2024年清华大学暑假文科营数学试题

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一、填空题 (每小题3.5分)
1. 已知复数 满足 ,则 _________.
2. 若不等式 对任意 均成立,则实数 的取值范围是_________.
3. “ ”的充要条件是_________.
4. 已知 4 个男生和 3 个女生排成一圈, 则 3 个女生不相邻的概率是_________.
5. 已知双曲线 经过点 ,某条斜率为 1 的直线既经过点 又经过双曲线的一个顶点，则此双曲线的标准方程为_________.
6. 平面直角坐标系中满足约束条件 的整点个数为_________.
7. 已知复数 ,则当 取得最大值时, _________.
8. 已知不等式 的解集为 ,若 ,则实数 的取值范围是_________.
二、多选题 (每小题 6 分)
9. 已知函数 ,则下列判断正确的是 ( )
A. 是周期函数 B. 的值域是
C. 的图像关于直线 对称 D. 在 上有 3 个零点
10. 已知实数 满足 ,若增加一个条件,使得 的最大值不变,则下列选项中符合条件的有 ( )
A. B. C. D.
三、解答题 (每小题15分)
11. 在 中,角 所对的边分别为 ,且 .
（1）若 ,
① 求 ; ② 求 边的中线长；
（2）求 面积的最大值.
12. 已知公差不为 0 的等差数列 满足 且 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式;
（2）若数列 满足 ,
① 求证: ; ② 是否存在 ,使得 .
13. 如图,直线 平面 , 点 为 中点.
（1）若 ,求 的长;
（2）若 ,求直线 与平面 所成的角.
14. 已知椭圆 ,直线 经过坐标原点. 与 平行的直线与椭圆 交于 两点,其中点 ,当直线 轴时,直线 经过椭圆的焦点.
（1）求椭圆 的方程;
（2）若点 满足 ,直线 交 于点 ,直线 交 于点 ,求 面积的取值范围.