专题06 空间向量与立体几何（解答题）-【好题汇编】五年（2020-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用）

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考点01 求空间几何体体积表面积
1．（2023·全国·统考高考甲卷）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
2．（2023·全国·统考高考乙卷）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
3．（2022·全国·统考高考乙卷题）如图，四面体中，，E为AC的中点．
(1)证明：平面平面ACD；
(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
4．（2022·全国·统考高考甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
5．（2021·全国·统考高考乙卷）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积．
6．（2021·全国·高考甲卷题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.
求三棱锥的体积；
已知D为棱上的点，证明：.
7．（2020·全国·统考高考Ⅰ卷题）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．
证明：平面PAB⊥平面PAC；
设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.
8．（2020·全国·统考高考Ⅱ卷）如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．
考点02 求二面角
1 （2024·全国·高考Ⅱ）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
2（2024·全国·高考甲卷）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
3．（2023全国·统考新课标Ⅱ卷）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
4．（2023·全国·统考高考乙卷）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
5．（2022·全国·新课标Ⅰ卷）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
6．（2022全国·统考新课标Ⅱ卷）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
7．（2021·全国·统考高考乙卷）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
8．（2021·全国·统考高考甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
9．（2021全国·统考新课标Ⅱ卷）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
10．（2020·全国·Ⅰ卷）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
考点03 求线面角
1 （2023·全国·统考高考甲卷）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．

(1)证明：；
(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．
2．（2022·全国·统考高考乙卷）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
3．（2022·全国·统考高考甲卷）在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
4．（2020·全国·新课标Ⅰ卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
5．（2020全国·统考新课标Ⅱ卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．
（1）证明：平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．
6．（2020全国·统考新课标Ⅱ卷）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.
考点04 已知二面角求点距离
1（2024·全国·高考Ⅰ卷）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值为，求．
2．（2023·全国·新课标Ⅰ卷）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
3．（2021·全国·新课标Ⅰ卷）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
考点05 点到面的距离
1（2024·全国·高考甲卷）如图，，，，,为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到的距离.
2（2021·全国·新课标Ⅰ卷）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
考点
五年考情（2020-2024）
命题趋势
考点01 求空间几何体表面积体积
2023 甲 乙卷
2022 甲 乙卷
2021 甲 乙卷
2021 乙 甲卷
2020 全国Ⅰ Ⅱ卷
空间几何体表面积体积问题一般采用等体积法或者是空间向量解决，一般出现在第一问。
考点02 求二面角
2024甲 Ⅱ卷
2023Ⅱ 乙卷
2022Ⅰ Ⅱ卷
2021 甲 乙 Ⅱ卷
2020 Ⅰ卷
二面角的正弦余弦值是高考空间几何体的高频考点，也是高考的一盒重要的趋势。
考点03 求线面角
2023甲卷
2022 甲乙卷
2020 Ⅰ Ⅱ Ⅲ卷
线面角问题是高考中的常考点，方法是方向向量与法向量的夹角
考点04 已知二面角，求点，距离
2024 Ⅰ卷
2023 Ⅰ卷
2021 Ⅰ卷
求距离问题是高考Ⅰ卷的一个重大趋势，容易与动点问题相结合
考点05 求点到面的距离
2024甲卷
2021 Ⅰ卷
点到平面的距离问题是高考的一个重要题型，应加强这方面的练习