2022年清华大学强基计划笔试数学试题

2022年清华大学强基计划笔试数学试题

1．关于方程在平面直角坐标系中所确定的曲线，下列说法正确的有（    ）．

A．曲线关于坐标轴轴对称，也关于原点中心对称       B．曲线只过一个整点

C．曲线上的动点与原点的距离不超过2                D．曲线所围区域的面积大于

2．已知，求的最大值和最小值分别为（    ）

A．9，       B．9，1        C．10，        D．10，1

3．定义为一个由x，y确定的二元函数，且对任意实数x，y，z成立，则（    ）

A．20            B．22         C．            D．

4．已知一个正整数x在十进制表示下的数位个数为n，的数位个数为m，求可能为（    ）

A．2020        B．2021         C．2022        D．2023

5．已知实数a，b，c，d，e满足，则的最大值为（    ）．

A．2              B．3           C．4              D．

6．圆上有一个十边形，任意两点连成线段，求从中任取两条线段，没有交点的概率为（    ）

A．             B．              C．             D．

9．，则所在的区间为（    ）．

A．        B．        C．         D．

10．已知抛物线为抛物线外一点，PA、PB与抛物线相切且A、B为切点，则下列说法中正确的有（    ）．

A．若AB的方程为，则

B．若P坐标为，则AB的方程为

C．若，则的最小值为

D．若，则的最大值为

11．中，，BE平分交AC于E，AD平分交BC于D，已知，则__________．

A．           B．         C．             D．

12．求__________

13．a，b，c为正整数，当为三个连续自然数时，求最小值（    ）

14．一条路上顺次有10盏灯，每盏灯的颜色可以为黄色或蓝色，且要求不能出现连续三盏蓝灯，求点灯方案的总数（    ）．

15．ABCD、ABEF为两个正方形，二面角为，M、N在AC、BF上运动，且，已知边长，求MN长度的取值范围（    ）

16．已知复数z满足，求的最大值（    ）

17．在复平面内，复数在和两点连线段上运动，复数满足，若在复平面上表示的点围成的面积为，则a的可能值为（    ）

18．对于任意实数x，，且对于，恒有，则（    ）．

19．已知四边形ABCD中，，则______（用表示）．

20．已知数列﹑满足，求（    ）

21．已知x，y为实数满足，则这样的有（    ）组

A．0             B．2       C．4            D．6

2022年清华大学强基计划笔试数学试题

参考答案

1．【答案】ABC

对于A选项，方程的x替换为或y替换为，方程均不改变，故曲线关于坐标轴轴对称，也关于原点中心对称，A正确；

对于B选项，利用均值不等式，，解得，从而，x的取值仅可能为，，．经检验得，方程仅一个整数解，B正确；

对于C选项，利用均值不等式，，解得，故C选项也正确；

对于D选项，由于C选项正确，曲线所围区域的面积不超过以原点为圆心，2为半径的圆的面积，从而曲线所围区域的面积小于，D错误．

2．【答案】B

注意      ①

而由均值不等式，，解得，故①式，等号在时可取．于是的最小值为1．

再由均值不等式，，解得，故①式，等号在时可取．于是的最大值为9．

3．【答案】D

利用和，得到．

在中，令得到，故．

故．

4．【答案】ACD

由于正整数x在十进制表示下的数位个数为n，故，从而，也就说明的数位个数，，，故，，，模4不能余1，B选项错误．

对于A选项，构造，则，此时，，得到满足要求．

对于C选项，构造，则，故，，得到满足要求．

对于D选项，构造，则，故，，得到满足要求．

5．【答案】C

（1）先证明下述结论：

a，b，c，d，e中必存在连续三项（d，e，a和e，a，b也算连续三项），大小单调不增或者单调不减．利用反证法，若不存在这样的连续三项．

不妨设a，b，c，d，e中的最大数为a，则且．

由反证假设，且．故无论c，d大小关系如何，或者b，c，d按照大小不增关系排序，或者c，d，e按照大小不减排序，矛盾！

（2）回到原题，由（1）结论，不妨设，则．

故

（绝对值不等式）

（柯西不等式）

．

于是，等号在，，时即可取到．

6．【答案】D

不妨设这个十边形是正十边形，并将十边形放到圆上考虑，则十个项点在圆等分为10段弧．顺次记十边形的顶点为，任选两点连线共有条．一方面，从中任选两条线段（考虑顺序），共有种选法．

另一方面，对于线段，这两点在圆上距离段弧．

①如果两点距离1段弧（即这两点相邻）：则从余下8点中任选两点连线，均与没有交点，从而两条线段没有交点的情况数为种．注意距离1段弧的两点本身有10种情况，故第一类无交线段的情况数为280种．

②如果两点距离2段弧：则从余下7点中任选两点连线，均与没有交点，从而两条线段没有交点的情况数为种．注意距离2段弧的两点本身有10种情况，故第一类无交线段的情况数为210种．

③如果两点距离3段弧：注意此时，将整个圆裁成两块，一块有2两个顶点，一块有6个顶点，从每块顶点中任选两点连线，均与没有交点，从而没有交点的情况数为种．注意距离3段弧的两点本身有10种情况，故第一类无交线段的情况数为160种．

④如果两点距离4段弧：注意此时，将整个圆裁成两块，一块有3两个顶点，一块有5个顶点，从每块顶点中任选两点连线，均与没有交点，从而没有交点的情况数为种．注意距离4段弧的两点本身有10种情况，故第一类无交线段的情况数为130种．

⑤如果两点距离5段弧：注意此时，将整个圆裁成两块，一块有4两个顶点；另一块也是4个顶点，从每块顶点中任选两点连线，均与没有交点，从而没有交点的情况数为种．注意距离5段弧的两点本身有10种情况，故第一类无交线段的情况数为120种．

综上所述，所求概率为．

7．略    8．略

9．【答案】D

按照进行分类计数，注意．

①，即，则B是M的任意非空子集即可，这样的共个；

②，则B是剩下5个元素的集合的任意子集即可，这样的共个；

③，则B是剩下4个元素的集合的任意子集即可，这样的共个；

…以此类推，直至，则B只能是空集，这样的共个．

综上所述，．

10．【答案】CD

使用切点弦方程，得到AB的方程为，即．

对于A选项，由切点弦方程得到，，A错误．

对于B选项，将代入切点弦方程，得到AB的方程为，B错误．

对于CD选项，联立AB方程和拋物线方程，得到．

，由弦长公式得到．

利用点到直线距离公式，P到直线AB的距离．

于是……（*）

记，则，于是．两个最值分别在和取到，CD均正确．

11．【答案】A

设．在中，由正弦定理，    ①

在中，由正弦定理，    ②

代入，得到，

进而．

使用和差化积公式，得到

，

故，

再使用积化和差公式，得到

于是，

，

     （*）

再使用和差化积公式，得到

，

．

（1）若，即，结合，解得满足要求．

（2）若，则，式子左侧小于0而右侧大于0，矛盾！

综上所述，．

12．【答案】

由定积分的定义，

．

13．【答案】1297

一方面，设，故．故可设，，，则，解得，，．由于且，故，，，，从而．

另一方面，取，，，取得1297．

14．【答案】504

当路上总计n盏灯时，我们记满足题意的点灯方案数为．

n盏灯不出现连续三盏蓝灯，则前盏灯不出现连续三盏蓝灯，情况数为．最后一盏任意选颜色，故这样的点灯方式共种情况．但这样的点灯方式有可能在最后三盏灯出现蓝色（从而前盏灯不出现连续三盏蓝灯，且第盏灯必为黄色），故．

又，，，，递推得到．

15．【答案】

过F，N作平面ABCD的垂线，设垂足为G，H．由三垂线定理，以及，得到，于是GAD三点共线．再由，得到，故．

过A作GB的平行线，交HM于I，交BC于J．

设（当时MN长度即为a）．由二面角为，得到，故，．故．

而，故

．

综上所述，MN长度的取值范围为．

16．【答案】

法一：原式

令，则原式，当时取最大

法二：如图所示，复平面上的z（点P表示的复数）在以原点O为圆心的单位圆上运动．记，，，则，．

设，，注意O为AC的三等分点，由斯特瓦尔特定理得到，化简得到．

而，等号在，即时可取．

17．【答案】3或

设，，其中，．

则，记，进而．

如图所示，在复平面上形成的区域是一个类似“传送带”的图形，其中，两点坐标，一个为，另一个为．两个圆的半径均为1．

故区域面积为，解得或．

18．【答案】

．

注意，，

，．

由知，故．

  当时，．

而  ．

19．【答案】

，，

则．

20．【答案】由，得到，故．

代入，得到，化简得．该递推式的特征方程为，解得，，则利用线性特征根法的结论，，结合以及，解得，，从而．再代入，得到

．

于是．

21．【答案】C

将已知的两个方程平方相减，得到，故．

（1）若，将代入方程，

得到，于是，平方得到，化简得到，解得或，故或．

（2）若，类似（1）解得或．

综上所述，原方程组共计4组解．