2025高考数学一轮复习第10章计数原理、概率及其分布05第50讲随机变量及其分布列、期望与方差（课件+解析试卷）

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1．(人A选必三P59例1改编)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ表示一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)＝(　　)
2．(人A选必三P66T1改编)已知X的分布列为
4．已知随机变量X的分布列为
其中a＞0，b＞0，则D(X)的取值范围是(　　)
则下列结论正确的有(　 　)A．P(X＝2)的值最大B．P(X＝0)＜P(X＝1)C．E(X)随着p的增大而减小D．E(X)随着p的增大而增大
1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用X，Y，ξ，η，…表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．(3)随机变量的线性关系：若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．
2．离散型随机变量的分布列(1)一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有___________________ 与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以____________的随机变量，我们称为离散型随机变量．(2)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率________________，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．(3)离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝_____．
P(X＝xi)＝pi　
3．离散型随机变量的均值(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示．  则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝__________为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．(2)均值的性质设X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n，E(aX＋b)＝______________(a，b为常数)．
4．离散型随机变量的方差、标准差(1)定义
②公式：D(X)＝_________________．
E(X2)－[E(X)]2　
(2)方差的性质①D(aX＋b)＝___________．②随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的____________，反映了随机变量取值的____________．方差或标准差越小，随机变量的取值越________；方差或标准差越大，随机变量的取值越________．
离散型随机变量的分布列的性质
离散型随机变量的分布列的性质的应用(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”，求某些特定事件的概率；(3)根据性质判断所得分布列结果是否正确．
变式　(多选)设离散型随机变量X的分布列为
离散型随机变量的均值与方差
　　　　　设离散型随机变量X的分布列为  (1)求m，E(X)，E(2X＋1)；
　　　　由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3．E(X)＝0×0.2＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.3＋4×0.3＝2.4，E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝5.8．
　　　　　设离散型随机变量X的分布列为  (2)求D(X)，D(2X＋1)．
　　　　D(X)＝(0－2.4)2×0.2＋(1－2.4)2×0.1＋(2－2.4)2×0.1＋(3－2.4)2×0.3＋(4－2.4)2×0.3＝2.24，D(2X＋1)＝22D(X)＝8.96．
　　　　　已知随机变量ξ的分布列为
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值．(2)求ξ取每个值的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．
变式　(2)已知离散型随机变量X的分布列为
　　　　由题得a＋b＋c＝0.9，E(X)＝a＋2b＋3c＝0.9＋b＋2c，E(X2)＝a＋4b＋9c＝0.9＋3b＋8c，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝0.9＋3b＋8c－(0.9＋b＋2c)2＝－b2＋(1.2－4c)b＋0.09＋4.4c－4c2，所以当b＝0.6－2c时有最大值，此时1.2－4c＋c＝0.9，解得c＝0.1．
其中a，b为变量，c为正常数，且当a＝b≠0时，D(X)有最大值，则c＝_______．
　　　(2017·全国Ⅲ卷理)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？
　　　　①当n≤200时，Y＝n(6－4)＝2n，当n＝200时，Ymax＝400．
④当n≥500时，易知E(Y)一定小于③的情况．综上，当n为300瓶时，Y的数学期望达到最大值．
随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再由方差来决定．
变式　(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
　　　　由题可知，X的所有可能取值为0，20，100，则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48．所以X的分布列为
变式　(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
　　　　由(1)知，E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4．若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，则P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.8×0.6＝0.48．所以E(Y)＝0× 0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．因为54.4＜57.6，所以小明应选择先回答B类问题．
2．已知离散型随机变量X的分布列为  则其数学期望E(X)等于(　　)A．1B．0.6C．2＋3mD．2.4
　　　　由0.5＋m＋0.2＝1，解得m＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4．
3．投资甲、乙两种股票，每股收益(单位：元)分别如下表： 则下列说法正确的是(　　)A．投资甲种股票期望收益大B．投资乙种股票期望收益大C．投资甲种股票的风险更高D．投资乙种股票的风险更高
　　　　甲收益的期望E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，方差D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29；乙收益的期望E(Y)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1，方差D(Y)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49．所以E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，则投资股票甲、乙的期望收益相等，但投资股票甲比投资股票乙的风险高．
4．(多选)设离散型随机变量X的分布列为若离散型随机变量Y＝－3X＋1，且E(X)＝3，则(　 　)A．m＝0.1B．n＝0.1C．E(Y)＝－8D．D(Y)＝－7.8
　　　　由E(X)＝1×m＋2×0.1＋3×0.2＋4×n＋5×0.3＝3，得m＋4n＝0.7．由m＋0.1＋0.2＋n＋0.3＝1，得m＋n＝0.4．从而m＝0.3，n＝0.1，故A错误，B正确．E(Y)＝－3E(X)＋1＝－8，故C正确．因为D(X)＝0.3×(1－3)2＋0.1×(2－3)2＋0.2×(3－3)2＋0.1×(4－3)2＋0.3×(5－3)2＝2.6，所以D(Y)＝(－3)2D(X)＝23.4，故D错误．
5．设a＞0，若随机变量ξ的分布列如下表：  则下列方差中最大的是(　　)A．D(ξ)B．D(|ξ|)C．D(2ξ－1)D．D(2|ξ|－1)
4．将3只小球放入3个盒子中，盒子的容量不限，且每个小球落入盒子的概率相等．记X为分配后所剩空盒的个数，Y为分配后不是空盒的个数，则(　　)A．E(X)＝E(Y)，D(X)＝D(Y)B．E(X)＝E(Y)，D(X)≠D(Y)C．E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)D．E(X)≠E(Y)，D(X)≠D(Y)
6．(多选)已知投资A，B两种项目获得的收益分别为X，Y，若X，Y的分布列如下表所示，则(　　　) A．m＋n＝0.5B．E(2X＋1)＝4C．投资两种项目的收益期望一样多D． 投资A项目的风险比B项目高
　　　　由题意知0.2＋m＋0.6＝1,0.3＋0.4＋n＝1，故m＝0.2，n＝0.3，则m＋n＝0.5，故A正确．E(X)＝－1×0.2＋0×0.2＋2×0.6＝1，则E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝3，故B错误．E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，所以E(X)＝E(Y)，故C正确．D(X)＝(－1－1)2×0.2＋(0－1)2×0.2＋(2－1)2×0.6＝1.6，D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，由于D(X)＞D(Y)，所以投资A项目的风险比B项目高，故D正确．
7．(2023·台州二模)(多选)已知a，b，c∈(0,1)，随机变量ξ的分布列为  则下列结论正确的是(　 　)A．E(ξ－2)＝E(ξ)B．D(ξ－2)＝D(ξ)C．E(ξ2)≥(E(ξ))2D．D((ξ－2)2)＝D(ξ2)
　　　　因为E(ξ－2)＝E(ξ)－2，所以A错误．因为D(ξ－2)＝D(ξ)，所以B正确，因为D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2≥0，所以E(ξ2)≥(E(ξ))2，所以C正确．
8．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，写出一个p的取值__________________________________，使E(X)＞1.75．
9．将3个球(形状相同，编号不同)随机地投入编号为1,2,3,4的4个盒子，以ξ表示其中至少有一个球的盒子的最小号码(ξ＝3表示第1号、第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球)，则E(ξ)＝_____，E(2ξ＋1)＝_____．
11．(2024·九省联考)盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．(1) 求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
11．(2024·九省联考)盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．(2) 记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
12．某销售公司在当地A，B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价为每件300元，两家超市之间调配食品不计费用．若进货不足，食品厂以每件250元的价格补货，若销售有剩余，食品厂以每件150元的价格回收，现需决策每日购进食品数量，为此搜集整理了A，B两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：
以这些数据的频率代替两家超市的食品销售件数的概率，记X表示这两家超市每日共销售食品的件数，n表示销售公司每日共需购进食品的件数．(1) 求X的分布列；
以这些数据的频率代替两家超市的食品销售件数的概率，记X表示这两家超市每日共销售食品的件数，n表示销售公司每日共需购进食品的件数．(2) 以销售食品利润的期望为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选哪个？
　　　　当n＝19时，记Y1为A，B两家超市销售该食品的利润，则Y1的分布列为