新高考数学二轮复习专题培优练习专题15 数列中的情景题及数学文化题（2份打包，原卷版+解析版）

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1．明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n， SKIPIF 1 < 0 和d求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该问题中老人的长子的岁数为（ ）
A．35B．32C．29D．26
2．黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列 SKIPIF 1 < 0 时，发现其递推公式 SKIPIF 1 < 0 就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即 SKIPIF 1 < 0 ，如果该数列 SKIPIF 1 < 0 的前两项分别为 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和记为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．《周碑算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（ ）尺
A．1B．1.25C．1.5D．2
4．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为 SKIPIF 1 < 0 里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后 SKIPIF 1 < 0 天共走的里程数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为 SKIPIF 1 < 0 ，能发出第三个基准音的乐器的长度为 SKIPIF 1 < 0 ，……，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列 SKIPIF 1 < 0 用来研究数据的变化，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．324B．297C．256D．168
6．大衍数列0，2，4，8，12，18，⋯来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.其通项公式为 SKIPIF 1 < 0 记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
参考公式： SKIPIF 1 < 0 .
A．169125B．169150C．338300D．338325
7．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 SKIPIF 1 < 0 再加上 SKIPIF 1 < 0 ；若是偶数，就将该数除以 SKIPIF 1 < 0 ．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 SKIPIF 1 < 0 ．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数 SKIPIF 1 < 0 ，根据上述运算法则得出 SKIPIF 1 < 0 ．猜想的递推关系如下：已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为正整数）， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
8．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智 SKIPIF 1 < 0 如南宋数学家杨辉在《详解九章算法 SKIPIF 1 < 0 商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关 SKIPIF 1 < 0 如图是一个三角垛，最顶层有 SKIPIF 1 < 0 个小球，第二层有 SKIPIF 1 < 0 个，第三层有 SKIPIF 1 < 0 个，第四层有 SKIPIF 1 < 0 个，则第 SKIPIF 1 < 0 层小球的个数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．在数学中，欧拉-马䟜罗尼常数 SKIPIF 1 < 0 是数学中的一个重要常用无理数，为了便于仗用，我们认为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．研究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的单调性，可得 SKIPIF 1 < 0 所在的区间为（ ）（参考数据， SKIPIF 1 < 0 ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距 SKIPIF 1 < 0 约为4m，拉索下端相邻两个锚的间距 SKIPIF 1 < 0 均为18m.最短拉索的锚 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．裴波那契数列 SKIPIF 1 < 0 ，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．卢卡斯数列 SKIPIF 1 < 0 是以数学家爱德华·卢卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第 SKIPIF 1 < 0 行黑圈的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，白圈的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）

A．34B．35C．88D．89
二、多选题
13．朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则下列结论正确的有（ ）
A．将这1864人派谴完需要16天
B．第十天派往筑堤的人数为134
C．官府前6天共发放1467升大米
D．官府前6天比后6天少发放1260升大米
14．提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列 SKIPIF 1 < 0 ：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6…表示的是太阳系第 SKIPIF 1 < 0 颗行星与太阳的平均距离（以天文单位AU为单位）.现将数列 SKIPIF 1 < 0 的各项乘以10后再减4，得到数列 SKIPIF 1 < 0 ，可以发现数列 SKIPIF 1 < 0 从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 的第2023项为 SKIPIF 1 < 0 B．数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0
C．数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项和为157.3D．数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0
15．平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）．它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为 SKIPIF 1 < 0 ，后续各正方形边长依次为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为 SKIPIF 1 < 0 ，后续各直角三角形面积依次为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，…．则（ ）

A．数列 SKIPIF 1 < 0 是以4为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列
B．从正方形 SKIPIF 1 < 0 开始，连续 SKIPIF 1 < 0 个正方形的面积之和为32
C．使得不等式 SKIPIF 1 < 0 成立的 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3
D．数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0
16．历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有 SKIPIF 1 < 0 封不同的信，投入n个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为 SKIPIF 1 < 0 .例如两封信都投错有 SKIPIF 1 < 0 种方法，三封信都投错有 SKIPIF 1 < 0 种方法，通过推理可得： SKIPIF 1 < 0 .高等数学给出了泰勒公式： SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 为等比数列
C． SKIPIF 1 < 0 D．信封均被投错的概率大于 SKIPIF 1 < 0
17．麦克斯韦妖（Maxwell＇s demn），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，2，…n） SKIPIF 1 < 0 ，定义X的信息熵 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的有（ ）
A．n=1时 SKIPIF 1 < 0
B．n=2时，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 正相关
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D．若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m，且 SKIPIF 1 < 0 （j=1,2,…,m）则 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
18．风雨桥（如图①所示）是侗族最具特色的民间建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形.图②是某风雨桥亭的大致俯视图，其中正六边形的边长的计算方法如下： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .已知该风雨桥亭共 SKIPIF 1 < 0 层，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则图②中的五个正六边形的周长总和为 SKIPIF 1 < 0 .

19．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图将 SKIPIF 1 < 0 填入 SKIPIF 1 < 0 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15. 一般地，将连续的正整数 SKIPIF 1 < 0 填入 SKIPIF 1 < 0 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做 SKIPIF 1 < 0 阶幻方. 记 SKIPIF 1 < 0 阶幻方的每列的数字之和为 SKIPIF 1 < 0 ，如图三阶幻方的 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 .

20．我国古代数学著作《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根 SKIPIF 1 < 0 节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，最上面 SKIPIF 1 < 0 节的容积之积为 SKIPIF 1 < 0 ，最下面 SKIPIF 1 < 0 节的容积之积为 SKIPIF 1 < 0 ，则第 SKIPIF 1 < 0 节的容积是 .
21．黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想涉及到很多领域的应用，有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为：“各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发”.黎曼猜想研究的是无穷级数 SKIPIF 1 < 0 ，我们经常从无穷级数的部分和 SKIPIF 1 < 0 入手.已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数）.
22．将杨辉三角中的每一个数 SKIPIF 1 < 0 都换成分数 SKIPIF 1 < 0 ，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，则 SKIPIF 1 < 0 .