[数学]2023_2024学年江苏镇江句容市江苏句容高级中学高一下学期期中数学试卷(强基班)(原题版+解析版)

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2023~2024学年江苏镇江句容市江苏句容高级中学高一下学期期中数学试卷（强基班）
1. 若集合
A.
，
，则
（
）
B.
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
根据对数函数和指数函数的性质解出集合M和N，从而可求得答案.
【详解】
，
，
故
，
，
∴
.
故选：B.
2. 已知幂函数
A. 4
的图象经过点
B. 8
，则
（
）
C.
D.
答案
解析
A
【分析】
首先求出函数解析式，再代入计算可得.
【详解】
幂函数
则
的图象经过点
，所以
，
，
，
，即
，解得
所以
，则
.
故选：A
3. 若命题“
A. 1
，
”是假命题，则实数 的最小值为（
B. 2
）．
C. 3
D. 4
答案
解析
D
【分析】
由题意可得命题的否定为真命题，进而可得出答案.
【详解】
因为命题“
所以其否定“
则
，
”是假命题，
”是真命题，
，
，解得
，
所以实数 的最小值为 .
故选：D.
4. 已知函数
（其中
）的图象如图所示，则函数
的图象是（
）

A.
B.
C.
D.
答案
解析
A
由图像分析可得
，所以
，
因为
，所以由(1)可得：
，由(3)可得：
，所以
，
由(2)可得：
因此有
，所以
，
，所以函数
是减函数，
，所以选项A符合.
因此正确答案为：A.
5. 若
A.
，则（
）．
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
构造函数
【详解】
由
，再利用函数单调性求解即可.
，
，
得
令
，
因为函数
所以函数
由
都是增函数，
是增函数，
，即
，
所以
，
对于AB，当
对于CD，由
所以
时，
，故AB错误；
，得
，
，故C正确，D错误.
故选：C.
6. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个
关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行．
点
是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R， 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定
律，r满足方程：
.
设
A.
，由于 的值很小，因此在近似计算中
B.
，则r的近似值为
C.
D.
答案
解析
D
【分析】
本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立 的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于
题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】
由
，得
因为
，

所以
即
，
，
解得
所以
，
【点睛】
由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．
7. 若函数
A.
的值域为R，则a的取值范围是（
C.
）
B.
D.
答案
解析
D
解：由
时，
的值域为R，所以当
，
因为函数
时，
，
分两种情况讨论：
①当
②当
时，
时，
，所以只需
，所以只需
，解得
，所以
；
，显然成立，所以
.
综上所述 的取值范围是
因此正确答案为：D.
.
8. 已知函数
A.
，若不等式
对任意
均成立，则m的取值范围为（
D.
）
B.
C.
答案
解析
A
可证
为奇函数且为增函数，从而可得
恒成立，参变分离后可求m的取值范围.
【详解】
因为
恒成立，故
，则
恒成立，故
的定义域为 .
令
，
故
在
，故
均为增函数，故
为 上的奇函数.
上，
在
上为增函数，
可得：
故
在
上增函数，由
即
也就是
时等号成立，
，
由基本不等式可得
，当且仅当
故
，
故选：A.
【点睛】
思路点睛：函数不等式的恒成立问题，注意利用函数的奇偶性和单调性去掉对应法则 ，从而把函数不等式转化为指数不等式，后者可
参变分离，结合基本不等式可求最值，从而得到参数的取值范围.
9. 下列函数中，最小值为4的是（
A.
）．
B.
C.
D.
答案
解析
BD
【分析】
举出反例即可判断A；利用基本不等式即可判断BC；根据二次函数的性质即可判断D.
【详解】

当
时，
，此时
，故A错误；
对于B，
当且仅当
所以
，
，即
时取等号，
的最小值为4，故B正确；
对于C，
当且仅当
又因为
，
，即
时取等号，
，所以
，故C错误；
，
对于D，
当且仅当
故选：BD.
时，取得最小值 ，故D正确.
10. 如图，过函数
（
）图象上的两点A，B作 轴的垂线，垂足分别为
，
（
），线段
与函数
（
）的图象交于点 ，且 与 轴平行.下列结论正确的有（
）
A. 点 的坐标为
C. 当 时，
B. 当
D. 当
，
，
时， 的值为9
，
时，若
，
为区间
内任意两个变量，且
，则
答案
解析
ABD
【分析】
代入验证可判断A；将
a、b的式子表示出点A、B、C的坐标，再利用AC与x轴平行得到m与c的关系式可判断C；设
，
，
，代入，然后分别得出点A、C的坐标，使点A与点C的纵坐标相等求解m的值可判断B；用含
，利用对数函数的单调性，以
及对数的运算法则，即可证明
【详解】
.
对A：由图可知，若设
，则
,
，所以
，
又A在
上，则
，故A对；
对B：由题意得
所以
，
且
与 轴平行，
，得
故B对；
对C：由题意得
所以
，
，
且
与 轴平行，
，因为
，所以
，故C错；
对D：因为
又因为
，且
，所以
，
，
，所以
，
又因为
，
所以
，所以
，故D对；
，所以
，
即
故选：ABD
11. 已知函数
A. 0
，若函数
恰有5个零点，则m的值可以是（
C. 1 D.
）．
B.
答案
解析
BCD
【分析】
先作出函数
的图象，然后结合函数的零点与方程的根的关系，得到方程
的一个根在
，一个根在
，结合一
元二次方程的根的分布问题即可求解．

【详解】
记
，作出函数
的图象如图所示，
令
，则由图可知，
时，方程
时，方程
时，方程
不是方程
是方程
当
只有一个根；
有两个根；
有三个根；
当
当
显然
若
的根，
的根，则
和方程
，此时另一个根为
共有4个根，则函数
恰有5个实根，
，
结合图象可知，此时方程
所以
有4个零点，不满足题意；
恰有5个零点等价于方程
等价于方程
的一个根在
，一个根在
，
令
，则
，解得
，
结合选项可知， 的值可以是
.
故选：BCD.
【点睛】
思路点睛：对于复合函数
的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数
（2）确定外层函数
（3）确定直线
数为
和外层函数
的零点
；
；
图象的交点个数分别为
与内层函数
、
、
、
、
，则函数
的零点个
.
12. 用二分法求函数在区间
的零点，若要求精确度
，则至少进行
次二分.
答案
解析
8
【分析】
二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度，按此规律求解.
【详解】
根据题意，原来区间
每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
则经过 次操作后，区间的长度为
的长度等于2，
，
若
，即
，故最少为8次.
故答案为：8.
13. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数
：
．
①
；
②对于任意两个不同的正数
，都有
，都有
恒成立；
③对于任意两个不同的实数
．
答案
（答案不唯一）

解析
【分析】
取
，再逐一验证即可.
时，
【详解】
当
对于①，
，故满足①；
，都有
对于②，由对于任意两个不同的正数
恒成立，
得函数
而函数
在
上单调递增，
在
上单调递增，故满足②；
，
对于③，任取
则
，
因为
即
，所以
，
，
所以
，故满足③.
故答案为：
（答案不唯一）.
14. 已知函数
的值是
的零点为 .若
，则 的值是
；若函数
的零点为 ，则
.
答案
解析
【分析】
利用函数零点存在性定理可得 ；由已知可得 为两函数
图象的交点的横坐标， 为两函数
交点的横坐标可得答案.
图象的
交点的横坐标，根据函数
与
的图象关于
对称，求出
【详解】
因为
在
上单调递增，
所以函数
因为
在
上单调递增，
，
，
且
由
，所以
；
可得
，
令
可得
，
所以 即为两函数
令 可得
图象的交点的横坐标，
，
所以 即为两函数
因为函数
图象的交点的横坐标，
与
的图象关于
，即
对称，且
互相垂直，
，
且由
所以
解得
.
、
的中点为
故答案为：1；2.
【点睛】
关键点点睛：本题解题关键点将零点问题转化成函数图象交点问题.
15. 计算：
(1)
；

(2)
；
(3)已知
，
，求
的值．
答案
(1)
(2)
(3)
解析
【分析】
（1）根据指数的运算性质计算即可；
（2）根据对数的运算性质计算即可；
（3）根据完全平方公式及立方和公式计算即可.
【详解】
（1）原式
；
（2）原式
；
（3）因为
则
，
，所以
，
，
，
所以
.
16. 已知函数
(1)若
.
的解集为
且
，求不等式
的解集；
(2)若
，
，求
的最小值.
答案
(1)
(2)6
解析
（1）由题设知
所以
且
，
的两根为
，可得：
可化为：
的解集为
，
，
，解得：
，
所以不等式
（2）
所以
，
且
当且仅当
所以
即
，
取“=”
的最小值为6.
17. 已知函数
为奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)设函数
，若对任意的
，总存在
，使得
成立，求实数m的取值范围.
答案
(1)
(2)

解析
【分析】
（1）利用奇函数的性质列方程求解即可；
（2）先利用分离常数法结合指数函数性质求得
的值域，最后利用值域关系列不等式求解即可.
在
的值域，然后利用换元法结合对数函数性质，利用二次函数性质求得
【详解】
（1）因为函数
即
为奇函数，所以
在定义域上恒成立，整理得
，则
，
，故
；
（2）由（1）得
，
因为
所以
又
，所以
，所以
的值域
，
在
，
，
，
设
当
，
，则
，
，
时，取最小值为
，当
时，取最大值为
，
即
在
上的值域
又对任意的
所以
，总存在
，解得
，使得
成立，即
，
.
18. “春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；
优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．
例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额
商品的价格为860元，则实际支付额
元，其中 表示不大于x的最大整数．又如，一次购买
元．
(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；
(2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，
才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？
答案
解析
(1)一次支付好，理由见解析
(2)购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件
【分析】
（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案；
（2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案.
【详解】
（1）分两次支付：支付额为
元;
一次支付：支付额为
元,
因为
，所以一次支付好；
（2）设购买
当
件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件，
时，不能享受每满400元再减40元的优惠
时，
当
，
，
当
当
时，
时，
，
；
，
．
所以当
当
时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件．
时，能享受每满400元再减40元的优惠
当
时， ，
当
当
，
时，
时，
;
，

y随着n的增大而增大，所以当
，
时，
．
综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件．
19. 对于定义在 上的函数
是函数
和
，若对任意给定的
､
，不等式
都成立，则称函数
的“从属函数”．
(1)若函数
(2)设
是函数
的“从属函数”，且
，求证：当
是偶函数，求证：
是函数
是偶函数；
时，函数
的“从属函数”；
(3)若定义在 上的函数
和
的图像均为一条连续曲线，且函数
是函数
的“从属函数”，求证：“函数
在
上是严格增函数或严格减函数”是“函数
在
上是严格增函数或严格减函数”的必要非充分条件．
答案
解析
(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】
（1）根据“从属函数”的定义和偶函数的性质可证对任意
函数；
，
恒成立，即可证明
是偶
（2）不妨设
，当
时，利用放缩法可证
，即可得证函数
是函数
的“从属函数”；
（3）可通过举反例证明非充分，必要性，即证：函数
是函数
的“从属函数”，若函数
在 上为严格增函数或
严格减函数，则函数
【详解】
在 上是严格增函数或严格减函数，分情况讨论得证.
（1）因为
是
上的偶函数，故对任意的
恒成立，即
都有
．又
成立，故
是
上的“从属函数”，于是
是偶函数；
对任意的
上是严格增函数，有
（2）不妨设
而
，当
时，
在
．
，
所以
，
因此，当
时，函数
是函数
的“从属函数”；
（3）举反例不具备充分性.
令
，显然
在 上是严格增函数，
，
因为
，
所以函数
因此
是函数
不是
的“从属函数”，但在 上不是单调函数．
的充分条件．
是函数
必要性证明，即证：函数
的“从属函数”，
若函数
则函数
任取
在
在
上为严格增函数或严格减函数，
上是严格增函数或严格减函数．
，有
，且
，即对任意
，且
成立．
…①，
，有
．
下面证明：对任意的实数
，有
，使得
或
若存在
，
且
其中不妨设
…②，
当①或②式中有等号成立时，则与
（其中
）矛盾！
，
当①②两式中等号均不成立时，考虑
因为
，
由连续函数的零点存在定理知，必存在
使得
，
也与
（其中
且
）矛盾！
也不可能.
同理可证
【点睛】
思路点睛：第二问利用放缩法即可得证，第三位可通过举反例证明非充分，必要性利用定义可得答案.