海口市第一中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学（A卷）试卷(含解析)

这是一份海口市第一中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学（A卷）试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共14小题，每小题3分，共42分）
1. 如图，在菱形中，，则的度数是（ ）

A. 10°B. 40°C. 50°D. 80°
答案：B
解析：解：∵四边形是菱形，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，且，
∴，
∴，
故选：．
2. 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示为，
故选：C．
3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解：A．，本选项不符合题意；
B．右边不是积的形式，不属于因式分解，本选项不符合题意；
C．从左到右的变形，属于因式分解，本选项符合题意；
D．右边不是积的形式，不属于因式分解，本选项不符合题意．
故选：C．
4. 如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的度数是（ ）
A. 22°B. 40°C. 44°D. 45°
答案：A
解析：解：设，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：A．
5. 下列能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：A．不能用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
B．不能用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
C．，能用完全平方公式因式分解，故符合题意；
D．只有两项，不能用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
故选C．
6. 如图，直角三角形的三边，，，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图，是腰长为1的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，……，按此规律作等䁏直角三角形（，为正整数），则的长及的面积分别是（ ）

A. ，B. ，C. ，D. ，
答案：B
解析：解：是腰长为1的等腰直角三角形，
，
，
，
为等腰直角三角形，
.
同理，
，
.
同理，
，
.
依此类推：
故选：B.
7. 设三角形的三边长分别等于下列各组数，则这四个三角形中是直角三角形的是（ ）．
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
答案：D
解析：解：A．，不是直角三角形，故此选项不符合题意，
B．，不直角三角形，故此选项不符合题意，
C．，不是直角三角形，故此选项不符合题意，
D．，是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
8. 估计的值应在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
答案：C
解析：解：，
∵，即，
∴，
故选：C．
9. 小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地，小天从乙地前往甲地，两人同时发出，当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带，立刻掉头提速返回甲地，用时4分钟，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地（掉头和拿物品的时间忽略不计），小天始终以一个速度保持行驶，二人相距的路程y（米）与小冬出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）

A. 小冬返回甲地的所用时间为4分钟
B. 小冬和小天出发时的速度分别为160米分钟和200米分钟
C. 小天出发分钟两人相遇
D. 小冬最终达到乙地的时间是20分钟
答案：D
解析：A．当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带发现重要物品没带，立刻掉头提速返回甲地甲地，用时4分钟，此选项不符合题意；
B．小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变，
小东提速前5分钟的路程，相当于小天只需4分钟就可走完，
小天速度是小东提速前的速度的倍，
设小东原速度为米分钟，则提速后为米分钟，小天的速度为米分钟，则，
小冬和小天出发时的速度分别为160米分钟和200米/分钟，故此选项不符合题意；
C．两人同时发出，当行驶5分钟到达B点 ，小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变，
此时两人相距2200米，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，
小东提速后速度为200米/分钟，两人继续行驶分钟相遇，小天一共行驶了分钟，故此选项不符合题意；
D．小东行驶时间为开始5分钟，返回甲地4分钟，重新返回乙地分钟，小冬最终达到乙地的时间是29分钟，故此选项符合题意．
故选：D ．
10. 如图，在中，，平分交边于点D，点E、F分别是边上的动点，当的值最小时，最小值为（ ）
A. 6B. C. D.
答案：C
解析：如图所示，在边上截取，连接，过点A做交于点H，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当且仅当A、E、G共线，且与垂直时，的值最小，即边上的垂线段，
∵
∴，
∵，
∴．
∴当的值最小时，最小值为．
故选：C．
11. 如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：解：作于N，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵M是的中点，
∴，
∴，
又，，
∴，
故选：B．

12. 如图，点P在的平分线上，且与互补，将绕点P旋转，在旋转过程中，有以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变，其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：C
解析：解：如图作于，于，
，
，
，
，
，
平分，于，于，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，，故①正确，
，
定值，故③正确，
，
为定值，故②正确，
在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形，
的长度是变化的，
的长度是变化的，故④错误，
故选：C．
13. 若实数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的积为（ ）
A. 5B. 6C. 10D. 25
答案：B
解析：解：，
解不等式①，得：x≥﹣3，
解不等式②，得：x≤a﹣2，
∵不等式组至少有4个整数解，
∴a﹣2≥0，
解得：a≥2，
由去分母，得：
3﹣ay﹣（1﹣y）＝﹣2，
解得：y＝，
由y为整数，且y≠1，a为整数且a≥2，
得：a＝2或3，
∴符合条件的所有整数a的积为2×3＝6．
故选：B．
14. “某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
A. 每天比原计划多修，结果延期10天完成
B. 每天比原计划多修，结果提前10天完成
C. 每天比原计划少修，结果延期10天完成
D. 每天比原计划少修，结果提前10天完成
答案：B
解析：解：设实际每天整修道路，则表示：实际施工时，每天比原计划多修，
∵方程，
其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间，
∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前10天完成．
故选：B．
二、非选择题（共58分）
15. 如图，已知，与交于O，．求证：△OAB是等腰三角形．

答案：见解析
解析：解：证明：∵，
∴在和中，
，
，
，
，
即是等腰三角形．
16. 如图，点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，且BD＝CE，CD，AE交于点F．
（1）求∠AFD的度数；
（2）如图2，若D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，BM，CD交于Q．若△ABC的面积为S，则四边形ANQF的面积为______；（只写出答案即可，不要求写解题过程）
（3）如图3，延长CD到点P，使∠BPD＝30°，设AF＝a，CF＝b，请用含a，b的式子表示PC的长，并说明理由．
答案：（1）60°；（2）S；（3）a+2b，理由见解析
解析：解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°，且BD=CE，
∴△BDC≌△CEA（SAS），
∴∠CAE=∠BCD，
∵∠AFD=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACD=∠ACB，
∴∠AFD=60°；
（2）∵D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，
∴BD=CE=AM=DN，且AB=AC=BC，∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°，
∴△ABM≌△CAE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠ABM=∠BCD，∠AMB=∠AEC=∠BDC，且BD=CE，
∴△BDQ≌△CEF（ASA），
∴S△BDQ=S△CEF，
∵BD=DN，
∴S△BDQ=S△DNQ=S△CEF，
∵D，E是AB，BC上三等分点，
∴S△BDC=S△CEA=S△ABC=S，
∵四边形ANQF的面积=S△ABC-S△AEC-S△DNQ-S四边形DFEB=S-S-S=S；
（3）PC=a+2b．
理由如下：如图，在AC上截取AM=CE，即AM=CE=BD，
∵AM=CE=BD，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=CB．
∴△CBD≌△ACE≌△BAM（SAS），
∴∠CAE=∠BCD=∠ABM，且∠ABC=∠ACE，
∴∠MBC=∠ACD，且BC=AC，∠EAC=∠BCD，
∴△BHC≌△CFA（ASA），
∴BH=CF=b，AF=CH=a，
∵∠PHB=∠MBH+∠HCB=∠ABM+∠MBC=∠ABC，
∴∠PHB=60°，且∠BPD=30°，
∴∠PBH=90°，且∠BPH=30°，
∴PH=2BH=2b，
∴PC=PH+HC=a+2b．
17. 某商店出售普通练习本和精装练习本，本普通练习本和本精装练习本销售总额为元；本普通练习本和本精装练习本销售总额为元．
（1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
（2）该商店计划再次购进本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，已知普通练习本的进价为元/个，精装练习本的进价为元/个，设购买普通练习本个，获得的利润为元；
①求关于的函数关系式
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
答案：（1）普通练习本：元；精装练习本：元
（2）；②普通练习本进本，精装练习本进本，利润最大，最大为元
小问1解析：
解：设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，根据题意得：
，
解得：，
答：普通练习本销售单价为元，精装练习本的销售单价为元．
小问2解析：
解：购买普通练习本个，则购买精装练习本个，根据题意得：
；
普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，
，
解得：，
中，
随的增大而减小，
当时，取最大值，
（个），
（元），
答：当购买个普通练习本，个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为元．
18. 计算：
（1）
（2）
（3）分解因式：
答案：（1）
（2）
（3）
小问1解析：
小问2解析：
小问3解析：
19. 一次函数的图象经过点A（2，1）和点B（0，2）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）利用图像回答下列问题：
①一次函数的图象与x轴的交点坐标是 ．
②当x 时，．
答案：（1）
（2）①；②
小问1解析：
解：（1）设一次函数的表达式为，
图象过点（2，1）和（0，2），
依题意得
解得
．
小问2解析：
一次函数图象如图所示：
由图象可以看出与x轴交点坐标为；当时，．
故答案为：；．
20. 已知在中，，，点E为直线上一动点，连接并延长交过点C且与平行的线于点F．

（1）如图1，若点E为线段上的一点，，且，求的长；
（2）如图2，点E为线段上一点，过点B作于G，延长交于点H，连接，求证：；
（3）如图3，当点E在射线上运动时，过点B作于G，点D为的中点，连接，当时，请求出的最小值．
答案：（1）
（2）详见解析 （3）
小问1解析：
解：如图1中，设，
∵，
∴，
∵且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
小问2解析：
证明：如图2中，延长交的延长线于点T．

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
小问3解析：
解：如图3中，取的中点Q，连接，取的中点R，连接．

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴CD的最小值为．