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2023-2024学年安徽省六安市舒城县七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）
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这是一份2023-2024学年安徽省六安市舒城县七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列实数是无理数的是( )
A. 8B. 3.14C. 227D. 3−27
2.已知x>y，则下列不等式一定成立的是( )
A. x−10a2yC. −5x<−5yD. x33.下列等式正确的是( )
A. (ab)2=ab2B. a6÷a2=a9÷a3
C. (a2)3=a6D. (3a)2=6a2
4.下列关于分式的说法中，错误的有( )
①分数一定是分式；
②分式的分子中一定含有字母；
③对于任意有理数x，分式2x2+1总有意义；
④当A=0，B≠0时，分式AB的值为0(A,B是整式).
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.当x>0，y>0，且x≠y时，x2(x−y)+y2(y−x)的值( )
A. 总是为正B. 总是为负
C. 可能为正，也可能为负D. 不能确定正负
6.已知关于x的不等式(1−a)x>2的解集为x<21−a，则a的取值范围是( )
A. a>0B. a>1C. a<0D. a<1
7.平面上画三条直线，交点的个数最多有( )
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
8.如图，直线a//b，点A，B分别在直线a和直线b上，点C在直线a和直线b之间，且AC⊥BC.若∠1=140∘，则∠2的度数是( )
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘
9.下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是( )
A. a2−bB. a2+2b2C. 9a2−b2D. −a2−b2
10.已知实数a，b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：
①若c≠0，则2a−3ab+2b5a+7ab+5b=−112；
②若a=3，则b+c=6；
③若c≠0，则(1−a)(1−b)=1a+1b；
④若c=4，则a2+b2=8.
其中正确个数有( )个.
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.若 a=3，3−b=−2，则a−b的平方根是______.
12.如图所示，在数轴上点A，B分别表示数−2，3，若点P为线段AB上不与端点重合的动点，且P=2x+1，则x的取值范围是______.
13.如图，点D是线段AE上一点，以AD，DE为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AE=6，两个正方形的面积之和S1+S2=16，则△DCE的面积为______.
14.若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=4的解为非负数，则a的取值正确的是______.
15.如图，△ACB和△DCE均为直角三角形，将其直角顶点放在一起，其中∠A=30∘，∠B=60∘，∠D=∠E=45∘.若△ABC不动，△DCE绕顶点C转动一周，当CE//AB时，∠BCD=______.
三、计算题：本大题共1小题，共12分。
16.某体育用品商店购进乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，已知羽毛球拍比乒乓球拍每副进的价高20元，用10000元购进羽毛球拍与用8000元购进乒乓球拍的数量相等．
(1)求每副乒乓球拍、羽毛球拍的进价各是多少元？
(2)该体育用品商店计划用不超过8840元购进乒乓球拍、羽毛球拍共100副进行销售，且乒乓球拍的进货量不超过60副，请求出该商店有几种进货方式？
四、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解关于x的不等式组：4(x+1)≤7x+102x−318.(本小题8分)
已知实数x，y满足 x−2y−3+(2x−3y−5)2=0，求x−8y的平方根与立方根.
19.(本小题10分)
已知2x2−x−1=0，求代数式(3x+2)(3x−2)−3x(x+1)的值.
20.(本小题10分)
解方程：
①1x+1=2x+1−1的解是x=0；
②2x+1=4x+1−1的解是x=1；
③3x+1=6x+1−1的解是x=2；
④4x+1=8x+1−1的解是x=______.
(1)请完成上面的填空；
(2)根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；
(3)请你写出第n个式子，并写出它的解.
21.(本小题10分)
已知：如图，在△ACB中，点D、F在BC边上，点E、G分别在AB、AC边上，且AB//DG.
(1)若AD是∠BAC的角平分线，∠BAD=35∘，求∠DGC的度数；
(2)若∠1=∠2，则AD与EF是否平行，请说明理由.
22.(本小题12分)
我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，如图1 可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2.基于此，请解答下列问题：
(直接应用)(1)若x+y=3，x2+y2=5，求xy的值；
(类比应用)(2)填空：①若x(3−x)=1，则x2+(x−3)2=______；
②若(x−3)(4−x)=−1，则(x−3)2+(x−4)2=______；
(知识迁移)(3)两块全等的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90∘)如图2所示放置，其中A、O、D在一直线上，连接AC、BD.若AD=16，S△AOC+S△BOD=68，求一块直角三角板的面积.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A. 8是无理数，故本选项符合题意；
是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C.227是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.3−27=−3，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：A.
无限不循环小数是无理数．根据无理数的概念、立方根及算术平方根可进行排除选项．
本题考查了无理数，正确记忆相关概念是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.∵x>y，
∴x−10>y−10，故本选项不合题意；
B.当a=0时，a2x=a2y，故本选项不合题意；
C.∵x>y，
∴−5x<−5y，故本选项符合题意；
D.∵x>y，
∴x3>y3，故本选项不合题意．
故选：C.
根据x>y，应用不等式的性质，逐项判断即可．
本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、(ab)2=a2b2，原式计算错误，不符合题意；
B、a6÷a2=a4≠a9÷a3=a6，原式计算错误，不符合题意；
C、(a2)3=a6，原式计算正确，符合题意；
D、(3a)2=9a2，原式计算错误，不符合题意；
故选：C.
根据同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
本题考查同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：①分数不是分式，原说法错误，符合题意；
②分式的分子中不一定含有字母，原说法错误，符合题意；
③对于任意有理数x，分式2x2+1总有意义，正确，不符合题意；
④当A=0，B≠0时，分式AB的值为0(A,B是整式)原说法正确，不符合题意，
综上，①②的说法错误．
故选：B.
根据分式的定义，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，即可判断．
本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，熟知以上知识是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：x2(x−y)+y2(y−x)=x2(x−y)−y2(x−y)=(x−y)(x2−y2)=(x−y)2(x+y)，
∵x>0，y>0，且x≠y，
∴(x−y)2(x+y)>0，
故选：A.
将x2(x−y)+y2(y−x)转化为x2(x−y)−y2(x−y)再因式分解为(x−y)2(x+y)，根据条件即可判断．
本题考查了整式的相关运算，熟练掌握分解因式是关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵不等式(1−a)x>2的解集为x<21−a，
又∵不等号方向改变了，
∴1−a<0，
∴a>1；
故选：B.
化系数为1时，不等号方向改变了，利用不等式基本性质可知1−a<0，所以可解得a的取值范围．
解不等式要依据不等式的基本性质：在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
7.【答案】A
【解析】解：平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，
故选：A.
根据相交线的性质可得答案．
本题考查相交线，理解平面内两条直线相交只有一个交点，三条直线两两相交最多有3个交点是正确判断的前提．
8.【答案】C
【解析】解：如图，作CD//a，
，
则∠2=∠ACD，
∵a//b，
∴CD//b，
∴∠BCD=180∘−∠1=40∘，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB=90∘，
∴∠ACD=∠ACB−∠BCD=50∘，
∴∠2=∠ACD=50∘，
故选：C.
作CD//a，则∠2=∠ACD，CD//b，由平行线的性质得出∠BCD=40∘，由垂线的定义得出∠ACB=90∘，从而求出∠ACD=50∘，即可得解．
本题考查了平行线的性质、垂线的定义、几何图中角度的计算，熟记平行线的性质、垂线的定义是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：A.a2−b不能运用平方差公式分解，故不符合题意；
B.a2+2b2不能运用平方差公式分解，故不符合题意；
C.9a2−b2能运用平方差公式分解，故符合题意；
D.−a2−b2=−(a2+b2)不能运用平方差公式分解，故不符合题意．
故选：C.
根据平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b)判断即可．
本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵a+b=ab=c，
∴①当c≠0时，
2a−3ab+2b5a+7ab+5b
=2(a+b)−3ab5(a+b)+7ab
=−ab12ab
=−112，故①结论正确；
②当a=3时，
∴3+b=c，3+b=3b，
解得：b=32，
∴c=92，
∴b+c
=32+92
=6，故②结论正确；
③(1−a)(1−b)
=1−(a+b)+ab
=1−ab+ab
=1，
1a+1b
=a+bab
=1，
则(1−a)(1−b)=1a+1b，故③结论正确；
④当c=4，
则a+b=ab=4，
∴a2+b2
=(a+b)2−2ab
=42−2×4
=8，故④结论正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D.
结合条件，对各个结论进行分析即可．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
11.【答案】±1
【解析】解：∵ a=3，
∴a=32=9，
∵3−b=−2，
∴−b=(−2)3=−8，
∴b=8，
∴a−b=9−8=1，
∴a−b的平方根是±1.
故答案为：±1.
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，如果一个数的平方等于b，这个数就叫做b的平方根，如果一个非负数x的平方等于c，那么这个非负数x叫做c的算术平方根，由此即可求解．
本题考查平方根、立方根，算术平方根，关键是掌握平方根、立方根，算术平方根的定义．
12.【答案】−32【解析】解：据题意，得{2x+1>−2①2x+1<3②，
解①，得x>−32.
解②，得x<1.
故x的取值范围是−32故答案为：−32根据题意列出不等式组，解之可得．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形DEFG的边长为b，由于AD=6，即a+b=6，由于S1+S2=16，即a2+b2=16，
∵(a+b)2=a2+b2+2ab，
∴36=16+2ab，
∴ab=10，
∴S△DCE=12ab=5.
故答案为：5.
设正方形ABCD的边长为a，正方形DEFG的边长为b，由题意可得a+b=6，a2+b2=16，由(a+b)2=a2+b2+2ab，求出ab的值，再根据S△DCE=12ab进行计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
14.【答案】a≤6且a≠2
【解析】解：分式方程整理得：2x−1−ax−1=4，
去分母得：2−a=4x−4，
解得x=6−a4，
由分式方程的解为非负数，得到6−a4≥0且6−a4≠1
解得a≤6且a≠2.
故答案为：a≤6且a≠2.
表示出分式方程的解，由解为非负数确定出a的取值范围．
本题主要考查分式方程的解，注意分母不为0是解题的关键．
15.【答案】150∘或30∘
【解析】解：分两种情况：①如图1所示，
∵CE//AB，∠A=30∘，
∴∠ACE=∠A=30∘，
∵∠ACB=∠ECD=90∘，
∴∠BCD=360∘−∠ACE−∠ACB−∠ECD=150∘，
②如图2所示，
∵CE//AB，∠B=60∘，
∴∠BCE=∠B=60∘，
∵∠ECD=90∘，
∴∠BCD=90∘−∠BCE=30∘，
综上所述，当CE//AB时，∠BCD等于150∘或30∘，
故答案为：150∘或30∘.
分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于150∘或30∘时，CE//AB.
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键．
16.【答案】解：(1)设一副乒乓球拍的进价是x元，则一副羽毛球拍的进价是(x+20)元，
根据题意，得10000x+20=8000x，
解得：x=80.
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意．
答：一副乒乓球拍的进价是80元，一副羽毛球拍的进价是100元．
(2)设购买m副乒乓球拍，则购买羽毛球拍(100−x)副，
根据题意，得80m+100(100−m)≤8840m≤60，
解得58≤m≤60，
∵m是整数，
∴m=58，59，60.
故该商店有3种进货方式：
①购买58副乒乓球拍，42副羽毛球拍；
②购买59副乒乓球拍，41副羽毛球拍；
③购买60副乒乓球拍，40副羽毛球拍．
【解析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系及不等关系，列出方程与不等式组，难度一般．
(1)设一副乒乓球拍的进价是x元，则一副羽毛球拍的进价是(x+20)元，根据用10000元购进羽毛球拍与用8000元购进乒乓球拍的数量相等，得出方程，解出即可；
(2)设购买m副乒乓球拍，则购买羽毛球拍(100−x)副，根据用不超过8840元购进乒乓球拍、羽毛球拍共100副进行销售，且乒乓球拍的进货量不超过60副建立不等式，求出其解即可．
17.【答案】解：由4(x+1)≤7x+10得：
∴−3x≤6，
解得：x≥−2，
由2x−3∴4x−6解得：x<53，
则不等式组的解集为−2≤x<53，
将解集表示在数轴上如下：
∴非负整数解为：0，1，
所有非负整数解的和1+0=1.
【解析】先分别解不等式组中的两个不等式，再把解集画到数轴上，利用数轴确定不等式组的解集，最后求解非负整数解即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：由题意得，x−2y−3=02x−3y−5=0，
解方程组得，x=1y=−1，
∴x−8y=1−8×(−1)=9，
∴x−8y的平方根：=± x−8y=± 9=±3，..
x−8y的立方根=3x−8y=39.
【解析】由非负数的性质可得x−2y−3=02x−3y−5=0，解方程组可得x=1y=−1，进而得到x−8y=1−8×(−1)=9，再根据平方根和立方根的定义计算即可求解．
本题考查了非负数的性质，平方根和立方根，掌握非负数的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(3x+2)(3x−2)−3x(x+1)
=9x2−4−3x2−3x
=6x2−3x−4，
∵2x2−x−1=0，
∴2x2−x=1，
当2x2−x=1时，原式=3(2x2−x)−4=3×1−4=3−4=−1.
【解析】利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把2x2−x=1代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算-化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】0
【解析】解：(1)①方程两边都乘以(x+1)得，1=2−x−1，
解得x=0，
经检验x=0是原分式方程的解；
②方程两边都乘以(x+1)得，2=4−x−1，
解得x=1，
经检验x=1是原分式方程的解；
③方程两边都乘以(x+1)得，3=6−x−1，
解得x=2，
经检验x=2是原分式方程的解；
④方程两边都乘以(x+1)得，4=8−x−1，
解得x=3，
经检验x=3是原分式方程的解；
故答案为：0；
(2)⑤方程为5x+1=10x+1−1，
方程的解为x=4；
(3)含正整数n的式子表示为nx+1=2nx+1−1，
方程的解为x=n−1.
(1)方程两边都乘以(x+1)把分式方程化为整式方程，然后求解即可；
(2)根据规律写出即可；
(3)根据求解规律依次写出即可．
本题考查了分式方程的解，规律探索题，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵AD平分∠BAC，∠BAD=35∘，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，
∴∠BAC=70∘，
∵AB//DG，
∴∠DGC=∠BAC=70∘；
(2)AD//EF，理由如下：
∵AB//DG，
∴∠2=∠BAD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BAD，
∴AD//EF.
【解析】(1)由AD平分∠BAC得∠BAD=∠CAD=12∠BAC，再根据AB//DG即可求解；
(2)由AB//DG得∠2=∠BAD，又∠1=∠2，从而得∠1=∠BAD根据平行线的判定即可．
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】7 3
【解析】解：(1)∵x+y=3，
∴(x+y)2=32，
∴x2+2xy+y2=9，
即：2xy=9−(x2+y2)，
又∵x2+y2=5，
∴2xy=9−5=4，
∴xy=2；
(2)①∵x+(3−x)=3，
∴[x+(x−3)]2=32，
∴x2+(3−x)2+2x(3−x)=9，
∴x2+(3−x)2=9−2x(3−x)，
∵x(3−x)=1，
∴x2+(3−x)2=9−2×1=7；
故答案为：7.
②∵(x−3)(4−x)=−1，
∴(x−3)−(x−4)=1，
∴[(x−3)−(x−4)]2=12，
∴(x−3)2+(x−4)2−2(x−3)(x−4)=1，
∴(x−3)2+(x−4)2=1+2(x−3)(x−4)，
又∵(x−3)(x−4)=1，
∴(x−3)2+(x−4)2=1+2×1=3；
故答案为：3.
(3)设OA=OC=x，OB=OD=y，
∵∠AOB=∠COD=90∘，A，O，D在一直线上，
∴S△AOC=12OA⋅OC=12x2，S△BOD=12OB⋅OD=12y2，
∵S△AOC+S△BOD=68，
∴12x2+12y2=68，
∴x2+y2=136，
∵AD=16，
∴x+y=16，
∴(x+y)2=162，
即：x2+y2+2xy=256，
∴2xy=256−(x2+y2)=120，
∴xy=60，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12xy=12×60=30.
∴一块直角三角板的面积为30.
(1)直接由完全平方公式即可得出答案；
(2)①先由x+(3−x)=3得x2+(3−x)2+2x(3−x)=9，再将x(3−x)=1代入即可得出答案；
②先由(x−3)−(4−x)=−1得(x−3)2+(x−4)2−2(x−3)(x−4)=1，再将(x−3)(x−4)=1即可得出答案；
③设OA=OC=x，OB=OD=y，由S△AOC+S△BOD=68得12x2+12y2=68，据此可得x2+y2=136，然后再由AD=16得x+y=16，由此利用完全平方公式可求出xy=60，最后再利用三角形的面积公式可求出一块直角三角板的面积．
此题主要考查了完全平方公式的几何背景，单项式乘多项式，多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答此题的关键．
1.下列实数是无理数的是( )
A. 8B. 3.14C. 227D. 3−27
2.已知x>y，则下列不等式一定成立的是( )
A. x−10
A. (ab)2=ab2B. a6÷a2=a9÷a3
C. (a2)3=a6D. (3a)2=6a2
4.下列关于分式的说法中，错误的有( )
①分数一定是分式；
②分式的分子中一定含有字母；
③对于任意有理数x，分式2x2+1总有意义；
④当A=0，B≠0时，分式AB的值为0(A,B是整式).
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.当x>0，y>0，且x≠y时，x2(x−y)+y2(y−x)的值( )
A. 总是为正B. 总是为负
C. 可能为正，也可能为负D. 不能确定正负
6.已知关于x的不等式(1−a)x>2的解集为x<21−a，则a的取值范围是( )
A. a>0B. a>1C. a<0D. a<1
7.平面上画三条直线，交点的个数最多有( )
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
8.如图，直线a//b，点A，B分别在直线a和直线b上，点C在直线a和直线b之间，且AC⊥BC.若∠1=140∘，则∠2的度数是( )
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘
9.下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是( )
A. a2−bB. a2+2b2C. 9a2−b2D. −a2−b2
10.已知实数a，b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：
①若c≠0，则2a−3ab+2b5a+7ab+5b=−112；
②若a=3，则b+c=6；
③若c≠0，则(1−a)(1−b)=1a+1b；
④若c=4，则a2+b2=8.
其中正确个数有( )个.
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.若 a=3，3−b=−2，则a−b的平方根是______.
12.如图所示，在数轴上点A，B分别表示数−2，3，若点P为线段AB上不与端点重合的动点，且P=2x+1，则x的取值范围是______.
13.如图，点D是线段AE上一点，以AD，DE为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AE=6，两个正方形的面积之和S1+S2=16，则△DCE的面积为______.
14.若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=4的解为非负数，则a的取值正确的是______.
15.如图，△ACB和△DCE均为直角三角形，将其直角顶点放在一起，其中∠A=30∘，∠B=60∘，∠D=∠E=45∘.若△ABC不动，△DCE绕顶点C转动一周，当CE//AB时，∠BCD=______.
三、计算题：本大题共1小题，共12分。
16.某体育用品商店购进乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，已知羽毛球拍比乒乓球拍每副进的价高20元，用10000元购进羽毛球拍与用8000元购进乒乓球拍的数量相等．
(1)求每副乒乓球拍、羽毛球拍的进价各是多少元？
(2)该体育用品商店计划用不超过8840元购进乒乓球拍、羽毛球拍共100副进行销售，且乒乓球拍的进货量不超过60副，请求出该商店有几种进货方式？
四、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解关于x的不等式组：4(x+1)≤7x+102x−3
已知实数x，y满足 x−2y−3+(2x−3y−5)2=0，求x−8y的平方根与立方根.
19.(本小题10分)
已知2x2−x−1=0，求代数式(3x+2)(3x−2)−3x(x+1)的值.
20.(本小题10分)
解方程：
①1x+1=2x+1−1的解是x=0；
②2x+1=4x+1−1的解是x=1；
③3x+1=6x+1−1的解是x=2；
④4x+1=8x+1−1的解是x=______.
(1)请完成上面的填空；
(2)根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；
(3)请你写出第n个式子，并写出它的解.
21.(本小题10分)
已知：如图，在△ACB中，点D、F在BC边上，点E、G分别在AB、AC边上，且AB//DG.
(1)若AD是∠BAC的角平分线，∠BAD=35∘，求∠DGC的度数；
(2)若∠1=∠2，则AD与EF是否平行，请说明理由.
22.(本小题12分)
我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，如图1 可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2.基于此，请解答下列问题：
(直接应用)(1)若x+y=3，x2+y2=5，求xy的值；
(类比应用)(2)填空：①若x(3−x)=1，则x2+(x−3)2=______；
②若(x−3)(4−x)=−1，则(x−3)2+(x−4)2=______；
(知识迁移)(3)两块全等的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90∘)如图2所示放置，其中A、O、D在一直线上，连接AC、BD.若AD=16，S△AOC+S△BOD=68，求一块直角三角板的面积.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A. 8是无理数，故本选项符合题意；
是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C.227是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.3−27=−3，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：A.
无限不循环小数是无理数．根据无理数的概念、立方根及算术平方根可进行排除选项．
本题考查了无理数，正确记忆相关概念是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.∵x>y，
∴x−10>y−10，故本选项不合题意；
B.当a=0时，a2x=a2y，故本选项不合题意；
C.∵x>y，
∴−5x<−5y，故本选项符合题意；
D.∵x>y，
∴x3>y3，故本选项不合题意．
故选：C.
根据x>y，应用不等式的性质，逐项判断即可．
本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、(ab)2=a2b2，原式计算错误，不符合题意；
B、a6÷a2=a4≠a9÷a3=a6，原式计算错误，不符合题意；
C、(a2)3=a6，原式计算正确，符合题意；
D、(3a)2=9a2，原式计算错误，不符合题意；
故选：C.
根据同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
本题考查同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：①分数不是分式，原说法错误，符合题意；
②分式的分子中不一定含有字母，原说法错误，符合题意；
③对于任意有理数x，分式2x2+1总有意义，正确，不符合题意；
④当A=0，B≠0时，分式AB的值为0(A,B是整式)原说法正确，不符合题意，
综上，①②的说法错误．
故选：B.
根据分式的定义，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，即可判断．
本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，熟知以上知识是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：x2(x−y)+y2(y−x)=x2(x−y)−y2(x−y)=(x−y)(x2−y2)=(x−y)2(x+y)，
∵x>0，y>0，且x≠y，
∴(x−y)2(x+y)>0，
故选：A.
将x2(x−y)+y2(y−x)转化为x2(x−y)−y2(x−y)再因式分解为(x−y)2(x+y)，根据条件即可判断．
本题考查了整式的相关运算，熟练掌握分解因式是关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵不等式(1−a)x>2的解集为x<21−a，
又∵不等号方向改变了，
∴1−a<0，
∴a>1；
故选：B.
化系数为1时，不等号方向改变了，利用不等式基本性质可知1−a<0，所以可解得a的取值范围．
解不等式要依据不等式的基本性质：在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
7.【答案】A
【解析】解：平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，
故选：A.
根据相交线的性质可得答案．
本题考查相交线，理解平面内两条直线相交只有一个交点，三条直线两两相交最多有3个交点是正确判断的前提．
8.【答案】C
【解析】解：如图，作CD//a，
，
则∠2=∠ACD，
∵a//b，
∴CD//b，
∴∠BCD=180∘−∠1=40∘，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB=90∘，
∴∠ACD=∠ACB−∠BCD=50∘，
∴∠2=∠ACD=50∘，
故选：C.
作CD//a，则∠2=∠ACD，CD//b，由平行线的性质得出∠BCD=40∘，由垂线的定义得出∠ACB=90∘，从而求出∠ACD=50∘，即可得解．
本题考查了平行线的性质、垂线的定义、几何图中角度的计算，熟记平行线的性质、垂线的定义是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：A.a2−b不能运用平方差公式分解，故不符合题意；
B.a2+2b2不能运用平方差公式分解，故不符合题意；
C.9a2−b2能运用平方差公式分解，故符合题意；
D.−a2−b2=−(a2+b2)不能运用平方差公式分解，故不符合题意．
故选：C.
根据平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b)判断即可．
本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵a+b=ab=c，
∴①当c≠0时，
2a−3ab+2b5a+7ab+5b
=2(a+b)−3ab5(a+b)+7ab
=−ab12ab
=−112，故①结论正确；
②当a=3时，
∴3+b=c，3+b=3b，
解得：b=32，
∴c=92，
∴b+c
=32+92
=6，故②结论正确；
③(1−a)(1−b)
=1−(a+b)+ab
=1−ab+ab
=1，
1a+1b
=a+bab
=1，
则(1−a)(1−b)=1a+1b，故③结论正确；
④当c=4，
则a+b=ab=4，
∴a2+b2
=(a+b)2−2ab
=42−2×4
=8，故④结论正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D.
结合条件，对各个结论进行分析即可．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
11.【答案】±1
【解析】解：∵ a=3，
∴a=32=9，
∵3−b=−2，
∴−b=(−2)3=−8，
∴b=8，
∴a−b=9−8=1，
∴a−b的平方根是±1.
故答案为：±1.
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，如果一个数的平方等于b，这个数就叫做b的平方根，如果一个非负数x的平方等于c，那么这个非负数x叫做c的算术平方根，由此即可求解．
本题考查平方根、立方根，算术平方根，关键是掌握平方根、立方根，算术平方根的定义．
12.【答案】−32
解①，得x>−32.
解②，得x<1.
故x的取值范围是−32
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形DEFG的边长为b，由于AD=6，即a+b=6，由于S1+S2=16，即a2+b2=16，
∵(a+b)2=a2+b2+2ab，
∴36=16+2ab，
∴ab=10，
∴S△DCE=12ab=5.
故答案为：5.
设正方形ABCD的边长为a，正方形DEFG的边长为b，由题意可得a+b=6，a2+b2=16，由(a+b)2=a2+b2+2ab，求出ab的值，再根据S△DCE=12ab进行计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
14.【答案】a≤6且a≠2
【解析】解：分式方程整理得：2x−1−ax−1=4，
去分母得：2−a=4x−4，
解得x=6−a4，
由分式方程的解为非负数，得到6−a4≥0且6−a4≠1
解得a≤6且a≠2.
故答案为：a≤6且a≠2.
表示出分式方程的解，由解为非负数确定出a的取值范围．
本题主要考查分式方程的解，注意分母不为0是解题的关键．
15.【答案】150∘或30∘
【解析】解：分两种情况：①如图1所示，
∵CE//AB，∠A=30∘，
∴∠ACE=∠A=30∘，
∵∠ACB=∠ECD=90∘，
∴∠BCD=360∘−∠ACE−∠ACB−∠ECD=150∘，
②如图2所示，
∵CE//AB，∠B=60∘，
∴∠BCE=∠B=60∘，
∵∠ECD=90∘，
∴∠BCD=90∘−∠BCE=30∘，
综上所述，当CE//AB时，∠BCD等于150∘或30∘，
故答案为：150∘或30∘.
分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于150∘或30∘时，CE//AB.
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键．
16.【答案】解：(1)设一副乒乓球拍的进价是x元，则一副羽毛球拍的进价是(x+20)元，
根据题意，得10000x+20=8000x，
解得：x=80.
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意．
答：一副乒乓球拍的进价是80元，一副羽毛球拍的进价是100元．
(2)设购买m副乒乓球拍，则购买羽毛球拍(100−x)副，
根据题意，得80m+100(100−m)≤8840m≤60，
解得58≤m≤60，
∵m是整数，
∴m=58，59，60.
故该商店有3种进货方式：
①购买58副乒乓球拍，42副羽毛球拍；
②购买59副乒乓球拍，41副羽毛球拍；
③购买60副乒乓球拍，40副羽毛球拍．
【解析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系及不等关系，列出方程与不等式组，难度一般．
(1)设一副乒乓球拍的进价是x元，则一副羽毛球拍的进价是(x+20)元，根据用10000元购进羽毛球拍与用8000元购进乒乓球拍的数量相等，得出方程，解出即可；
(2)设购买m副乒乓球拍，则购买羽毛球拍(100−x)副，根据用不超过8840元购进乒乓球拍、羽毛球拍共100副进行销售，且乒乓球拍的进货量不超过60副建立不等式，求出其解即可．
17.【答案】解：由4(x+1)≤7x+10得：
∴−3x≤6，
解得：x≥−2，
由2x−3
则不等式组的解集为−2≤x<53，
将解集表示在数轴上如下：
∴非负整数解为：0，1，
所有非负整数解的和1+0=1.
【解析】先分别解不等式组中的两个不等式，再把解集画到数轴上，利用数轴确定不等式组的解集，最后求解非负整数解即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：由题意得，x−2y−3=02x−3y−5=0，
解方程组得，x=1y=−1，
∴x−8y=1−8×(−1)=9，
∴x−8y的平方根：=± x−8y=± 9=±3，..
x−8y的立方根=3x−8y=39.
【解析】由非负数的性质可得x−2y−3=02x−3y−5=0，解方程组可得x=1y=−1，进而得到x−8y=1−8×(−1)=9，再根据平方根和立方根的定义计算即可求解．
本题考查了非负数的性质，平方根和立方根，掌握非负数的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(3x+2)(3x−2)−3x(x+1)
=9x2−4−3x2−3x
=6x2−3x−4，
∵2x2−x−1=0，
∴2x2−x=1，
当2x2−x=1时，原式=3(2x2−x)−4=3×1−4=3−4=−1.
【解析】利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把2x2−x=1代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算-化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】0
【解析】解：(1)①方程两边都乘以(x+1)得，1=2−x−1，
解得x=0，
经检验x=0是原分式方程的解；
②方程两边都乘以(x+1)得，2=4−x−1，
解得x=1，
经检验x=1是原分式方程的解；
③方程两边都乘以(x+1)得，3=6−x−1，
解得x=2，
经检验x=2是原分式方程的解；
④方程两边都乘以(x+1)得，4=8−x−1，
解得x=3，
经检验x=3是原分式方程的解；
故答案为：0；
(2)⑤方程为5x+1=10x+1−1，
方程的解为x=4；
(3)含正整数n的式子表示为nx+1=2nx+1−1，
方程的解为x=n−1.
(1)方程两边都乘以(x+1)把分式方程化为整式方程，然后求解即可；
(2)根据规律写出即可；
(3)根据求解规律依次写出即可．
本题考查了分式方程的解，规律探索题，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵AD平分∠BAC，∠BAD=35∘，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，
∴∠BAC=70∘，
∵AB//DG，
∴∠DGC=∠BAC=70∘；
(2)AD//EF，理由如下：
∵AB//DG，
∴∠2=∠BAD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BAD，
∴AD//EF.
【解析】(1)由AD平分∠BAC得∠BAD=∠CAD=12∠BAC，再根据AB//DG即可求解；
(2)由AB//DG得∠2=∠BAD，又∠1=∠2，从而得∠1=∠BAD根据平行线的判定即可．
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】7 3
【解析】解：(1)∵x+y=3，
∴(x+y)2=32，
∴x2+2xy+y2=9，
即：2xy=9−(x2+y2)，
又∵x2+y2=5，
∴2xy=9−5=4，
∴xy=2；
(2)①∵x+(3−x)=3，
∴[x+(x−3)]2=32，
∴x2+(3−x)2+2x(3−x)=9，
∴x2+(3−x)2=9−2x(3−x)，
∵x(3−x)=1，
∴x2+(3−x)2=9−2×1=7；
故答案为：7.
②∵(x−3)(4−x)=−1，
∴(x−3)−(x−4)=1，
∴[(x−3)−(x−4)]2=12，
∴(x−3)2+(x−4)2−2(x−3)(x−4)=1，
∴(x−3)2+(x−4)2=1+2(x−3)(x−4)，
又∵(x−3)(x−4)=1，
∴(x−3)2+(x−4)2=1+2×1=3；
故答案为：3.
(3)设OA=OC=x，OB=OD=y，
∵∠AOB=∠COD=90∘，A，O，D在一直线上，
∴S△AOC=12OA⋅OC=12x2，S△BOD=12OB⋅OD=12y2，
∵S△AOC+S△BOD=68，
∴12x2+12y2=68，
∴x2+y2=136，
∵AD=16，
∴x+y=16，
∴(x+y)2=162，
即：x2+y2+2xy=256，
∴2xy=256−(x2+y2)=120，
∴xy=60，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12xy=12×60=30.
∴一块直角三角板的面积为30.
(1)直接由完全平方公式即可得出答案；
(2)①先由x+(3−x)=3得x2+(3−x)2+2x(3−x)=9，再将x(3−x)=1代入即可得出答案；
②先由(x−3)−(4−x)=−1得(x−3)2+(x−4)2−2(x−3)(x−4)=1，再将(x−3)(x−4)=1即可得出答案；
③设OA=OC=x，OB=OD=y，由S△AOC+S△BOD=68得12x2+12y2=68，据此可得x2+y2=136，然后再由AD=16得x+y=16，由此利用完全平方公式可求出xy=60，最后再利用三角形的面积公式可求出一块直角三角板的面积．
此题主要考查了完全平方公式的几何背景，单项式乘多项式，多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答此题的关键．
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