第01讲 集合的概念与运算--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
[注意] N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
2．集合间的基本关系
3.集合的基本运算
考点1 集合的含义与表示
[名师点睛]
与集合元素有关问题的解题策略
(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．
(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
[典例] (2022·山东模拟）(1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8
C．5 D．4
(2)设A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，B＝{|a－2|,3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________．
[解析] (1)将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.
(2)因为4∈A，即4∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，
所以a2－3a＝4或a＋eq \f(2,a)＋7＝4.
若a2－3a＝4，则a＝－1或a＝4；
若a＋eq \f(2,a)＋7＝4，即a2＋3a＋2＝0，则a＝－1或a＝－2.
由a2－3a与a＋eq \f(2,a)＋7互异，得a≠－1.
故a＝－2或a＝4.又4∉B，即4∉{|a－2|,3}，
所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6.
综上所述，a的取值集合为{4}．
[答案] (1)A (2){4}
[举一反三]
1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，解得．故选：D．
2．（2022·菏泽模拟）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C.因为{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，则eq \f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
3．(多选)（2022· 广州一调）已知集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为( )
A．0 B．eq \f(1,2)
C．1 D．2
解析：选BD.因为集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝0，,－2n＋1＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠0，,Δ＝4－4m＝0，,n＝－\f(－2,2m)，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝0，,n＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝1，))
所以m＋n＝eq \f(1,2)或m＋n＝2.故选BD.
4．（2022·福建·模拟预测）设集合， ，则集合元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】
当时，y＝1；当时，y＝0；当x＝3时，．故集合B共有3个元素．故选：B.
5．（2022·武汉校级月考）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－eq \f(3,2).
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－eq \f(3,2)时，m＋2＝eq \f(1,2)，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－eq \f(3,2).
答案：－eq \f(3,2)
考点2 集合的基本关系
[名师点睛]
解决有关集合间的基本关系问题的策略
(1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系，如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论．
(2)确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数．
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法．
[典例](1)(2021·八省联考)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝( )
A．∅ B．M
C．N D．R
(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A＝{x|y＝eq \r(4－x2)}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．[－1，2]
C．[－2，1] D．[2，＋∞)
【解析】 (1)因为M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，所以N＝∁RM，所以M∪(∁RN)＝M.故选B.
(2)集合A＝{x|y＝eq \r(4－x2)}＝{x|－2≤x≤2}，因为B⊆A，所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≥－2，,a＋1≤2，))
所以－2≤a≤1.
【答案】 (1)B (2)C
[举一反三]
1.（2022·广东广州·一模）已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【解析】由题可知，所有，所有其子集分别是，所有共有4个子集，故选：C
2．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 求解一元二次方程，得A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{x|(x－1)(x－2)＝0，x∈R}＝{1,2}，易知B＝{x|03．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知集合M，N是全集U的两个非空子集，且，则（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【解析】表示集合的补集，因为，所以．故选：A
4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A＝{x∈Z|x≥a}，集合B＝{x∈Z|2x≤4}．若A∩B只有4个子集，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，－1] B．[－2，－1]
C．[0,1] D．(0,1]
[答案] D [解析] 本题考查根据集合的子集个数求参数的取值．集合A＝{x∈Z|x≥a}，集合B＝{x∈Z|2x≤4}＝{x∈Z|x≤2}，故A∩B＝{x∈Z|a≤x≤2}．因为A∩B只有4个子集，所以A∩B中元素只能有2个，即A∩B＝{1,2}，所以05．[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
解析：由题易得M＝{a}．因为M∩N＝N，
所以N⊆M，
所以N＝∅或N＝M，
所以a＝0或a＝±1.
答案：0或1或－1
考点3 集合的基本运算
[名师点睛]
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
[典例]1.(1)（2021·全国·高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设可得，故，故选：B.
(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U＝R，集合M＝{x|－3≤x<4}，N＝{x|x2－2x－8≤0}，则( )
A．M∪N＝{x|－3≤x<4}
B．M∩N＝{x|－2≤x<4}
C．(∁UM)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)
D．M∩(∁UN)＝(－3，－2)
【解析】 (1)方法一：由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.
方法二：因为2∈B，所以2∈A∪B，所以2∉∁U(A∪B)，故排除B，D；又0∈A，所以0∈A∪B，所以0∉∁U(A∪B)，故排除C，故选A.
(2)由x2－2x－8≤0，得－2≤x≤4，所以N＝{x|－2≤x≤4}，则M∪N＝{x|－3≤x≤4}，A错误；M∩N＝{x|－2≤x<4}，B正确；由于∁UM＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁UM)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C正确；由于∁UN＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M∩(∁UN)＝[－3，－2)，D错误．故选BC.
【答案】 (1)A (2)BC
2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
(2)[2022·湖南六校联考]集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
【解析】 (1)方法一：易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－eq \f(a,2)}，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－eq \f(a,2)＝1，解得a＝－2.故选B.
方法二：由题意得A＝{x|－2≤x≤2}．若a＝－4，则B＝{x|x≤2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除A；若a＝－2，则B＝{x|x≤1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}，满足题意；若a＝2，则B＝{x|x≤－1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，不满足题意，排除C；若a＝4，则B＝{x|x≤－2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|x＝－2}，不满足题意．故选B.
(2)根据集合并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.
【答案】 (1)B (2)D
[举一反三]
1．（2022·河北石家庄·二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，而，
所以，故选：D
2．[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|x>a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为( )
A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(－∞，3) D．(－∞，3]
解析：选C 因为A∩B≠∅，所以结合数轴可知实数a的取值范围是a<3，故选C.
3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选C.由题意得，A∩B＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A∩B中元素的个数为4，选C.
4．（2022·重庆·二模）已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由图可知，图中阴影部分表示，由，得，
所以，所以或，因为，
所以，故选：B
5．（2021·全国·高考真题（理））已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】任取，则，其中，所以，，故，
因此，.故选：C.
6.[2021·豫北名校联考]设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(4,3)))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞)) D．(1，＋∞)
[答案] B [解析] A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，设函数f(x)＝x2－2ax－1，因为函数f(x)＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a(a>0)，f(0)＝－1<0，根据对称性可知，若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f2≤0，,f3>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－4a－1≤0，,9－6a－1>0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥\f(3,4)，,a<\f(4,3)，))即eq \f(3,4)≤a7.（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x下列命题正确的是（ ）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
【答案】A
【解析】
首先利用排除法：
若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C；
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时.
若， 则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.
故A正确.
故选：A.
考点4 集合中的创新问题
[名师点睛]
1.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是解决新定义型问题的关键所在；
2.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解决新定义集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些信息，在关键之处用好集合的性质。
[典例] 1.（2022·北京房山·一模）已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆
①A1∩A2=0
②A1A2=U
③的元素个数不是中的元素.
则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ）
A．5B．6C．10D．15
【答案】A
【解析】
解：由题意，集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆有；
；；；，共5种，
故选：A.
2.[2022·广东六校联考]已知集合A0＝{x|0(1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．
(2)给出下列函数：①y＝eq \f(1,x)；②y＝x2＋1；③y＝cseq \f(π,2)x＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．
[解析] (1)答案不唯一，合理即可．示例：
对于解析式y＝x＋1，
因为A0＝{x|0A2＝{x|2故具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是y＝x＋1.
(2)对于①，A0＝{x|01}，A2＝{x|0依次循环下去，符合An∩An－1＝∅.
对于②，A0＝{x|0对于③，A0＝{x|0不符合An∩An－1＝∅.
所以具有性质“∅”的函数的序号是①②.
[答案] (1)y＝x＋1 (2)①②
3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( )
A．最多人数是55 B．最少人数是55
C．最少人数是75 D．最多人数是80
解析：选B 设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则0≤x≤20.设以上两种药都带的人数为y.由图可知，x＋card(A)＋card(B)－y＝100.∴x＋75＋80－y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55.
[举一反三]
1．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为
A．77B．49C．45D．30
【答案】C
【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．
2．[2021·四川成都联考]已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B1，B2，B3，…，Bk，k∈N*.记bi为集合Bi(i＝1,2,3，…，k)中的最大元素，则b1＋b2＋b3＋…＋bk＝( )
A．45 B．105
C．150 D．210
[答案] B [解析] 本题考查集合的新定义问题．集合A的含有3个元素的子集共有Ceq \\al(3,6)＝20个，所以k＝20.在集合Bi(i＝1,2,3，…，k)中，最大元素为3的集合有Ceq \\al(2,2)＝1个；最大元素为4的集合有Ceq \\al(2,3)＝3个；最大元素为5的集合有Ceq \\al(2,4)＝6个；最大元素为6的集合有Ceq \\al(2,5)＝10个，所以b1＋b2＋b3＋…＋bk＝3×1＋4×3＋5×6＋6×10＝105.故选B.
3．[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M，N都是非空集合U的子集，令集合S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}，下列说法正确的是( )
A．若S＝N，则M＝∅
B．若S＝∅，则M＝N
C．若S⊆M，则M⊆N
D．∃M，N，使得S＝(∁UM)∪(∁UN)
[答案] ABD [解析]本题考查Venn图．用Venn图表示，集合S为如图1中的阴影部分，对于A选项，若S＝N，利用S的Venn图观察，则有M∩N＝∅，M＝∅，故A选项正确；对于B选项，若S＝∅，则M＝N，故B选项正确；对于C选项，反例：如图集合S为如图2中的阴影部分，N⊆M，故C选项错误；对于D选项，例如U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{4}，S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}＝{1,2,3,4}＝U，而(∁UM)∪(∁UN)＝{4}∪{1,2，3}＝{1,2,3,4}＝S，故D选项正确，故选ABD.
图1 图2
4．[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A＝{x|x＝3n＋2，n∈N*}，B＝{x|x＝5n＋3，n∈N*}，C＝{x|x＝7n＋2，n∈N*}，若x∈(A∩B∩C)，则整数x的最小值为( )
A．128 B．127
C．37 D．23
解析：选D ∵求整数的最小值，∴先将23代入检验，满足A，B，C三个集合，故选D.
5．[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a，b，c，d)＝________，符合条件的全部有序数组(a，b，c，d)的个数是________．
解析：显然①不可能正确，否则①②都正确；
若②正确，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝3，,c＝1，,d＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝2，,c＝1，,d＝4.))若③正确，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，,c＝2，,d＝4.))
若④正确，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1，,c＝4，,d＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，,c＝4，,d＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝1，,c＝3，,d＝2.))
所以符合条件的数组共6个．
答案：(3,2,1,4)(填一个正确的即可) 6
6．[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.求集合A.
解：假设a1∈A，则a2∈A.又若a3∉A，则a2∉A，∴a3∈A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a1∉A.假设a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，且a1∉A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a4∉A.
故集合A＝{a2，a3}，经检验知符合题意．
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
关系
自然语言
符号
语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A⫋B
(或B⫌A)
集合
相等
集合A，B中元素相同
A＝B
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
语言
符号
语言
A∪B＝
{x|x∈A或x
∈B}
A∩B＝
{x|x∈A且x∈
B}
∁UA＝
{x|x∈U且
x∉A}