2023-2024学年吉林省长春市德惠市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市德惠市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列物体的运动中，属于平移的是( )
A. 电梯上下移动B. 翻开数学课本C. 电扇扇叶转动D. 篮球向前滚动
2.以下是有关环保的四个标志，从图形的整体看，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.木工师傅准备钉一个三角形木架，已有两根长为2和5的木棒，木工师傅应该选择如下哪根木棒( )
A. 2B. 3C. 6D. 7
4.下列等式变形正确的是( )
A. 如果x=y，那么x+2=y−2
B. 如果3x−1=2x，那么3x−2x=−1
C. 如果2x=12，那么x=1
D. 如果3x=−3，那么6x=−6
5.不等式组x>1,x+2≤4的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
6.如图是某小区花园内用正n边形铺设的小路的局部示意图，若用4块正n边形围成的中间区域是一个小正方形，则n=( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
7.如图，∠C=90∘，将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移5cm，得到三角形A′B′C′，并且B′C′=3cm，A′C′=4cm则阴影部分的面积为( )
A. 10cm2
B. 14cm2
C. 28cm2
D. 35cm2
8.车队运送批货物.若每车装4吨，剩下8吨未装；若每车装5吨，则剩余1辆车.甲、乙两人设该车队有x辆车，丙、丁两人设这批货物有y吨，分别列出如下方程：甲：4x+8=5(x−1)；乙：4x−8=5(x+1)；丙：y−84=y5+1；丁：y−84=y5−1.其中所列方程正确的是( )
A. 甲、丙B. 甲、丁C. 乙、丙D. 乙、丁
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.已知x=2是关于x的方程2x+a=1的解，则a的值等于______.
10.已知x+2y=3，则2x+4y−5=______.
11.不等式2x−3<0的最大整数解是x=______.
12.如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得∠α=______ ∘.
13.如图，D，E分别为AC和BD的中点，△CDE的面积为5，则△ABD的面积为______.
14.如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，展开后，再将纸片折叠，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′______度.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
15.解方程组：x+y=32x+3y=7.
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
解方程：(x+12)−16(x+1)=1.
17.(本小题6分)
小米同学求解一元一次不等式的过程：
(1)该解题过程中从第______步开始出现错误；
(2)请你按照上面演算步骤写出正确的解答过程.
18.(本小题7分)
在正n边形中，每个内角与每个外角的度数之比为3：2.
(1)求n的值；
(2)正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为______，正五边形对角线的总条数为______.
19.(本小题7分)
某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费.甲说：“我乘这种出租车走了9千米，付了14元”；乙说；“我乘这种出租车走了21千米，付了32元”.请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？
20.(本小题8分)
如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.
(1)画出△A′B′C′；
(2)连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是______；
(3)线段AC扫过的图形的面积为______.
21.(本小题7分)
如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD=35∘，求：
(1)∠EBC的度数；
(2)∠A的度数.
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式).
解：(1)∵CD⊥AB(已知)，
∴∠CDB=______，
∴∠EBC=∠CDB+∠BCD(______)，
∴∠EBC=______+35∘=______(等量代换).
(2)∵______=∠A+∠ACB，
∴∠A=______−∠ACB(等式的性质)，
∵∠ACB=90∘(已知)，
∴∠A=∠EBC−90∘=______(等量代换).
22.(本小题9分)
如图，△ABC中，∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm.若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm.设运动的时间为t秒.
(1)当t=______秒时， CP把△ABC的周长分成相等的两部分；
(2)当t为何值时，△BCP的面积恰好等于△ABC面积的一半？
23.(本小题10分)
【问题初探】
(1)如图1，在△ABC中，请说明：∠A+∠B+∠C=180∘，为解决这一问题，同学们多用于下列两种思路：
①如图2，延长BC到D，过点C作射线CE//BA，相当于把∠A，∠B都移到了顶点C的位置，利用图形特点获得∠A，∠B，∠ACB的数量关系；
②如图3，过点A作直线PQ//BC，相当于把∠B，∠C都移到了顶点A的位置，再利用图形特点获得∠BAC，∠B，∠C的数量关系；
请你选择上述的一种思路，说明△ABC的内角和为180∘.
【类比分析】
(2)如图4，已知△ABC，过点A作直线PQ//BC，R为线段AB上一点，连接RQ，RC，若∠1=53∘，∠2=29∘，∠3=24∘，求∠QRC的度数.
【学以致用】
(3)如图5，MN//GT，∠MNE=12∠ENF，∠ETG=13∠ETF，若∠MNE=α，∠E=β，∠F=γ，请你判断α，β，γ三者之间的数量关系，并说明理由.
24.(本小题12分)
一副三角尺(分别含45∘、45∘、90∘和30∘、60∘、90∘)按如图1所示摆放在量角器上，边PD与量角器0∘刻度线重合，边AP与量角器180∘刻度线重合(∠APB=45∘,∠DPC=30∘)，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒15∘的速度顺时针旋转，当边PB与0∘刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t(秒).
(1)当t=3时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是______度；
(2)如图2，若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒5∘的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转.∠MPN=180∘.
①用含t的代数式表示：∠NPD=(______)∘；∠MPB=(______)∘；
②当t为何值时，边PB平分∠CPD；
③直接写出当t为何值时，∠BPC=5∘.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、电梯上下移动是平移，故本选项符合题意；
B、翻开数学课本为旋转，故本选项不符合题意；
C、电扇扇叶转动为旋转，故本选项不符合题意；
D、篮球向前滚动为旋转，故本选项不符合题意；
故选：A.
根据平移的定义即可得答案．
本题考查了生活中的平移现象，理解平移的定义是求解的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A，此图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
B、此图案是轴对称图形，此选项符合题意；
C、此图案不是轴对称图形，不符合题意；
D、此图案不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B.
根据轴对称图形的定义求解可得．
本题主要考查轴对称图形，掌握其定义是解题的关键：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3.【答案】C
【解析】解：设第三边长为xcm，
由三角形三边关系定理可知，5−23故选：C.
根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择．
本题考查了三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和，此题基础题，比较简单．
4.【答案】D
【解析】解：∵在x=y的两边同时同时加上2，得x+2=y+2，
∴A选项错误，
∵在3x−1=2x的两边同时−2x+1，得3x−2x=1，
∴B选项错误，
∵在2x=12的两边同时乘以12，得x=14，
∴C选项错误，
∵在3x=−3得两边同时乘以2，得6x=−6，
∴D选项正确，
故选：D.
根据等式的性质一和性质二即可得出答案．
本题主要考查等式的两个性质，关键是要牢记等式的性质一和性质二．
5.【答案】B
【解析】解：不等式组式组x>1,x+2≤4的解集为1故选：B.
求出不等式组的解集，在数轴上表示即可．
本题考查解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的方法以及把解集在数轴上表示出来是正确解答的前提．
6.【答案】C
【解析】解：∵正方形的一个内角是90∘，
∴正n边形的一个内角=(360∘−90∘)÷2=135∘，
∴正n边形的一个外角=180∘−135∘=45∘，
∴n=360∘÷45∘=8，
故选：C.
根据镶嵌满足的条件：在小正方形的顶点处可以拼成360∘求出正n边形的一个内角，进而得到一个外角的度数，根据多边形的外角和是360∘即可得出答案．
本题考查了多边形的内角与外角，掌握镶嵌满足的条件：在小正方形的顶点处可以拼成360∘是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵直角三角形ABC沿着射线BC方向平移5cm，得到三角形A′B′C′，并且B′C′=3cm，A′C′=4cm，
∴AC=A′C′=4cm，BC=B′C′=3cm，BB′=AA′=CC′=5cm，
∴S阴影=SACC′A′−S△A′B′C′=5×4−12×3×4=14cm2，
故选：B.
由平移可得AC=A′C′=4cm，BC=B′C′=3cm，BB′=AA′=CC′=5cm，利用矩形的面积减去三角形面积即可得到答案．
本题考查了平移的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：依题意得：4x+8=5(x−1)或y−84=y5+1，
∴甲和丙的方程正确．
故选：A.
根据货物的吨数不变可列出4x+8=5(x−1)，根据车队车的辆数不变可列出y−84=y5+1，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9.【答案】−3
【解析】解：把x=2代入方程2x+a=1得，2×2+a=1，
解得a=−3.
故答案为：−3.
把x=2代入方程2x+a=1，得到关于a的一个方程，求出方程的解即可．
本题考查一元一次方程的解，能得到关于a的方程是解题的关键．
10.【答案】1
【解析】解：∵x+2y=3，
∴2x+4y−5=2(x+2y)−5=2×3−5=1.
故答案为：1.
先把2x+4y−5变形为2(x+2y)−5，然后根据整体代入的方法进行计算．
本题考查了代数式求值：先把所求的代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体的思想进行计算．
11.【答案】1
【解析】解：2x−3<0，
2x<3，
x<1.5，
∴不等式的最大整数解为1，
故答案为：1.
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得其解集，继而可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12.【答案】60
【解析】解：左边的三角形中，b所对的角为180∘−65∘−55∘=60∘，
两个三角形全等中，相等的边是对应边，两三角形中，长度为b的边是对应边，它们对的角是对应角，
∴∠α=60∘
故答案为：60.
根据全等三角形的对应边相等、对应角相等，可知道∠α=60∘，做题时要找准对应角．
本题利用了全等三角形的性质、三角形内角和定理，找准对应边是做题的关键．
13.【答案】10
【解析】解：∵E是BD的中点，
∴BE=ED，
∴S△CBE=S△CDE=5，
∴S△BCD=2S△CDE=10，
∵D是AC的中点，
∴CD=DA，
∴S△BAD=S△BCD=10，
故答案为：10.
根据中点的性质和等底等高的三角形面积相等进行求解即可．
本题考查三角形的面积，关键是利用等底等高的三角形面积相等解答．
14.【答案】45
【解析】解：∵五边形的内角和为(5−2)×180∘=540∘，
∴∠B=∠BAE=540∘5=108∘，
由图形的折叠可知，
∠BAM=∠EAM=12∠BAE=54∘，∠BAF=∠B′AF=12∠BAM=27∘，
∠AB′F=∠ABF=108∘，
∴∠AFB′=180∘−∠B′AF−∠AB′F=180∘−27∘−108∘=45∘，
故答案为：45.
先求出正五边形的每个内角，再根据折叠的性质求出∠B′AF、∠AB′F，利用三角形内角和定理即可求解．
本题考查了正多边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题的关键．
15.【答案】解：{x+y=3①2x+3y=7②，
①×2得：2x+2y=6③，
②-③得：y=1，
把y=1代入①得：x+1=3，
解得x=2，
∴原方程组的解为：x=2y=1.
【解析】本题考查的是解二元一次方程组．
本题利用加减消元法解答即可．
16.【答案】解：去分母，可得：(6x+3)−(x+1)=6，
去括号，可得：6x+3−x−1=6，
移项，可得：6x−x=6−3+1，
合并同类项，可得：5x=4，
系数化为1，可得：x=0.8.
【解析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤，去括号要注意括号前面的符号，移项时要改变符号是关键．
17.【答案】一
【解析】解：(1)由题意可知，
解题过程中从第一步开始出现错误，错误的原因是不等式右边的1忘记乘6了，
故答案为：一；
(2)3x2≤7+2x3+1
去分母得：9x≤2(7+2x)+6，
去括号，得：9x≤14+4x+6，
移项，得：9x−4x≤14+6，
合并同类项，得：5x≤20，
系数化为1，得：x≤4，
∴原不等式的解集为x≤4.
(1)根据题目中的解答过程可知：解题过程中从第一步开始出现错误，错误的原因是不等式右边的1忘记乘6了；
(2)根据解一元一次不等式的方法，写出解答过程即可．
本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
18.【答案】2 5
【解析】解：(1)设正n边形每个内角的度数为3x，外角度数为2x，
则3x+2x=180∘，
解得x=36∘，
∴2x=2×36∘=72∘，
∴n=360÷72=5，
即n的值为5；
(2)∵正n边形的边数是5，
∴正n边形每个顶点可引出的对角线的条数为2条，
这个正五边形的所有对角线的条数=12n(n−3)=12×5×2=5.
故答案为：2，5.
(1)此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的360∘；
(2)求出正多边形的边数，根据正n边形每个顶点可引出的对角线的条数为n−3，正n边形对角线的总条数为12n(n−3)计算即可．
本题考查了多边形的内角与外角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数．
19.【答案】解：设这种出租车的起步价是x元，超过3千米后每千米收费y元，
根据题意得：x+(9−3)y=14x+(21−3)y=32，
解得：x=1.5y=1.2.
答：这种出租车的起步价是1.5元，超过3千米后每千米收费1.2元．
【解析】设这种出租车的起步价是x元，超过3千米后每千米收费y元，根据甲说的“我乘出租车走了13千米，付了20元”可得方程x+(9−3)y=14，根据小王说：“我乘这种出租车走了21千米，付了32元”可得方程x+(21−3)y=32，把两个方程组成方程组，解方程组即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
20.【答案】平行且相等 10
【解析】解：(1)△A′B′C′如图所示：
(2)根据平移的性质可得：AA′与CC′的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等；
(3)线段AC扫过的图形的面积即为四边形ACC′A′的面积，
四边形ACC′A′的面积=10×2−12×1×4×2−12×1×6×2=10.
(1)根据平移的性质得出点A、C平移后的对应点A′，C′，再顺次连接即可；
(2)根据平移的性质解答即可；
(3)线段AC扫过的图形的面积即为四边形ACC′A′的面积，再根据割补法求解即可．
本题考查了平移的性质和作图，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
21.【答案】90∘三角形的外角的性质 90∘125∘∠EBC∠EBC35∘
【解析】解：(1)∵CD⊥AB(已知)，
∴∠CDB=90∘.
∵∠EBC=∠CDB+∠BCD(三角形的外角的性质)，
∴∠EBC=90∘+35∘=125∘(等量代换).
故答案为：90∘，三角形的外角的性质，90∘，125∘；
(2)∵∠EBC=∠A+∠ACB
∴∠A=∠EBC−∠ACB(等式的性质)，
∵∠ACB=90∘(已知)，
∴∠A=125∘−90∘=35∘(等量代换).
故答案为：∠EBC；∠EBC；35∘.
(1)依据题意，读懂题目中的因果关系然后进行判断可以得解；
(2)依据题意，类似(1)进行分析，利用三角形的外角的性质即可得解．
本题主要考查了直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并理解．
22.【答案】6
【解析】解：(1)△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，
∴△ABC的周长=8+6+10=24(cm)，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，
∴2t=12，
解得t=6.
故答案为：6；
(2)分两种情况：
①当P在AC上时，
∵△BCP的面积=12△ABC的面积=12，
∴12×6×CP=12，
∴CP=4，
∴2t=4，t=2；
②当P在AB上时，
∵△BCP的面积=12=△ABC面积的一半，
∴P为AB中点，
∴2t=13，t=6.5.
故t为2或6.5秒时，△BCP的面积为12.
(1)先求出△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，再根据时间=路程÷速度即可求解；
(2)分两种情况：①P在AC上；②P在AB上．
本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分类讨论的思想是解(3)题的关键．
23.【答案】(1)证明：选择①，如图2 延长BC到D，过点C作射线CE//BA，
∴∠ACE=∠A，∠DCE=∠B，
∴∠A+∠B+∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠ACB=180∘；
选择②，如图3过点A做BC的平行线PQ，
∴∠C=∠CAQ，∠B=∠BAP，
∴∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠BAP+∠CAQ=180∘；
(2)解：如图4，作RH//BC，则∠CRH=∠2=29∘，
∵PQ//BC，
∴RH//PQ，
∴∠ARH=∠1=53∘，
∵∠3=24∘，
∴∠QRH=∠ARH−∠3=53∘−24∘=29∘，
∴∠QRC=∠QRH+∠CRH=29∘+29∘=58∘；
(3)解：γ+4β−α=360∘，理由如下：
如图5，延长TE交MN于点L，延长TF交MN于点K，
∵MN//GT，
∴∠ELN=∠ETG，∠GTF+∠FKN=180∘，
∵α=∠MNE=12∠ENF，
∴∠ENF=2α，
∴∠MNF=3α，
∴∠FNK=180∘−∠MNF=180∘−3α，
∴∠FKN=∠TFN−∠FNK=γ−(180∘−3α)=γ+3α−180∘，
∴∠FTG=180∘−∠FKN=180∘−(γ+3α−180∘)=360∘−γ−3α，
∵∠ETG=13∠ETF，
∴∠ETG=14∠FTG=14(360∘−γ−3α)，
∵∠ELN=∠NET−∠MNE=β−α，
∴β−α=14(360∘−γ−3α)，
∴γ+4β−α=360∘.
【解析】(1)①由平行线的性质，得到∠ACE=∠A，∠DCE=∠B，再结合平角求解即可；
②由平行线的性质，得到∠C=∠CAQ，∠B=∠BAP，再结合平角求解即可；
(2)作RH//BC，则∠CRH=∠2=29∘，推出RH//PQ，得到∠ARH=∠1=53∘，进而得到∠QRH=29∘，即可求出∠QRC的度数；
(3)延长TE交MN于点L，延长TF交MN于点K，根据平行线的性质，得到∠ELN=∠ETG，∠GTF+∠FKN=180∘，由α=∠MNE=12∠ENF，得出∠MNF=3α，进而推出∠FTG=360∘−γ−3α，由∠ETG=13∠ETF，得出∠ETG=14(360∘−γ−3α)，再根据三角形外角的性质，得到∠ELN=β−α，即可证明结论．
本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和的证明和应用，三角形外角的性质，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．
24.【答案】905t15t+45
【解析】解：(1)当t=3秒时，由旋转可知：
边BP旋转的角度为：15∘×3=45∘，
∴边PB经过的量角器刻度线对应的度数为：180∘−(45∘+3×15∘)=90∘，
故答案为：90∘；
(2)①∵三角尺PCD也绕点P以每秒5∘的速度逆时针旋转，
∴∠NPD=(5t)∘，
∵∠APB=45∘，
∴∠MPB=∠MPA+∠APB=(15t)∘+45∘=(15t+45)∘，
故答案为：5t，15t+45；
②∵PB平分∠CPD；
∴∠CPB=∠BPD=12∠CPD=30∘，
∴∠APC=∠APB−∠CPB=45∘−30∘=15∘，
由∠MPN=180∘得：10∘t+15∘+60∘+2∘t=180∘，
(或者10∘t=180∘−45∘−30∘−2∘t)，
解得，t=354，
∴当t=354秒时，边PB平分∠CPD；
③在三角尺ABP和三角尺PCD旋转前，∠BPC=180∘−45∘−30∘=105∘，
现在∠BPC=5∘，分两种情况：
PB与PC相遇前，则：
15t+5t=105−5，
解得：t=5，
PB与PC相遇后，则：
15t+5t=105+5，
解得：t=5.5，
∴当t为秒5或5.5秒时，∠BPC=5∘；
(1)当t=3秒时，计算出BP旋转的角度的大小即可得出结论；
(2)①分PB与PC相遇前和相遇后两种情况分析解答即可；
②由旋转知，旋转角为4t，进而建立方程4t=180−12×60−45=105，即可得出结论；
③根据题意，分类讨论：PB与PC相遇前；PB与PC相遇后两种情况，数形结合，列方程求解即可得到答案；
本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，量角器的识别，角的计算，一元一次方程的应用，设运动时间为t，用含t的代数式表示出∠APD与∠BPC是解题的关键．解不等式：3x2≤7+2x3+1.
解：去分母，得3×3x≤2(7+2x)+1.第一步
去括号，得9x≤14+4x+1.第二步
移项，得9x−4x≤14+1.第三步
合并同类项，得5x≤15.第四步
系数化为1，得x≤3.第五步
所以原不等式的解为x≤3.