北师大版高中数学选择性必修第一册第5章计数原理2排列问题练习含答案

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§2　排列问题2.1　排列与排列数2.2　排列数公式基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　排列数与排列数公式1.90×91×…×99×100可表示为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.A10010　　　B.A10011　　　C.A10012　　　D.A100132.已知n是正整数,且An7-An5An5=89,则n=(　　)A.8　　　B.10　　　C.12　　　D.153.(2023江苏海安曲塘中学开学考试)阶乘是基斯顿·卡曼于1808年发明的运算符号,正整数n的阶乘记为n!,它的值为所有小于或等于n的正整数的积,即n!=1×2×3×…×(n-1)×n.根据上述材料,以下说法错误的是(　　)A.3!+3×3!=4!B.8!=40 320C.12!=12×11!D.1!+2!1!+3!2!+…+n!(n-1)!=n!4.(2022山东淄博期中)一条铁路线上原有n个车站,为了适应客运的需要,在这条铁路线上又新增加了m(m>1)个车站,客运车票增加了58种,则n=　　　,m=　　　. 5.(1)解不等式:3Ax+22+12Ax2≤11Ax+12;(2)解方程:A2x+14=140Ax3.题组二　无限制条件的排列问题6.参加完某项活动的6名成员合影留念,前排和后排各3人,则不同排法的种数为(　　)A.360　　　B.720　　　C.2 160　　　D.4 3207.(2024江苏南通如皋中学阶段考试)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,若将组成的四位数按从小到大的顺序排成一个数列,则第85个数为(　　)A.2 301　　　　　　B.2 304C.2 305　　　　　　D.2 310题组三　有限制条件的排列问题8.(2024贵州贵阳六校联合考试)贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来,被网友称为“村BA”.“村BA”给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神,更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文,同时给贵州的旅游带来巨大的收益.为庆祝比赛顺利结束,主办方设置了一场扣篮表演,分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演,贵州队作为东道主,扣篮表演必须在第一位和最后一位,那么表演顺序一共有(　　)A.A88种　　　　　　 B.2A86种C.A22A66种　　　　　 D.A82A66种9.(2024浙江台州第一次教学质量评估)杭州第19届亚运会火炬2023年9月14日在浙江台州传递,火炬传递路线以“和合台州,活力城市”为主题,全长大约8千米.从和合公园出发,途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑.假设某段路线由甲、乙等6人传递,每人传递一棒,且甲不从乙手中接棒,乙不从甲手中接棒,则不同的传递方案共有(　　)A.288种　　　　　　B.360种C.480种　　　　　　D.504种10.(2023浙江强基联盟联考)某学校筹备元旦晚会节目单时,准备在前五个节目中排三个歌唱节目,一个小品节目以及一个相声节目,若三个歌唱节目最多有两个相邻,则不同的排法种数为(　　)A.75　　　B.80　　　C.84　　　D.9611.(2023贵州贵阳一中适应性月考)开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊这5名同学从左至右排成一排上台领奖,要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有(　　)A.12种　　　B.16种　　　C.20种　　　D.24种12.(2023陕西西北工业大学附属中学适应性考试)在2022年北京冬奥会和冬残奥会城市志愿者的招募项目中有一个“国际服务项目”,截至到2022年1月25日还有8个名额空缺,这些名额需要分配给3个单位,则每个单位至少一个名额且各单位名额数互不相同的分配方法种数是(　　)A.14　　　B.12　　　C.10　　　D.813.元宵节灯展后,悬挂的8盏花灯需要取下,如图所示,每次取一盏,则不同的取法有(　　)A.32种　　　B.70种　　　C.90种　　　D.280种14.(2022湖南长沙一模)某市某中学为了弘扬我国二十四节气文化,特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板并分别放置在六个并排的文化橱窗里,要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻,且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻,则不同的放置方式种数为(　　)A.192　　　B.240　　　C.120　　　D.28815.(多选题)(2024河北石家庄教学质量摸底检测)甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排,下列说法正确的是(　　)A.若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列,则不同的排法有12种B.若甲、乙不相邻,则不同的排法有72种C.若甲不能在最左端,且乙不能在最右端,则不同的排法共有72种D.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,则不同的排法有24种16.(2024上海高桥中学期中)夏老师要进行年度体检,有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量五个项目,为了保证体检数据的准确性,抽血必须作为第一个项目完成,而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查,则不同的检查方案一共有　　　　种. 17.(2024江苏南京第一中学月考)甲、乙、丙3人从1楼上了同一部电梯,已知3人都在2至6层的某一层出电梯,且在每一层最多只有两人同时出电梯,从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序,则甲、乙、丙3人出电梯的不同方法总数是　　　　. 18.某学校将要举行校园歌手大赛,现有3男3女参加,需要安排他们的出场顺序.(结果用数字作答)(1)如果3名女生都不相邻,那么有多少种不同的出场顺序?(2)如果女生甲在女生乙的前面(可以不相邻),那么有多少种不同的出场顺序?(3)如果3名男生都相邻,且女生甲不在第一个出场,那么有多少种不同的出场顺序? 答案与分层梯度式解析§2　排列问题2.1　排列与排列数2.2　排列数公式基础过关练1.B　A10011=100×99×…×(100-11+1)=100×99×…×91×90,故选B.2.D　因为An7-An5An5=89,所以An7An5-1=89,即An7An5=90,所以n(n-1)…(n-7+1)n(n-1)…(n-5+1)=90,即(n-5)(n-6)=90,整理得n2-11n-60=0,解得n=15或n=-4(舍去).3.D　3!+3×3!=(1+3)×3!=4!,故A中说法正确;8!=1×2×3×…×8=40 320,故B中说法正确;12!=1×2×3×…×11×12=11!×12,故C中说法正确;1!+2!1!+3!2!+…+n!(n-1)!=1+2+3+…+n≠n!,故D中说法错误.故选D.4.答案　14;2解析　由题意可得,现在这条铁路线上有(n+m)个车站,因此有An+m2−An2=(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=m(2n+m-1)=58=2×29,因为m,n均为正整数,m>1,所以2n+m-1也为正整数,且2n+m-1>m>1,所以m=2,2n+m-1=29,解得n=14,m=2.5.解析　(1)由题意得3(x+2)(x+1)+12x(x-1)≤11x(x+1),化简得2x2-7x+3≤0,即(2x-1)(x-3)≤0,所以12≤x≤3.因为x≥2,且x∈N+,所以原不等式的解集为{2,3}.(2)易知2x+1≥4,x≥3,x∈N+,所以x≥3,x∈N+,由A2x+14=140Ax3得(2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)=140x(x-1)(x-2),化简得(4x2-35x+69)·(x-1)·x=0,解得x1=3,x2=234(舍去),x3=1(舍去),x4=0(舍去).所以原方程的解为x=3.6.B　解法一:分两步完成.第一步,从6人中选3人排前排有A63=120种不同排法;第二步,剩下的3人排后排有A33=6种不同排法.按照分步乘法计数原理,知有120×6=720种不同排法,故选B.解法二:6名成员合影,每个人都可以站前排也可站后排,所以相当于6个人的全排列,即有A66=720种不同排法.故选B.7.A　千位上的数字为1的四位数有A53=60个,千位、百位上的数字分别为2,0的四位数有A42=12个,千位、百位上的数字分别为2,1的四位数有A42=12个,而60+12+12=84,所以第85个数是千位、百位上的数字分别为2,3的最小四位数,即2 301.故选A.8.C　由题意知,一共有8个人需要排列.先确定贵州2名球员的顺序为A22,再确定其余6人的顺序为A66.由分步乘法计数原理可得,一共有A22A66种表演顺序.故选C.9.C　由题知甲、乙不相邻,所以可以先安排除甲、乙以外的4人,有A44种排法,然后插空安排甲、乙两人,有A52种排法,所以不同的传递方案共有A44A52=480(种).故选C.10.C　(间接法)这五个节目的全排列的排列数为A55,其中三个歌唱节目都相邻的排法数为A33A33,故满足条件的排法种数为A55−A33A33=120-36=84,故选C.11.C　①若甲与丙之间为乙,且三人相邻,共有A22=2种排法,将三人捆绑看成一个整体,与丁、戊两人全排列,共有A33=6种排法,则此时有2×6=12种排法;②若甲与丙之间不是乙,先排甲与丙,再从丁、戊中选取1人,安排在甲与丙之间,有A22A21=4种排法,此时乙在甲的另一侧,将四人捆绑看成一个整体,将这个整体与剩下的1人全排列,有A22=2种排法,此时有4×2=8种排法.综上,总共有12+8=20种排法,故选C.12.B　根据题意,各单位名额数互不相同,则8个名额分配给3个单位的名额数可能情况有1,2,5和1,3,4,共2种.对于其中任一种名额分配方式,将其分配给3个单位的方法有A33种,所以每个单位至少一个名额且各单位名额数互不相同的分配方法种数为2A33=12.故选B.13.B　因为每次取花灯时只能取一盏,所以每串花灯必须先取下面的,即每串花灯取下的顺序确定,取下的方法有A88A44A44=70(种).故选B.归纳总结　定序问题可用缩小倍数的方法来解决,若有(m+n)个元素排成一列,其中m个元素之间的先后顺序确定不变,则共有Am+nm+nAmm种不同的排法.14.A　由题意知,当只考虑“立春”和“惊蛰”时,将其捆绑在一起,利用捆绑法可得,有A22A55=240种不同的放置方式.当“惊蛰”与“立春”和“清明”均相邻,即“惊蛰”在“立春”“清明”之间时,将三者捆绑在一起,有2A44=48种不同的放置方式.所以最终满足题意的放置方式种数为240-48=192.故选A.15.BD　对于A,有A55A33=20种排法,故A错误;对于B,先安排丙、丁、戊三人,有A33=6种排法,再将甲、乙两人插空,有A42=12种排法,故甲、乙不相邻的排法种数为6×12=72,故B正确;对于C,若最左端排乙,则其余四人可进行全排列,有A44=24种排法;若最左端不排乙,则最左端只能从丙、丁、戊中选出1人,又乙不能在最右端,所以有A31A31A33=54种排法,则共有24+54=78种排法,故C错误;对于D,将甲、乙捆绑,看成一个整体且固定顺序,再与其他三人站成一排,故有A44=24种排法,故D正确.故选BD.16.答案　12解析　将心电图、血压测量两项全排列,有A22=2种情况,再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中,有A32=6种情况,最后将抽血放在第一位,有1种情况,所以共有2×6×1=12种不同的检查方案.17.答案　120解析　分两种情况讨论:①3人都在2至6层的某一层1人独自出电梯,共有A53=60(种);②3人中有2人“捆”在一起(有3种“捆”法)在同一层出电梯,另1人在另外一层出电梯,即从5层中任选2层出电梯,共有3A52=60(种).故甲、乙、丙3人出电梯的不同方法总数是60+60=120.18.解析　(1)根据题意,分2步进行分析:①先将3名男生排成一排,有A33种情况.②男生排好后有4个空位,在4个空位中任选3个,安排3名女生,有A43种情况,则有A33A43=144种不同的出场顺序.(2)根据题意,将6人排成一排,有A66种情况,其中女生甲在女生乙的前面,所以不用考虑两人的先后顺序,则有A66A22=360种不同的出场顺序.(3)根据题意,分3步进行分析:①将3名男生看成一个整体,考虑三人之间的顺序,有A33种情况;②将除甲之外的2名女生和3名男生的整体全排列,有A33种情况,排好后有4个空位;③女生甲不在第一个出场,则女生甲的安排方法有3种.根据分步乘法计数原理,有3A33A33=108种不同的出场顺序.