数学测验中，甲、乙两校各有100名同学参加测试．测试结果显示，甲校男生的优分率为60％，女生的优分率为40％，全校的优分率为49.6％；乙校男生的优分率为57％，女生的优分率为37％．
(男(女)生优分率＝，全校优分率＝)
(1)求甲校参加测试的男、女生人数各是多少?
(2)从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率，但最终的统计结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低，请举例说明原因．
【分析】 (1)求甲校参加测试的男、女生人数需设两个未知数，故可建立二元一次方程组求解．(2)由于甲校男、女生的优分率相应高于乙校的男、女生的优分率，要使乙校的全校优分率比甲校的全校优分率高，此时，只有乙校的男生较多时，才能提高全校的优分率．
【答案与解析】
解：(1)设甲校参加测试的男生人数是x人，女生人数是y人．
由题意可列方程组：
解之得：．
答：甲校参加测试的男生有48人，女生有52人．
(2)如：乙校男生有70人，女生有30人，则乙校的全校优分率为
．51％＞49.6％
(说明：只要所举例子中男生人数多于63人，且女生优分率合适，即可得全分．)
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题的第（2）问也可以用不等式求出甲乙两校男生人数满足什么关系时，才满足甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低．
【即学即练】为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30％和25%．
(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台?
(2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？
【答案】
解：(1)设政策出台前一个月销售的手动型汽车为x辆，自动型汽车为y辆，
由题意可得：
解之得：．
答：政策出台前一个月销售的手动型汽车为560辆，自动型汽车为400辆．
(2)[560×(1+30％)×8+400×(1+25％)×9]×5％＝516.2(万元)
答：政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了516.2万元．
考法02 配套问题
【典例2】某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？
【答案与解析】
解：设女生人，男生人，由题意得：
解得：
答：这个班的男生有32人，女生有21人.
【点睛】两人抬土需要一根扁担，一只筐；一人挑土需要一根扁担，两只筐．题中的等量关系是：参加劳动的同学一共用去箩筐68个和40根扁担，从而列出方程组，解出即可．
【即学即练】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？
【答案】
解：设分配x人生产螺栓，y人生产螺母，则根据题意可得：
答：应分配25人生产螺栓，35人生产螺母.
考法03 工程问题
【典例3】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
（3）若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论）
【分析】（1）本题的等量关系是：甲做8天需要的费用+乙作8天需要的费用=3520元．
甲组6天需付的费用+乙做12天需付的费用=3480元，由此可得出方程组求出解．
（2）根据（1）得出的甲乙每工作一天，商店需付的费用，然后分别计算出甲单独做12天需要的费用，乙单独做24天需要的费用，让两者进行比较即可．
（3）本题可将每种施工方法的施工费加上施工期间商店损失的费用，然后将不同方案计算出的结果进行比较，损失最少的方案就是最有利商店的方案．
【答案与解析】
解：（1）设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元．
由题意得
解得
答：甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元．
（2）单独请甲组需要的费用：300×12=3600元．
单独请乙组需要的费用：24×140=3360元．
答：单独请乙组需要的费用少．
（3）请两组同时装修，理由：
甲单独做，需费用3600元，少赢利200×12=2400元，相当于损失6000元；
乙单独做，需费用3360元，少赢利200×24=4800元，相当于损失8160元；
甲乙合作，需费用3520元，少赢利200×8=1600元，相当于损失5120元；
因为5120＜6000＜8160，
所以甲乙合作损失费用最少．
答：甲乙合作施工更有利于商店．
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：甲做8天需要的费用+乙作8天需要的费用=3520元．列出方程组，再求解．
考法04 利润问题
【典例4】甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按定价的9折出售，这样商店共获利157元．求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
【分析】设甲服装的成本是x元，则乙服装的成本是y元，根据“甲、乙两件服装共获利157元、将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，两件服装均按定价的9折出售，这样商店共获利157元”，列方程组解决问题．
【答案与解析】
解：设甲服装的成本是x元，则乙服装的成本是y元，依题意有
解得：
答：甲服装的成本为300元，乙服装的成本为200元．
【点睛】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组，再求解．
【即学即练】为处理甲、乙两种积压服装，商场决定打折销售，已知甲、乙两种服装的原单价共位880元，现将甲服装打八折，乙服装打七五折，结果两种服装的单价共为684元，则甲、乙两种服装的原单价分别是多少？
【答案】
解：设甲、乙两种服装的原单价分别是x元、y元．
根据题意，得：，
解得：，
即：甲、乙两种服装的原单价分别是480元、400元．
考法05 行程问题
【典例5】A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出．
(1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度；
(2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?
【分析】这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解．
(1)“同时开出相向而行”可用下图表示．
“同时开出同向而行”可用下图表示．
(2)慢车先开出1小时，两车相向而行，仿照（1）用示意图表示出来，并用等式表示出来．
【答案与解析】
解：(1)设快车和慢车的速度分别为x千米/时和y千米/时．
根据题意，得，
解得
答：快车和慢车的速度分别为100千米/时和60千米/时．
(2)设快车开出x小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时，
根据题意，得60(x+1)+100x＝480．
解得．
答：快车开出小时两车相遇．
【点睛】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词．
【即学即练】两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；若第一列火车比第二列火车先出发9h，则第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？
【答案】
解：设这两列火车的速度分别为km/h，km/m．
由题意得，
答：这两列火车的速度分别为45 km/h和 36 km/h．
考法06 存贷款问题
【典例6】蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，徐先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？
【分析】本题的等量关系：甲种贷款+乙种贷款＝13万元；甲种贷款的年利息+乙种贷款的年利息＝6075元.
【答案与解析】
解：设甲，乙两种贷款分别是x，y元，根据题意得：
解得：
答：甲，乙两种贷款分别是61000元和69000元．
【点睛】利息＝贷款金额×利息率.
考法07 数字问题
【典例7】一个两位数的数字之和为11，若把十位数字与个位数字对调，所得的两位数比原来大63，则原来两位数为（ ）
A．92B．38 C．47 D．29
【分析】设这个两位数十位为x，个位为y，根据个位数字与十位数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，列方程组求解．
【答案】D．
【解析】解：设这个两位数十位为x，个位为y，
由题意得，，
解得：，
则这个两位数为：29．
故选：D．
【点睛】对于两位数、三位数的数字问题，关键是明确它们与各数位上的数字之间的关系：两位数＝十位数字×10+个位数字；三位数＝百位数字×100+十位数字×10+个位数字．
【即学即练】一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（ ）
A．16B．25C．52D．61
【答案】A
解：设个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数是（10b+a），
由题意，得，
解得．
所以这个两位数是：10×1+6=16．
考法08 方案选择问题
【典例8】某种饮料有大箱和小箱两种包装，已知3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶．求：
①2大箱、5小箱分别有饮料多少瓶？
②若一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，且两种包装的饮料质量完全相同，请问购买哪种包装的饮料更合算？
【分析】①设大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，根据3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶即可列出二元一次方程组求出即可；
②利用①中所求分别求出平均每瓶的价格进而得出答案．
【答案与解析】
解：①设大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，
根据题意可知3大箱、2小箱共92瓶，
可列式为3x+2y=92，
又知5大箱、3小箱共150瓶，
故可列式为5x+3y=150，
即列方程组为，
解得：，
故2大箱有24×2=48（瓶）、5小箱有饮料：10×5=50（瓶），
答：2大箱有48瓶、5小箱有饮料50瓶；
②∵一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，
∴大箱平均每瓶：48÷24=2（元），
小箱平均每瓶：25÷10=2.5（元），
所以买大箱合算．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是要读懂题意，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
【即学即练】某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.
【答案】
解：(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐.则根据题意可得：
解得：
答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐.
∴能供全校的5300名学生就餐.
分层提分
题组A 基础过关练
1．甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【详解】
根据题意可得，顺水速度为：，逆水速度为：，所以根据所走的路程可列方程组为，故选A．
2．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】
设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：．
故选A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】
设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得：，
故选D．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
4．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
根据平角和直角定义，得方程x+y=90；根据∠1比∠2的度数大50°，得方程x=y+50．可列方程组为，故选C．
考点：1．由实际问题抽象出二元一次方程组；2．余角和补角．
5． 20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：要列方程（组），首先要根据题意找出存在的等量关系.本题等量关系为：
①男女生共20人；
②男女生共植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵.
据此列出方程组：.
故选D．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组.
6．小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟，假设小颖上坡路的平均速度是3千米/小时，下坡路的平均速度是5千米/小时，若设小颖上坡用了，下坡用了，根据题意可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据路程=时间乘以速度得到方程，再根据总时间是16分钟即可列出方程组.
【详解】
∵她去学校共用了16分钟，
∴x+y=16，
∵小颖家离学校1200米，
∴，
∴，
故选：B.
【点睛】
此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组，注意时间单位，这是解题中容易出现错误的地方.
7．夏季来临，某超市试销、两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，型风扇每台200元，型风扇每台150元，问、两种型号的风扇分别销售了多少台？若设型风扇销售了台，型风扇销售了台，则根据题意列出方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：直接利用两周内共销售30台，销售收入5300元，分别得出等式进而得出答案．
详解：设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为：．
故选C．
点睛：本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题的关键．
8．某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有个，小房间有个.下列方程正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【详解】
【分析】大房间有个，小房间有个，根据等量关系：大小共70个房间，共住480人，列方程组即可.
【详解】大房间有个，小房间有个，
由题意得：，
故选A.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是解此类问题的关键.
9．如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．35B．45C．55D．65
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的面积公式计算列方程组计算即可.
【详解】
解：设小矩形的长为a，宽为b，可得方程组：
a+2b=15，a=3b，
可得解：a=9，b=3，
故阴影部分的面积：，
故选B.
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用，根据图形列出方程组是解题的关键.
10．利用两块长方体测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．73cmB．74cmC．75cmD．76cm
【答案】D
【解析】
【详解】
设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=79，由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=73，两个方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=152，解得：h=76cm．故选D．
题组B 能力提升练
11．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问安排______名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套．
【答案】25
【解析】
【详解】
设需安排x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工小齿轮，由题意得：
，解得：．
即安排25名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套．
故答案为25．
【点睛】
本题考查理解题意能力，关键是能准确得知2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，根据此正确列出方程．
12．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状，大小相同的长方形（即空白的长方形），AD＝12cm，FG＝4cm，则图中阴影部分的总面积是 __________.
【答案】48
【解析】
【详解】
解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，根据图形可得，
①－②得4y＝8，所以y＝2，代入②得x＝6，
因此阴影部分总面积＝12×10－6×2×6＝48.
故答案：48.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解决问题的关键.
13．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是_____．
【答案】95
【解析】
【详解】
设十位数字为x，个位数字为y，根据题意所述的等量关系可得出方程组，求解即可得，即这个两位数为95．
故答案为95.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，注意掌握二位数的表示方法．
14．某人步行5小时，先沿平坦道路走，然后上山，再沿来的路线返回，若在平坦道路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，那么这5小时共走了路程____________千米．
【答案】20
【解析】
【分析】
设平路有x千米，上坡路有y千米，根据平路用时+上坡用时+下坡用时+平路用时=5，即可得解．注意求得x+y的值即为总路程．
【详解】
设平路有x千米，上坡路有y千米，根据题意，得:
＋＋＋＝5，即＋＝5，则x＋y＝10(千米)，
这5小时共走的路程＝2×10＝20(千米)．
故答案是：20.
【点睛】
考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．注意可以通过间接方式得解．
15．一家快餐店销售三种套餐，其中套餐包含一荤两素，套餐包含两荤一素，套餐包含两荤两素，每份套餐中一荤的成本相同，一素的成本也相同，已知一份套餐的售价是一份套餐和一份套餐售价之和的一天下来，店长发现套餐和套餐的销量相同，且套餐的利润和是套餐利润的两倍，当天的总利润率是．第二天店内搞活动，套餐的售价打五折，套餐的售价均不变，当三种套餐的销量相同时，总利润率为________．
【答案】28%
【解析】
【分析】
设荤菜的成本为m元，素菜的成本为n元，荤菜的利润率为x，素菜的利润率为y，A套餐和B套餐的数量为a份，C套餐的数量为b份，根据套餐的利润和是套餐利润的两倍得到，再根据当天的总利润率是可求得mx＋ny＝0.6(m＋n)，进而求出一份A、B、C的售价，设三种套餐的销量都为t份，根据新的售价列出总利润率的代数式，将代数式化简即可求得答案．
【详解】
解：设一份荤菜的成本为m元，一份素菜的成本为n元，一份荤菜的利润率为x，一份素菜的利润率为y，A套餐和B套餐的数量为a份，C套餐的数量为b份，
∵套餐的利润和是套餐利润的两倍，
∴3(mx＋ny)·a＝2×2(mx＋ny)·b，
整理得：，
∵当天的总利润率是，
∴3(mx＋ny)·a＋2(mx＋ny)·b＝60%·[3(m＋n)·a＋2(m＋n)·b]，
整理得mx＋ny＝0.6(m＋n)，
∴一份套餐和一份套餐售价之和为元，
∵一份套餐的售价是一份套餐和一份套餐售价之和的
∴一份套餐的售价为元，
∵第二天店内搞活动，套餐的售价打五折，套餐的售价均不变，
∴第二天的一份套餐和一份套餐售价之和为元，一份套餐的售价为元，
∵三种套餐的销量相同 ，
∴设三种套餐的销量都为t份，
则总利润率为：
=
=
=0.28
=28%，
故答案为：28%．
【点睛】
本题综合性较强，考查了营销问题中的利润问题，用利润的基本等量关系列出关系式，设出相应的未知数，根据利润率＝利润÷成本=售价÷成本－1是解决本题的关键．
16．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55 cm， 此时木桶中水的深度是_______cm．
【答案】20
【解析】
【详解】
试题分析：考查方程思想及观察图形提取信息的能力．
解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．
因为两根铁棒之和为55cm，故可列x+y=55，
又知两棒未露出水面的长度相等，故可知x=y，
据此可列：，
解得：，
因此木桶中水的深度为30×=20cm．
故填20．
考点：二元一次方程组的应用．
题组C 培优拔尖练
17．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．
（1）求该店有客房多少间？房客多少人？
（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？
【答案】（1）该店有客房8间，房客63人；（2）诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算．
【解析】
【分析】
（1）设该店有客房x间，房客y人；根据题意得出方程组，解方程组即可；
（2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性定客房18间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论．
【详解】
解：（1）设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，解得：．
答：该店有客房8间，房客63人；
（2）若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16=320钱
若一次性定客房18间，则需付费20×18×0.8=288钱＜320钱；
答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算．
“点睛”本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
18．已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货l8吨，某物流公刊现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)l辆A型车和l辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若A型车每辆需租金200元／次，B型车每辆需租金240元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1) A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货3吨、4吨;(2) 最省钱的租车方案是方案一：A型车8辆，B型车2辆，最少租车费为2080元.
【解析】
【分析】
（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，根据题目中的等量关系：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货l8吨，列方程组求解即可；
（2）由题意得出3a+4b=35，然后由a、b为整数解，得到三中租车方案；
（3）根据（2）中的所求方案，利用A型车每辆需租金200元／次，B型车每辆需租金240元／次，分别求出租车费用即可.
【详解】
解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
依题意列方程组为：
解得
答：1辆A型车辆装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨.
（2）结合题意，和（1）可得3a+4b=35
∴a=
∵a、b都是整数
∴或或
答：有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车2辆；
方案二：A型车5辆，B型车5辆；
方案三：A型车1辆，B型车8辆．
（3）∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，
∴方案一需租金：9×200+2×240=2280（元）
方案二需租金：5×200+5×240=2200（元）
方案三需租金：1×200+8×240=2120（元）
∵2280＞2200＞2120
∴最省钱的租车方案是方案一：A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元.
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的解法，关键是明确二元一次方程有无数解，但在解与实际问题有关的二元一次方程组时，要结合未知数的实际意义求解.
19．食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A，B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A，B两种饮料共100瓶，问A，B两种饮料各生产了多少别瓶？
【答案】A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶.
【解析】
【分析】
根据题意设出未知数，再根据题目中“270添加剂恰好生产了A，B两种饮料共100”得出等量关系列出方程，求出结果即可．
【详解】
设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了瓶.
根据题意得．
解方程，得．
（瓶）.
答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶.
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，在解题时要能根据题意得出等量关系，列出方程是本题的关键．
20．已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨.用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆,一次运完，且每辆车都满载货物.根据以上信息解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车载满货物一次分别可运货物多少吨？
（2）请帮助物流公司设计租车方案
（3）若A型车每辆车租金每次100元，B型车每辆车租金每次120元.请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费.
【答案】(1)1辆A型车载满货物每次可运货物3吨，1辆B型车载满货物一次可运货物4吨;(2) 有三种租车方案：方案一,租用A型车9辆，B型车1辆， 方案二,租用A型车5辆，B型车4辆，方案三,租用A型车1辆，B型车7辆.（3）选择方案三最省钱，最少的租车费为940元.
【解析】
【详解】
（1）设A、B型车都装满货物一次每辆车装吨、吨
则
解得：
（2）结合题意和上一问得：3a+4b=31
∴a=
因为a，b都是正整数，
∴或或
有三种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆；
方案二：A型车5辆，B型车4辆；
方案三：A型车1辆，B型车7辆；
（3）A型车每辆车租金每次100元，B型车每辆车租金每次120元，
方案一：9100+1120=1020；；
方案二：5100+4120=980；
方案三：1100+7120=940；
∵1020＞980＞940
∴方案三最省钱，费用为940元．
21．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
【答案】（1）打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．（2）打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．
【解析】
【分析】
（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数-打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数．
【详解】
（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，
根据题意得：
，
解得：．
答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．
（2）80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3640（元）．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．
22．为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元（2）共有4种进货方案（3）当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元
【解析】
【详解】
解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，
根据题意得方程组得：，
解方程组得：，
∴购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元；
（2）设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（100﹣x）个，
∴，
解得：50≤x≤53，
∵x 为正整数，
∴共有4种进货方案；
（3）因为B种纪念品利润较高，故B种数量越多总利润越高，
因此选择购A种50件，B种50件．
总利润=50×20+50×30=2500（元）
∴当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元．课程标准
1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；
2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题．
3．熟悉行程、方案、数字等问题的解决方法；
4. 进一步研究用二元一次方程组解决实际问题．
相关试卷
人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第34课 期末模拟测试（一）（教师版）： 这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第34课 期末模拟测试（一）（教师版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第29课 直方图（教师版）： 这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第29课 直方图（教师版），共19页。试卷主要包含了组距，频数，频数分布表，已知一组数据等内容，欢迎下载使用。
人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第11课 实数单元检测（教师版）： 这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第11课 实数单元检测（教师版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
