高考数学一轮复习第九章第二讲排列与组合课件

这是一份高考数学一轮复习第九章第二讲排列与组合课件，共51页。PPT课件主要包含了答案B，取20人则有，答案D，答案C，答案36，答案90，答案1560，答案360，后分配等内容，欢迎下载使用。

1.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、
2.能用排列数公式与组合数公式解决简单的实际问题.
【名师点睛】(1)排列数与组合数的关系：
[例 1]有 3 名男生，2 名女生，在下列不同要求下，求不同的
(1)全体排成一行，其中甲只能在正中间、最左侧或最右侧的
位置，共____种排法；
(2)全体排成一行，其中男生必须排在一起，共____种排法；(3)全体排成一行，男生不能排在一起，共____种排法；
(4)全体排成一行，其中甲在乙的左侧，乙在丙的左侧，共___
(5)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边，共___
(6)若再加入一名女生，全体排成一行，男女各不相邻，共___
(7)排成前后两排，前排 3 人，后排 2 人，共____种排法；(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有 1 人，共____种排
答案：(1)72 (2)36 (3)12 (4)20 (5)78
(6)72 (7)120 (8)36
【题后反思】求解排列应用问题的六种常用方法
【变式训练】1.(2022 年全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式
A.12 种C.36 种
B.24 种D.48 种
∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有 48－24＝24(种).故选 B.
2.(2023 年重庆市校级月考)医院进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部 CT、心电图、血压测量五个检查项目.为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而李老师决定腹部彩超和胸部 CT 两项不连在一起检查.则不同顺序的检查方案一共有
A.6 种C.18 种
B.12 种D.24 种
解析：根据题意，将心电图、血压测量两项全排列，有 A ＝2(种)情况，再将腹部彩超和胸部 CT 两项安排在其空位中，有 A＝6(种)情况，最后将抽血放在第一位，有 1 种情况，故有 2×6＝12(种)不同顺序的检查方案.故选 B.
[例 2]某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15
种假货.现从 35 种商品中选取 3 种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？
【题后反思】组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
【变式训练】(2023 年全国Ⅱ卷)某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 60 名学生.已知该校初中部和高中部分别有400名和
200 名学生，则不同的抽样结果共有(
解析：∵初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生，∴人数比例为 400∶200＝2∶1，则需要从初中部抽取 40人，高中部抽
种抽样结果.故选 D.
考点三 排列与组合的综合问题考向 1 相邻问题[例 3]某会议期间，有 2 位女性和 3 位男性共 5 位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3 位男性领导人中有且只有
解析：从 3 位男性领导人中任取 2 人“捆”在一起记作 A，A 共有 ＝6(种)不同排法，剩下 1 位男性领导人记作 B，2位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在 A，B 之间，此时共有 6×2＝12(种)排法(A 左 B 右和 A 右 B 左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有 12×4＝48(种)不同排法.
考向 2 相间问题[例 4]某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是
解析：安排小品类节目和相声类节目的顺序有三种，“小品1，小品 2，相声”“小品 1，相声，小品 2”和“相声，小品 1，小品 2”.对于第一种情况，形式为“□小品 1 歌舞 1 小品 2相声□”，有 　 　　　＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有 36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成 4 个空，其形式为“□小品 相声1 2小品”，有 　　 ＝48(种)安排方法，故共有 36＋36＋48＝120(种)安排方法.
考向 3 特殊元素(位置)问题[例5]某城市中关系要好的 A，B，C，D 四个家庭各有两个孩子共 8 人，他们准备乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4 个孩子(乘同一辆车的 4 个孩子不考虑位置)，其中 A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 个孩子恰有 2 个来自同一个家
解析：根据题意，分两种情况讨论.
①A 家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选 2 个，再从每个家庭的 2 个孩子中任选一个来乘坐甲车，有 　　　　＝12(种)乘坐方式；
②A 家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选 1 个，让其 2 个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的 2 个孩子中任选一个来乘坐甲车， 　　　 ＝12(种)乘坐方式，
故共有 12＋12＝24(种)乘坐方式.
【反思感悟】解排列、组合问题要遵循的两个原则(1)按元素(位置)的性质进行分类.(2)按事情发生的过程进行分步.
具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先
满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).
1.(考向 1)把 5 件不同的产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有________种.解析：将产品 A 与 B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行
2.(考向 2)(2021 年广德市模拟)将《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和《戏曲论
丛》7本书放成一排，下面结论成立的是(　　)
A.戏曲书放在中间的不同放法有 7！种B.诗集相邻的不同放法有 2×6！种C.四大古典名著互不相邻的不同放法有 3！种D.四大古典名著不放在两端的不同方法有 A 种
解析：对于 A，戏曲书只有 1 本，所以其余 6 本书可以全排
列，共有 6！种不同排列方法，A 错误；
对于 B，诗集共 2 本，把诗集当成 1 本，不同放法有 6！种，这两本又可交换位置，所以不同放法总数为 2×6！，B 正确；对于 C，四大古典名著互不相邻，那只能在这 4 本书的 3 个空隙中放置其他书，共有 3！种放法，这 4 本书又可以全排列，所以不同放法总数为 4！×3！，C 错误；
对于 D，四大古典名著可以在第 2 位至第 6 位这 5 个位置上任选 4 个位置放置，共有 A 种放法，这 4 本书放好后，其余 3本书可以在剩下的 3 个位置上全排列，所以不同放法总数为A ×3！，D 错误.故选 B.
3.(考向 3)(2023 年连云港市模拟)现要从 A，B，C，D，E 这 5人中选出 4 人，安排在甲、乙、丙、丁 4 个岗位上，如果 A 不能
安排在甲岗位上，则安排的方法有(
⊙排列组合中的分组与分配问题考向 1 不同元素的整体均分问题
[例 6]若将 6 名教师平均分配到 3 所学校去任教，有_______
考向 2 不同元素的部分均分问题[例 7]将 6 本不同的书分给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人至少1 本的不同分法共有________种(用数字作答).解析：把 6 本不同的书分成 4 组，每组至少 1 本的分法有2 种.①有 1 组 3 本，其余 3 组每组 1 本，不同的分法共有
②有 2 组每组 2 本，其余 2 组每组 1 本，不同的分法共有
所以不同的分组方法共有 20＋45＝65(种).然后把分好的 4 组书分给 4 个人，所以不同的分法共有65×A ＝1 560(种).
考向 3 不同元素的不等分问题
[例 8]若将 6 名教师分配到 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2
名，一所 3 名，则有________种不同的分法.
解析：将 6 名教师分组，分 3 步完成.
故共有 60×6＝360(种)不同的分法.
考向 4 相同元素的分配问题[例 9]把 9 个完全相同的口罩分给 6 名同学，每人至少一个，
不同的分配方法有(A.41 种C.156 种
B.56 种D.252 种
解析：问题可转化为将 9 个完全相同的口罩排成一列，再分成 6 份，每份至少一个，求其方法数.事实上，只需在上述 9 个完全相同的口罩所产生的 8 个“空当”中选出 5 个“空当”插入挡板，即产生符合要求的分配方法.故有 C ＝56(种).
【题后反思】分组与分配问题的解题思路
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：①相同元素的分配问题，常用“隔板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，
③有限制条件的分配问题，采用分类求解.
提醒：对于部分均分问题，若有 m 组元素个数相等，则分组
时应除以 A .
【高分训练】1.(2023 年江门市期末)将 5 名教育志愿者分配到甲、乙、丙、丁 4 个学校进行支教，每名志愿者只分配到 1 个学校，每个学校
至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有(
A.60 种C.240 种
B.120 种D.480 种
2.(2022 年天河区校级月考)将编号为 1，2，3，4，5，6 的六个小球放入编号为 1，2，3，4，5，6 的六个盒子里，每个盒子里放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，