数学选择性必修第一册3.1 离散型随机变量的均值课时作业

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这是一份数学选择性必修第一册3.1 离散型随机变量的均值课时作业，共12页。试卷主要包含了1　离散型随机变量的均值，已知离散型随机变量X的分布列为等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一离散型随机变量的均值
1.(2023河南驻马店高级中学月考)已知离散型随机变量X的分布列为
则EX=( )
A.32 B.2 C.52 D.3
2.(2024江西名校联合测评)在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差,对于离散型随机变量X,Y,定义协方差为Cv(X,Y)=E(XY)-EX·EY,已知X,Y的分布列如下表所示,其中0
A.0 B.1 C.2 D.4
3.(2023湖南衡山德华盛星源高级中学期中)一个口袋中装有编号分别为1,2,3,4的4个球,现从口袋中随机取出2个球,用X表示取出球的最大编号,则EX=( )
A.2 B.3 C.103 D.113
4.(2022湖北武汉华中师大一附中期中)对某种型号的仪器进行质量检测,每台仪器最多可检测3次,一旦发现问题,则停止检测,否则一直检测到3次为止,若该仪器一次检测中出现问题的概率为0.2,设检测次数为X,则X的数学期望为 .
5.(2024四川宜宾南溪一中一诊)小青准备用9万元全部投资A,B两种股票,已知两种股票收益相互独立,且这两种股票的买入都是每股1万元,每股收益的分布列如下表所示,若投资A种股票a万元,则小青两种股票的收益期望和为万元.
股票A的每股收益分布列
股票B的每股收益分布列
6.(2022北京顺义牛栏山第一中学期中)假设两个队进行一系列比赛,一直到其中有一队赢了2局才结束.假设各局比赛胜负是相互独立的,并且A队获胜的概率为p,则当比赛的局数的期望最大时,p= .
7.(2024辽宁省实验中学期中)某职称考试有A,B两门课程,每年每门课程均分别有一次考试机会,若某门课程今年通过,则下一年不再参加该科考试,只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称.某考生准备今年两门课程全部参加考试,预测每门课程今年通过的概率均为12;若两门课程今年均没有通过,则明年每门课程通过的概率均为23;若今年只有一门课程没有通过,则明年这门课程通过的概率为34.
(1)求该考生两年内可获得该职称的概率;
(2)设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.
题组二离散型随机变量的均值的性质
8.(2022黑龙江肇东第四中学期末)设ξ的分布列如表所示,η=2ξ+5,则Eη等于( )
A.76 B.176 C.173 D.323
9.(2022北京中国人民大学附属中学统考)已知随机变量X的分布列如表所示,则E(X+a)=( )
A.52 B.92 C.94 D.54
题组三离散型随机变量的均值的应用
10.(2024云南楚雄州期中)某单位有200名职工,想通过验血的方法筛查某种病毒携带者,假设携带病毒的人占5%,每个人是否携带病毒互不影响.现有两种筛查方案:
方案1:对每个人的血样逐一化验,需要化验200次;
方案2:随机按10个人为一组分组,然后将各组10个人的血样混合后再化验,如果混合血样呈阴性,说明这10个人的血样全部为阴性;如果混合血样呈阳性,说明这10个人中至少有一个人的血样呈阳性,就需要对这10个人每个人再分别化验一次.
(1)某夫妻二人都在这个单位工作,若按照方案1,随机进行逐一筛查,则他们二人恰好是先筛查的两个人的概率是多少?
(2)若每次化验的费用为16元,采用方案2进行化验时,此单位大约需要花费多少元?(参考数据:0.9510≈0.60)
11.(2023北京入学定位考试)某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件,元件质量按测试指标划分:指标大于或等于76为正品,小于76为次品.现分别从两条生产线上随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测,检测结果统计如下:
(1)试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率;
(2)生产一件元件甲,若是正品则盈利90元,若是次品则亏损10元;生产一件元件乙,若是正品则盈利100元,若是次品则亏损20元,在(1)的前提下:
①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300元的概率;
②记X,Y分别为生产1 000件元件甲和1 000件元件乙所得的总利润,试比较EX和EY的大小.(结论不要求证明)
答案与分层梯度式解析
§3 离散型随机变量的均值与方差
3.1 离散型随机变量的均值
基础过关练
1.A 由题意得35+a+110=1,解得a=310,
故EX=1×35+2×310+3×110=32.
故选A.
2.A XY的分布列为
E(XY)=1×p(1-p)+2×[p2+(1-p)2]+4×p(1-p)=-p2+p+2,
EX=2-p,EY=p+1,
所以Cv(X,Y)=-p2+p+2-(2-p)(1+p)=0.
故选A.
3.C 由题意得,X的可能取值为2,3,4,
则P(X=2)=1C42=16,P(X=3)=C21C42=13,P(X=4)=C31C42=12.
因此X的分布列为
EX=2×16+3×13+4×12=103.
故选C.
4.答案 2.44
解析由题意知,X的可能取值为1,2,3,
则P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.8×0.2=0.16,P(X=3)=0.8×0.8=0.64,
所以EX=1×0.2+2×0.16+3×0.64=2.44.
5.答案 10.8
解析由题中两种股票每股收益的分布列可知,
EX=-1×0.3+0×0.2+3×0.5=1.2(万元),EY=-3×0.4+4×0.6=1.2(万元),
所以两种股票的收益期望和为aEX+(9-a)EY=1.2a+(9-a)×1.2=1.2×9=10.8(万元).
6.答案 12
解析设比赛的局数为X,则X的可能取值为2,3,
P(X=2)=p2+(1-p)2,P(X=3)=C21p2(1−p)+C21(1-p)2p=2p(1-p),
所以X的分布列为
所以EX=2p2+2(1-p)2+6p(1-p)=-2p-122+52,所以当p=12时,EX取得最大值.
7.解析 (1)设该考生两年内可获得该职称为事件A,
则P(A)=12×12+1-12×1-12×23×23+2×1-12×12×34=5372.
(2)由题意得,X的可能取值为2,3,4,则
P(X=2)=12×12=14,
P(X=3)=12×1-12×2=12,
P(X=4)=1-12×1-12=14,
所以X的分布列为
EX=2×14+3×12+4×14=3.
8.D Eξ=1×16+2×16+3×13+4×13=176,所以Eη=E(2ξ+5)=2Eξ+5=2×176+5=323.
故选D.
9.C 依题意可得14+12+a=1,解得a=14,所以EX=1×14+2×12+3×14=2,所以E(X+a)=EX+14=EX+14=2+14=94.故选C.
10.解析 (1)由题意得,他们二人恰好是先筛查的两个人的概率P=C22C2002=119 900.
(2)按方案2,设每组需要化验的次数为X,则X的可能取值为1,11.
P(X=1)=(1-0.05)10=0.9510≈0.60,
P(X=11)=1-0.60=0.40,
所以X的分布列为
EX=1×0.60+11×0.40=5.
总的化验次数为20010×EX=100,
故此单位大约需要花费100×16=1 600(元).
11.解析 (1)抽取的100件元件甲中正品的频率为40+33+7100=45,抽取的100件元件乙中正品的频率为40+28+7100=34,所以生产一件元件甲为正品的概率为45,生产一件元件乙为正品的概率为34.
(2)①设生产的5件元件乙中正品的件数为x,则次品的件数为5-x,由题意知100x-20(5-x)≥300,所以x=4或x=5.设“生产5件元件乙所获得的利润不少于300元”为事件C,则P(C)=C54344×14+C55345=81128.
②设生产一件元件甲所获得的利润为ξ元,则ξ的可能取值为90,-10,
则P(ξ=90)=45,P(ξ=−10)=15,
所以ξ的分布列为
所以Eξ=90×45−10×15=70,
所以EX=E(1 000ξ)=1 000Eξ=1 000×70=70 000.
设生产一件元件乙所获得的利润为η元,则η的可能取值为100,-20,
则P(η=100)=34,P(η=−20)=14,
所以η的分布列为
所以Eη=100×34−20×14=70,
所以EY=E(1 000η)=1 000Eη=1 000×70=70 000.
所以EX=EY.X
1
2
3
P
35
a
110
X
1
2
P
p
1-p
Y
1
2
P
1-p
p
收益X/万元
-1
0
3
概率
0.3
0.2
0.5
收益Y/万元
-3
4
概率
0.4
0.6
ξ
1
2
3
4
P
16
16
13
13
X
1
2
3
P
14
12
a
测试指标
[60,68)
[68,76)
[76,84)
[84,92)
[92,100]
元件甲
12
8
40
33
7
元件乙
17
8
40
28
7
XY
1
2
4
P
p(1-p)
p2+(1-p)2
p(1-p)
X
2
3
4
P
16
13
12
X
2
3
P
p2+(1-p)2
2p(1-p)
X
2
3
4
P
14
12
14
X
1
11
P
0.60
0.40
ξ
90
-10
P
45
15
η
100
-20
P
34
14

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